PAGE課時(shí)驗(yàn)收評(píng)價(jià)(三十)平面向量的概念及線性運(yùn)算一、點(diǎn)全面廣強(qiáng)基訓(xùn)練1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：選B對(duì)于A，當(dāng)λ＞0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，a與λa的方向相反，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由λ2＞0可知B正確；對(duì)于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，D錯(cuò)誤．2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(―→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(―→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(―→)) D．eq\o(BC,\s\up6(―→))解析：選A由題意得eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CB,\s\up6(―→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→)))＝eq\o(AD,\s\up6(―→)).3．設(shè)平面向量a，b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3(a－b)，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線解析：選A∵eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3(a－b)，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up6(―→))，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))與eq\o(AB,\s\up6(―→))共線，即A，B，D三點(diǎn)共線．4．設(shè)向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選B因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝2a－b.又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BD,\s\up6(―→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(―→))＝λeq\o(BD,\s\up6(―→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.5.(2023·成都一模)如圖，在△ABC中，D為線段BC上異于B，C的任意一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)解析：選B在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))不共線，點(diǎn)D在BC上，則eq\o(BD,\s\up6(―→))∥eq\o(BC,\s\up6(―→))，所以存在唯一實(shí)數(shù)t使eq\o(BD,\s\up6(―→))＝teq\o(BC,\s\up6(―→))?eq\o(AD,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→))＝t(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))?eq\o(AD,\s\up6(―→))＝teq\o(AC,\s\up6(―→))＋(1－t)eq\o(AB,\s\up6(―→))，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(1－t,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))，而eq\o(AE,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，所以λ＝eq\f(1－t,2)，μ＝eq\f(t,2)，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).6．若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝8，則|a＋b|的最小值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)a與b共線且反向時(shí)|a＋b|的最小值為5.答案：57．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(―→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，teq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\o(MC,\s\up6(―→))＝2eq\o(MD,\s\up6(―→))，又因?yàn)閑q\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(―→))＝0，所以eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\o(MC,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\o(MD,\s\up6(―→))＝0，即eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，又因?yàn)閠eq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，所以t＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))，則eq\f(|\o(BC,\s\up6(―→))|,|\o(AC,\s\up6(―→))|)＝________.解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，所以eq\f(|\o(BC,\s\up6(―→))|,|\o(AC,\s\up6(―→))|)＝3.答案：39．已知兩個(gè)非零向量a和b不共線，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝2a－3b，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝ka＋12b.(1)若2eq\o(OA,\s\up6(―→))－3eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，求k的值；(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，求k的值．解：(1)∵2eq\o(OA,\s\up6(―→))－3eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0，又a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1.(2)∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq\o(BC,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))，即eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→)))，∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb，又a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1＝－λ，,10＝5λ，))消去λ，得k＝－1.10．已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)．(1)求eq\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))；(2)若PQ過(guò)△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(―→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(―→))＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.解：(1)連接GM(圖略)，因?yàn)閑q\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＝2eq\o(GM,\s\up6(―→))，2eq\o(GM,\s\up6(―→))＝－eq\o(GO,\s\up6(―→))，所以eq\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))＝－eq\o(GO,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))＝0.(2)證明：易知eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，因?yàn)镚是△ABO的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三點(diǎn)共線，設(shè)eq\o(QG,\s\up6(―→))＝teq\o(QP,\s\up6(―→))，所以eq\o(OG,\s\up6(―→))－eq\o(OQ,\s\up6(―→))＝t(eq\o(OP,\s\up6(―→))－eq\o(OQ,\s\up6(―→)))，即eq\o(OG,\s\up6(―→))＝teq\o(OP,\s\up6(―→))＋(1－t)eq\o(OQ,\s\up6(―→))，即eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝mta＋(1－t)nb.由a，b不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mt＝\f(1,3)，,1－tn＝\f(1,3).))所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.二、重點(diǎn)難點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練1.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(―→))，AC，MN交于點(diǎn)P.若eq\o(AP,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))，則λ的值為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(3,7)C.eq\f(3,16) D．eq\f(6,17)解析：選D∵eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(―→))，∴eq\o(AP,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\o(AM,\s\up6(―→))＋\f(3,2)\o(AN,\s\up6(―→))))＝eq\f(4,3)λeq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)λeq\o(AN,\s\up6(―→)).∵點(diǎn)M，P，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(4,3)λ＋eq\f(3,2)λ＝1，則λ＝eq\f(6,17).故選D.2．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PC,\s\up6(―→))|－|eq\o(PB,\s\up6(―→))＋eq\o(PC,\s\up6(―→))－2eq\o(PA,\s\up6(―→))|＝0，則△ABC是________三角形．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PC,\s\up6(―→))|－|eq\o(PB,\s\up6(―→))＋eq\o(PC,\s\up6(―→))－2eq\o(PA,\s\up6(―→))|＝0，所以|eq\o(CB,\s\up6(―→))|－|(eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PA,\s\up6(―→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(―→))－eq\o(PA,\s\up6(―→)))|＝0，即|eq\o(CB,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))|，等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(AB,\s\up6(―→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(―→))⊥eq\o(AB,\s\up6(―→))，∠BAC＝90°，則△ABC為直角三角形．答案：直角3．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))＋λeq\o(AB,\s\up6(―→))(λ∈R)，則λ＝________，AD＝________.解析：∵B，D，C三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4).如圖，過(guò)D分別作AC，AB的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,