2022-2023學(xué)年山東省東營(yíng)市區(qū)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線y=4x2關(guān)于直線x﹣y=0對(duì)稱的拋物線的準(zhǔn)線方程是(

) A．y=﹣ B．y= C．x= D．x=﹣參考答案：D考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先求出拋物線y=4x2的準(zhǔn)線l，然后根據(jù)對(duì)稱性的求解l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線，即為拋物線y=4x2關(guān)于直線x﹣y=0對(duì)稱的拋物線的準(zhǔn)線方程．解答： 解：∵y=4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=，∴其準(zhǔn)線方程為y=﹣，y=﹣關(guān)于y=x對(duì)稱方程為x=﹣．所以所求的拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=﹣．故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線，曲線關(guān)于直線對(duì)稱的求解，屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．2.已知函數(shù)，給出下列命題：（1）必是偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（3）若，則在區(qū)間上是增函數(shù)；（4）有最大值.其中正確的命題序號(hào)是（

）A.（3）

B.（2）（3）

C.（3）（4）

D.（1）（2）（3）參考答案：A略3.參考答案：D4.已知直線，平面，且，給出四個(gè)命題：

①若∥，則；

②若，則∥；③若，則l∥m；

④若l∥m，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．4

B．3

C．2 D．1參考答案：C略5.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：D6.已知全集，集合，，則A．

B．

C.

D．參考答案：D考查補(bǔ)集與交集的運(yùn)算。因?yàn)?，所以，?.設(shè)i為虛數(shù)單位，則等于（

）A.-2-3i

B.-2+3i

C.2-3i

D2+3i參考答案：C略8.下列不等式中，與不等式同解的是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D9.設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列B．{Sn}為遞增數(shù)列C．{S2n﹣1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n﹣1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的邊BnCn為定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，則在△AnBnCn中邊長(zhǎng)BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長(zhǎng)度之和bn+cn=2a1為定值，由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，根據(jù)bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞時(shí)bn→cn，據(jù)此可判斷△AnBnCn的邊BnCn的高h(yuǎn)n隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由題意，+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，又由題意，bn+1﹣cn+1=，∴=a1﹣bn，∴bn+1﹣a1=，∴bn﹣a1=，∴，cn=2a1﹣bn=，∴[][]=[﹣]單調(diào)遞增（可證當(dāng)n=1時(shí)＞0）故選B．10.定義新運(yùn)算為a?b=，則2?（3?4）的值是__

__.參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為、b、c，若，則

參考答案：略12.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列滿足，且（其中為的前項(xiàng)和）,則____________.參考答案：

3略13.雙曲線（a＞0）的右焦點(diǎn)為圓（x﹣4）2+y2=1的圓心，則此雙曲線的離心率為．參考答案：

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，圓的圓心坐標(biāo)，列出方程，求解即可．【解答】解：雙曲線（a＞0）的右焦點(diǎn)（，0），為圓（x﹣4）2+y2=1的圓心（4，0）．由題意可得，解得a=3，則c=4，雙曲線的離心率為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)與圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．14.已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

所以

因此………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，所以的極大值為，極小值為因此

所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)因此，的取值范圍為?！?2分略15.過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則此切線方程為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，ex0），切線的斜率為k，則k=ex0，故切線方程為y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切線過(guò)原點(diǎn)，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．則切線方程為y=ex故答案為y=ex．【思路點(diǎn)撥】欲求切點(diǎn)的坐標(biāo)，先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，ex0），再求出在點(diǎn)切點(diǎn)（x0，ex0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過(guò)原點(diǎn)即可解決問(wèn)題16.函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的表達(dá)式為_(kāi)_______.參考答案：略15.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為

。

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)()，Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使成立的最大正整數(shù)．

參考答案：解：（1）由題意知，即解得故，………5分（2）由得由解得故所求的最大正整數(shù)為5.………12分

19.在三棱錐中，面，，，，、分別是和的中點(diǎn)．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）．參考答案：解：（1）以為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，……（2分），因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，……（3分），設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即三棱錐的高為，……（4分）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以△△，……（5分）所以三棱錐的體積△．……（7分）（2），，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，，從而，，即，…（9分）取，則，．……（10分）設(shè)二面角的大小為，由圖形可知是銳角，所以．……（11分）因此，二面角的大小為．……（12分）略20.設(shè)p：“方程x2+y2=4﹣a表示圓”，q：“方程﹣=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”，如果p和q都正確，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求出命題p真、命題q真時(shí)a的范圍，由p和q都正確，得?實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：若命題p真：方程x2+y2=4﹣a表示圓，4﹣a＞0，即a＜4，若命題q真：則a+1＞0，得a＞﹣1，∵p和q都正確，所以?﹣1＜a＜4，實(shí)數(shù)a的取值范圍：（﹣1，4）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查圓和雙曲線的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)。（Ⅰ）若存在，使得，求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。參考答案：解：由得

，-----------------------------------3分（Ⅰ）存在，使得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。所以的最大值為-------------------------4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：000極大值極小值的極大值，的極小值---------------------------------------11分又，。所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn)。------------------------------------------------------------------------------------------------------------14分

【注：①證明的極小值也可以這樣進(jìn)行：設(shè)則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為從而的極小值②證明函數(shù)共三個(gè)零點(diǎn)。也可這樣進(jìn)行：的極大值，的極小值，當(dāng)無(wú)限減小時(shí)，無(wú)限趨于，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨于，所以，在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn)。22.（13分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求三棱錐A-A1CB的體積；（Ⅲ）求二面角A1-CB-A的正切值.

參考答案：

解析：方法1：

（Ⅰ）解：在三棱柱中C1B1∥CB，平面且平面則∥平面.……3分（Ⅱ）解：因?yàn)?=×1×(1×1×sin120°)=.…………6分（Ⅲ）解:在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A向BC做垂線AD，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)A1D.因?yàn)锳1A⊥平面ABC，所以A1D⊥BD.所以∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角.容易求出AD=，所以tan∠A1DA===.即二面角A1-CB-A的正切值是………………13分方法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(-，，0)，B1(-