第一講線段、角的計(jì)算與證明問(wèn)題(本卷須知答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號(hào)填寫清楚，將條形碼正確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2、選擇題一定使用2B鉛筆填涂；非選擇題一定使用0.5毫米黑色筆跡的署名筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3、請(qǐng)依據(jù)題號(hào)次序在各題目的答題地區(qū)內(nèi)作答，高出答題地區(qū)書寫的答案無(wú)效；在底稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4、保持卡面潔凈，不要折疊，不要弄破、弄皺，禁止使用涂改液、修正帶、刮紙刀?！拘蜓浴恐锌嫉慕獯痤}一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡(jiǎn)單題或許中檔題，目的在于觀察基礎(chǔ)。第二部分常常就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一模就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二部分，或許叫難度開始提上來(lái)的部分，基本上都是以線段，角的計(jì)算與證明開始的。城鄉(xiāng)18個(gè)區(qū)縣的一模題中，有11個(gè)區(qū)第二部分第一道題都是標(biāo)準(zhǔn)的梯形，四邊形中線段角的計(jì)算證明題。剩下的7個(gè)區(qū)縣題那么將線段角問(wèn)題與旋轉(zhuǎn)，動(dòng)向問(wèn)題聯(lián)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道以致壓軸題中間。能夠說(shuō)，線段角問(wèn)題就是中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵。對(duì)這些題輕松掌握的意義不只是在于獲取分?jǐn)?shù)，更重要的是關(guān)于整個(gè)做題過(guò)程中士氣，軍心的影響。在這個(gè)專題中，我們對(duì)各區(qū)縣一模真題進(jìn)行總結(jié)概括，剖析研究，來(lái)研究線段，角計(jì)算證明問(wèn)題的解題思路。第一部分真題精講【例1】〔2017，崇文，一?！橙鐖D，梯形ABCD中，AD∥BC，BD

CD，

BDC

90°，AD

3，BC

8、求

AB

的長(zhǎng)、【思路剖析】線段，角的計(jì)算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相像，直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行觀察的。因此這就要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)有很好的理解，而且熟知梯形的協(xié)助線做法。這道題中未知的是AB，的是AD，BC以及△BDC是等腰直角三角形，因此要把未知的AB也放在條件中間去觀察.做AE，DF垂直于BC，那么很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個(gè)有大批條件的直角三角形中間.于是有解以下.【分析】作AE

