上海市北橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40，0、125，則n的值為（

）A、640

B、320

C、240

D、160

參考答案：B2.數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，有(

)（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D3.已知函數(shù)，R，則，，的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．參考答案：A4.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b參考答案：A考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：利用條件構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。獯穑航猓涸O(shè)h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴h（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故選：A．點(diǎn)評：本題主要考查如何構(gòu)造新的函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小，是常見的題目．本題屬于中檔題．6.下列命題中正確的是（）A．函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)B．函數(shù)y=2sin（﹣2x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞減C．函數(shù)y=2sin（﹣2x）﹣cos（+2x）（x∈R）的一條對稱軸方程是x=D．函數(shù)y=sinπx?cosπx的最小正周期為2，且它的最大值為1參考答案：B【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡，利用正弦及余弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，分別判斷，即可求得答案．【解答】解：由y=sinx為奇函數(shù)，并不是x∈[0，2π]是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；由令+2kπ≤﹣2x≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，∴y=2sin（﹣2x）單調(diào)遞減區(qū)間為[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為[﹣，]，∴函數(shù)y=2sin（﹣2x）在區(qū)間[﹣]上單調(diào)遞減，故B正確；y=2sin（）﹣cos（）=2cos[﹣（）]﹣cos（）=cos（2x+），令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=﹣，k∈Z，x=不是數(shù)y=2sin（）﹣cos（）（x∈R）的一條對稱軸，故C錯(cuò)誤；由y=sinπx?cosπx=sin2πx，∴函數(shù)的周期T==1，最大值為，故D錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)評】本題考查誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期及最值的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．7.已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【專題】函數(shù)思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】分別求出p，q成立的m的范圍，取交集即可．【解答】解：關(guān)于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，關(guān)于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，則△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q為真命題，則p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：﹣2＜m＜0，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題．8.一批物資隨17輛貨車從甲地以vkm/h（90≤v≤120）的速度勻速運(yùn)達(dá)乙地．已知甲、乙兩地相距400km，為保證安全，要求兩輛貨車的間距不得小于km（貨車長度忽略不計(jì)），那么這批貨物全部運(yùn)達(dá)乙地最快需要的時(shí)間是(

)

A．8小時(shí)

B．8.5小時(shí)

C．9小時(shí)

D．10小時(shí)．參考答案：A9.已知全集，集合（

）A. B. C. D.參考答案：D10.將函數(shù)y=cos（2x+）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到f（x）的圖象，則（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的圖象關(guān)于x=﹣對稱C．f（）= D．f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y=cos（2x+）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的圖象，故排除A；當(dāng)x=﹣時(shí)，f（x）=1，為最大值，故f（x）的圖象關(guān)于x=﹣對稱，故B正確；f（）=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；當(dāng)x=時(shí)，f（x）=﹣sin=﹣≠0，故f（x）的圖象不關(guān)于（，0）對稱，故D錯(cuò)誤，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知過點(diǎn)P（1，0）且傾斜角為60°的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則弦長|AB|=

.參考答案：12.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則______________．參考答案：7.【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法，化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，因此.故答案為7【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可，屬于?？碱}型.13.如圖是給出的一種算法，則該算法輸出的結(jié)果是

參考答案：24【考點(diǎn)】偽代碼．【分析】模擬程序代碼的運(yùn)行過程，可知程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量t的值，由于循環(huán)變量的初值為2，終值為4，步長為1，故循環(huán)體運(yùn)行只有3次，由此得到答案．【解答】解：當(dāng)i=2時(shí)，滿足循環(huán)條件，執(zhí)行循環(huán)t=1×2=2，i=3；當(dāng)i=3時(shí)，滿足循環(huán)條件，執(zhí)行循環(huán)t=2×3=6，i=4；當(dāng)i=4時(shí)，滿足循環(huán)條件，執(zhí)行循環(huán)t=6×4=24，i=5；當(dāng)i=5時(shí)，不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出t=24．故答案為：24．14.如果，那么

.參考答案：15.若函數(shù)f（x）=x2+ax+1是偶函數(shù)，則函數(shù)的最小值為．參考答案：2

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：依題意，可求得a=0，從而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函數(shù)的最小值．解答：解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取“=”）．∴函數(shù)y=的最小值為2．故答案為：2．點(diǎn)評：本題考查基本不等式，考查函數(shù)的奇偶性，求得a=0是關(guān)鍵，屬于中檔題．16.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，則m=___________.參考答案：-6因?yàn)閍∥b，所以－2m－4×3=0，解得m=-6．17.點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則該球的表面積為

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知（I）求的值；

（II）設(shè)參考答案：解：（Ⅰ） >0略19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）.(1)若函數(shù)在處取得極大值,求的值;(2)時(shí),函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的區(qū)域內(nèi),求的取值范圍;(3)證明:，.參考答案：(1)，由經(jīng)檢驗(yàn)符合題意……（3分）(2)依題意知，不等式在恒成立.令,當(dāng)k≤0時(shí),取x＝1,有，故k≤0不合．…………（4分）當(dāng)k＞0時(shí)，g′(x)＝－2kx＝.①當(dāng)，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而對任意的x∈[0，＋∞)，總有g(shù)(x)≤g(0)＝0，故k≥符合題意．…………（6分）綜上，.…………（8分）(3)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．……………（9分）……1420.已知點(diǎn)N（﹣1，0），F(xiàn)（1，0）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，點(diǎn)M是以N為圓心，4為半徑的圓上任意一點(diǎn)，線段MF的垂直平分線交于MN于點(diǎn)R．（1）點(diǎn)R的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；（2）拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，請問：是否存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】J3：軌跡方程．【分析】（1）利用橢圓的定義，求曲線E的方程；（2）假設(shè)存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)，則|AF|=|FB|．求出直線方程，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，|RM|=|RF|，∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4＞|NF|，∴R的軌跡是以N，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a=2，c=1，b=，∴曲線E的方程為=1；（2）拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，拋物線的方程為y2=4x，假設(shè)存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)，則|AF|=|FB|．直線l斜率顯然垂直，設(shè)方程為y=k（x﹣1）（k≠0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線代入拋物線方程，整理可得ky2﹣4y﹣4k=0，∴y1+y2=①，y1y2=﹣4，②∵|AF|=|FB|，∴=﹣2③，∴由①②③解得k=±2．k=2時(shí)，直線l的方程為y=2（x﹣1），解得A（，﹣），B（2，2）．直線與橢圓方程聯(lián)立解得P（，﹣），A（，），∵yB≠2yQ，∴Q不是FB的中點(diǎn)，即A，F(xiàn)，Q不是線段PB的四等分點(diǎn)，同理可得k=﹣2時(shí)，A，F(xiàn)，Q不是線段PB的四等分點(diǎn)，∴不存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)．21.在△ABC中，AB=6，AC=3，?=﹣18．（1）求BC的長；（2）求tan2B的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）根據(jù)向量積的運(yùn)算由?=﹣18可得AB?AC?cosA=18，利用余弦定理可求BC的長度．（2）方法1：利用余弦定理求解cosB和sinB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．方法2：利用正弦定理求sinB，在求cosB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．【解答】解：（1）由?=﹣18可得AB?AC?cosA=﹣18，∵AB=6，AC=3∴cosA==﹣，∵0＜A＜π，∴A=由余弦定理可得：BC==；（2）方法1：由（1）可得：a=3，b=3，c=6，可得：cosB==那么sinB=∴tanB=故得tan2B==．方法2：由（1）可得：cosA=﹣，A=那么：∵a=3，b=3，c=6，那么sinA=正弦定