BC

于

E，DF

BC

于

F．AE∥DF，AD∥BC，四邊形AEFD是矩形、EFAD3，AEDF．BDCD，DFBC，DF是△BDC的BC邊上的中線、BDC90°，DF1BCBF4．2AE4，BEBFEF431．在Rt△ABE中，AB2AE2BE2AB2217．41【例2】〔2017，海淀，一?！常喝鐖D，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DCB90，ACBD于點(diǎn)O，DC2,BC4，求AD的長(zhǎng).ADOBC【思路剖析】這道題給出了梯形兩對(duì)角線的關(guān)系.求梯形上底.關(guān)于這種對(duì)角線之間或許和其余線段角有特別關(guān)系〔比如對(duì)角線均分某角〕的題，一般思路是將對(duì)角線提出來(lái)結(jié)構(gòu)一個(gè)三角形.關(guān)于本題來(lái)說(shuō)，直接將AC向右平移，結(jié)構(gòu)一個(gè)以D為直角極點(diǎn)的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)變成了直角三角形中斜邊被高分紅的兩條線段之一，而另一條線段BC是的.于是問(wèn)題水到渠成.DOBCE【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交BC的延伸線于點(diǎn)E.BDEBOC.∵ACBD于點(diǎn)O，∴BOC90.BDE90.AD//BC，∴四邊形ACED為平行四邊形.ADCE.BDE90,DCB90，∴DC2BCCE.∵DC2,BC4，∴CE1.∴AD1本題還有很多其余解法，比如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系，證明△ACD和△DBC相像，進(jìn)而利用比率關(guān)系直接求出CD。有興趣的考生能夠多發(fā)散思想去研究?！纠?】〔2017，東城，一?！橙鐖D，在梯形ABCD中，AD∥BC，B90，AD=2，BC5，E為DC中點(diǎn)，4tanC、求AE的長(zhǎng)度ADEBC、【思路剖析】這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過(guò)D做垂線之類的方法不可以.那該如何做協(xié)助線呢？答案就隱蔽在E是中點(diǎn)這個(gè)條件中.在梯形中，一腰中點(diǎn)是很特別的.一方面中點(diǎn)自己是多對(duì)全等三角形的公共點(diǎn)，另一方面中點(diǎn)和其余底，腰的中點(diǎn)連線就是一些三角形的中線，利用中點(diǎn)的比率關(guān)系就能夠?qū)l件代入.比方這道題，過(guò)中點(diǎn)E做BC的垂線，那么這條垂線與AD延伸線，BC就組成了兩個(gè)全等的直角三角形.而且這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.DAMEBFC【分析】過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線交于BC點(diǎn)F，交AD的延伸線于點(diǎn)M.在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中點(diǎn)，∴MMFC，DECE在MDE和FCE中，MMFCDEMCEFDECEMDE≌FCE.EFME，DMCF∵AD2，BC5，∴DMCF32.tanC4EF在Rt3CF，F(xiàn)CE中，∴EFME2.2AE222365在RtAME中，22【總結(jié)】以上三道真題，都是在梯形中求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題.這些問(wèn)題一般都是要靠做出精妙的協(xié)助線來(lái)解決.協(xié)助線的整體思路就是將梯形拆分或許填補(bǔ)成矩形＋三角形的組合，進(jìn)而達(dá)到利用求未知的目的.一般來(lái)說(shuō)，梯形的協(xié)助線主要有以下5類：過(guò)一底的兩頭做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形＋一矩形平移一腰，分梯形為平行四邊形＋三角形延伸梯形兩腰交于一點(diǎn)結(jié)構(gòu)三角形平移對(duì)角線，轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅危切芜B結(jié)極點(diǎn)與中點(diǎn)延伸線交于另一底延伸線修建兩個(gè)全等三角形或許過(guò)中點(diǎn)做底邊垂線修建兩個(gè)全等的直角三角形以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問(wèn)題的一般協(xié)助線做法。關(guān)于角度問(wèn)題，其實(shí)思路也是同樣的。經(jīng)過(guò)做協(xié)助線使得角度經(jīng)過(guò)平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量鄰近。以前三道例題主假如和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來(lái)看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題?！纠?】〔2017，延慶，一?！橙鐖D，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB均分ADC，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延伸線于點(diǎn)E，且C2E，BDC30，AD3，求CD的長(zhǎng)、ABECD【思路剖析】本題相對(duì)照較簡(jiǎn)單，不需要做協(xié)助線就能夠得出結(jié)果?？墒穷}目中給的條件都是此類角度問(wèn)題的基本條件。比如對(duì)角線均分某角，而后有角度之間的關(guān)系。面對(duì)這種題目仍是需要將的角度關(guān)系理順。第一依據(jù)題目中條件，特別是利用平行線這一條件，能夠得出〔見下列圖〕角C與角1，2，3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)變事后，發(fā)現(xiàn)角C＝60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解。【分析】：AE∥BD∴13，2E∵12∴3E∴ADC3E2EC2E∴ADCBCD60∴梯形ABCD是等腰梯形∴BCAD3230，BCD60DBC90在Rt△DBC中，∵230，BC3∴CD6【例5】〔2017，西城，一?！常篜A2，PB4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的雙側(cè).如圖，當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；【思路剖析】這是昨年西城一模的壓軸題的第一小問(wèn)。假如線段角的計(jì)算出此刻中間部分，往往意味著難度其實(shí)不會(huì)太高?？墒且坏┏龃丝虊狠S題，那么有的時(shí)候常常比函數(shù)題，方程題更加棘手。這題求AB比較簡(jiǎn)單，過(guò)A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將△APB分紅兩個(gè)有很多量的RT△?？墒乔驪D時(shí)候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個(gè)鈍角三角形，因此就需要我們將PD放在一個(gè)直角三角形中試一試看。修建包含PD的直角三角形，最簡(jiǎn)單的就是過(guò)P做DA延伸線的垂線交DA于F，DF交PB于G。這樣一來(lái)，獲取了△PFA△AGE等多個(gè)RT△。于是與已求出的AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解?！痉治觥浚喝鐖D，作AE⊥PB于點(diǎn)E、∵△APE中，∠APE＝45°，PA2，AEPAsinAPE212∴2，

DCPEPAcos21APE22、∵PB4，∴BEPBPE3、

AGPFEB在RT△ABE中，∠AEB＝90°，∴ABAE2BE210、如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延伸線交于F，設(shè)DA的延伸線交PB于G、在RT△AEG中，可得AG

AEAE10cosEAGcosABE3

，〔這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分紅的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系〕EG12PGPBBEEG3，3、PF1010PGcosFPGPGcosABEFG在RT△PFG中，可得5，15、【總結(jié)】由此我們能夠看出，在波及到角度的計(jì)算證明問(wèn)題時(shí)，一般狀況下都是要將角度經(jīng)過(guò)平行，垂直等關(guān)系過(guò)分給未知角度。因此，建立協(xié)助線一般也是從這個(gè)思路出發(fā)，利用一些特別圖形中的特別角關(guān)系〔比如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系〕以及借助特別角的三角函數(shù)來(lái)達(dá)到求解的目的。第二部散發(fā)散思慮經(jīng)過(guò)以上的一模真題，我們對(duì)線段角的有關(guān)問(wèn)題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來(lái)我們自己著手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看剖析，再?zèng)]思路了再看答案?！舅紤]1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD、假定AC⊥BD，AD＋BC＝103，且ABC60，求CD的長(zhǎng)、AD【思路剖析】前面我已經(jīng)剖析過(guò)，梯形問(wèn)題不過(guò)也就那么幾種協(xié)助線的做法。本題求腰，因此自然是先將腰放在某個(gè)RT三角形中。此外碰到對(duì)角線垂直這種問(wèn)題，一般都是平移某一條對(duì)角線以結(jié)構(gòu)更大的一個(gè)RT三角形，因此本題需要兩條協(xié)助線。在這種問(wèn)題中，協(xié)助線的方式常常需要交錯(cuò)運(yùn)BC用，假如思想放不開，不敢多做，巧做，就不簡(jiǎn)單得出答案。【解法見后文】【思慮2】如圖，梯形ABCD中，AD／／BC，∠B＝30°，∠C＝60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，BC＝7，MN＝3，求EF【思路剖析】本題有必定難度，要求考生不單掌握中位線的有關(guān)計(jì)算方法，也對(duì)三點(diǎn)共線提出了要求。假定求EF，由于BC，因此只要求出AD即可。由題目所給角B，角〔解法見后〕【思慮3】ABC，延伸BC到D，使CDBC、取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E、AAE⑴求AC的值；FE⑵假定ABa，F(xiàn)BEC，求AC的長(zhǎng)、BDC【思路剖析】求比率關(guān)系，一般都是要利用相像三角形來(lái)求解。本題中有一個(gè)等量關(guān)系BC＝CD，又有F中點(diǎn)，因此需要做協(xié)助線，利用這些關(guān)系來(lái)結(jié)構(gòu)數(shù)個(gè)相像三角形就成了獲取比率的重點(diǎn)?！步夥ㄒ姾蟆场舅紤]4】如圖3，△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，假定BE＝3，CF＝4，試求EF的長(zhǎng)、【思路剖析】中點(diǎn)問(wèn)題是中考幾何中的大熱門，幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線，而倍長(zhǎng)中線方法也成為解題的重點(diǎn)。將三角形的中線延伸一倍，恰好能夠結(jié)構(gòu)出兩個(gè)全等三角形，好多問(wèn)題就能夠輕松求解。本題中，D為中點(diǎn)，因此大家能夠看看如安在這個(gè)里面結(jié)構(gòu)倍長(zhǎng)中線?！步夥ㄒ姾蟆场舅紤]

5】如圖，在四邊形

ABCD

中，

E為

AB上一點(diǎn)，

ADE和

BCE

都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為如何的四邊形，并證明你的結(jié)論、DMCNQAPEB【思路剖析】本題也是中點(diǎn)題，不一樣的是上題觀察中線，本題觀察中位線。本題需要考生對(duì)各個(gè)特別四邊形的性質(zhì)如數(shù)家珍，判斷，證明上都需要很好的感覺。特別注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)變條件?！步夥ㄒ姾蟆车谌糠炙紤]題答案思慮1【分析】：作DE⊥BC于E，過(guò)D作DF∥AC交BC延伸線于F、那么四邊形ADFC是平行四邊形，∴ADCF，DF＝AC、∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD、∴DFBD又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF、∴ΔBDF是等腰直角三角形∴DE1BF1(ADBC)5322在RtCDE中，∵DCE

60，DE

CDsin

DCE∴53

CDsin60，∴CD

10思慮2【分析】：延伸BA，CD交于點(diǎn)H，連結(jié)HN，由于∠B＝30°，∠C＝60°，因此∠BHC＝90°因此HN＝DN〔直角三角形斜邊中線性質(zhì)〕NHD＝∠NDH＝60°連結(jié)MH，同理可知∠MHD＝∠C＝60°。因此∠NHD＝∠MHD，即H，N，M三點(diǎn)共線〔這一點(diǎn)簡(jiǎn)單被遺漏，好多考生會(huì)想自然以為他們共線，其實(shí)仍是要證明一下〕因此HM＝3.5，NH＝0.5AN＝0.5因此AD＝1EF＝〔1＋7〕／2＝4思慮3【分析】⑴過(guò)點(diǎn)F作FM∥AC，交BC于點(diǎn)M、∵F為AB的中點(diǎn)1ACA∴M為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)M2F由FM∥AC，得CEDMFD，EBMCDECDFMD，∴FMD∽ECDDCEC2∴DMFM3EC2FM21AC1AC∴3323AEACECAC1AC13∴ACACAC2FB1AB1⑵∵AB2aa，∴2又FBEC1aEC，∴2EC1ACAC3EC3a32∵，∴、思慮4【分析】：延伸ED至點(diǎn)G，使DG＝ED，連結(jié)CG，F(xiàn)G、那么△CDG≌△BDE、因此CG＝BE＝3，∠2＝∠B、由于∠B＋∠1＝90°，因此∠1＋∠2＝∠FCG＝90°、由于DF垂直均分EG，因此FG＝EF