第22講余弦定理一．學(xué)問精講學(xué)問點(diǎn)一：余弦定理的內(nèi)容三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦值的乘積的兩倍，即學(xué)問點(diǎn)二：余弦定理的理解①適用范圍：對任意三角形，三個等式都成立．②結(jié)構(gòu)特征：“平方〞、“夾角〞、“余弦〞．③簡潔應(yīng)用：每個等式都涉及三邊和一角四個元素，在等式中可做到知三求一．學(xué)問點(diǎn)三：余弦定理的證明〔1〕解析法：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，那么，．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得，即．同理可證：．〔2〕幾何法：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，那么，，．在中，由勾股定理，得．即，即．同理可證：．②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，那么，．在中，，即．．同理可證：．③當(dāng)為直角三角形時(shí)，結(jié)論明顯成立．由①②③知，余弦定理成立．〔3〕用正弦定理證明：同理可證：學(xué)問點(diǎn)四：余弦定理的變形；；．學(xué)問點(diǎn)五：余弦定理與勾股定理的關(guān)系由余弦定理知：當(dāng)時(shí)，，那么，是直角三角形，反之亦然；當(dāng)時(shí)，，那么，是鈍角三角形，反之亦然；當(dāng)時(shí)，，那么，是銳角三角形，反之亦然．綜上：等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于．由此可知，勾股定理是余弦定理的特別例子，余弦定理是勾股定理在斜三角形中的推廣，并且余弦定理是推斷三角形外形的一種有效方法．二．經(jīng)典題型題型一：利用余弦理解三角形利用余弦定理可以解決兩類解三角形問題：①兩邊和它們的夾角解三角形．此種狀況的根本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一個角，最終用三角形內(nèi)角和定理求第三個角．②三角形的三邊解三角形．此種狀況的根本解法是先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個角，最終用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角．③三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形，根本解法有兩種：方法一，先用正弦定理求出另一條邊所對角，再利用內(nèi)角和定理求出另一個角，最終用正弦定理求出第三邊；方法二，先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三邊，再利用正弦定理求其他的兩個角．1．兩邊及夾角解三角形【例1】在中，求角和邊．【解析】由余弦定理：=2．三邊〔或三邊關(guān)系〕解三角形【例2】在中，，且，求角，，．【解析】在中，而，，再由得或或又,或又，角，，依次為．3．兩邊及其中一邊對角解三角形【例3】在中，，解此三角形．【解析】由余弦定理得化簡可得解得或．當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，時(shí)，由正弦定理得．．【變式1】某三角形的兩邊長分別為和，它們夾角的余弦值是方程的根，求此三角形的第三邊長．【解析】解方程得，〔舍去〕故兩邊夾角的余弦值為由余弦定理得第三邊邊長的平方為.故所求三角形的第三邊長為．【變式2】在中，且，求角．【解析】，，，，，，題型二：利用余弦定理判定三角形外形1．利用角與角的關(guān)系推斷①銳角三角形：需推證；②直角三角形：證明某個內(nèi)角的余弦值為0或正弦值為1，如或；③鈍角三角形：證明某個內(nèi)角的余弦值小于零，如；④等腰三角形：證明有兩個角相等，如．2．利用邊與邊的關(guān)系推斷①銳角三角形：需證明；②直角三角形：證明某兩邊的平方和等于第三邊的平方，如；③鈍角三角形：證明某兩邊的平方和小于第三邊的平方，如；④等腰三角形：證明某兩邊相等，如．【例4】在中，，且，推斷的外形．【解析】由正弦定理得,,，又，，即，，，．，得，．．為等邊三角形．【例5】在中，〔，，分別為角，，的對邊〕，推斷的外形．【解析】，．．．是直角三角形,其中角為．【變式】依據(jù)以下條件，推斷三角形的外形．〔1〕在中，；〔2〕在中，．【解析】〔1〕,,,,又,,,等腰三角形．〔2〕可得即,即,即,化簡得．或，即或．為等腰三角形或直角三角形．題型三：三角形中三角式的化簡與證明1．證明三角形中的恒等式的關(guān)鍵在于：利用正余弦定理以及其他公式，對邊角關(guān)系進(jìn)行互化，再利用有關(guān)學(xué)問來求解．2．利用正余弦定理證明與三角形有關(guān)的三角恒等式，要緊緊把握正余弦定理中反映的三角形的邊角關(guān)系來處理．正弦定理常把邊化成角，余弦定理常把角化成邊.另外還要運(yùn)用三角形性質(zhì)以及三角恒等變換公式．【例6】在中，角，，所對邊分別為，，，求證：．【解析】由正弦定理得，(為的外接圓半徑)由余弦定理得，，右邊，，左邊．【變式】，求證：為定值． 【解析】在中，．題型四：范圍與最值問題1．解決三角形中的最值問題的關(guān)鍵在于：利用正余弦定理、三角恒等變換將有關(guān)式子轉(zhuǎn)換為某一個角的三角函數(shù)，或某一邊的函數(shù)，進(jìn)而求出其最值．2．對于求角的范圍問題：先求出該角的某一三角函數(shù)值的取值范圍，再依據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性求出其取值范圍．【例7】在中，角，，所對邊分別為，，，假設(shè)，，求的取值范圍．【解析】由余弦定理得，知，，又，所以，得，即．【變式】鈍角三角形的三邊長分別是，，，且最大角不超過，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】，．設(shè)鈍角三角形的最大內(nèi)角為，那么，且其所對邊長為．依據(jù)余弦定理，．，，即,由于為正實(shí)數(shù)，解得．即的取值范圍是．題型五：正余弦定理的綜合應(yīng)用解三角形的類型：在三角形的邊角六個元素中，只要知道三個，其中至少有一個元素為邊，即可求解該三角形，按條件可分為以下幾種狀況．條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角〔如〕正弦定理由，求出角；再由正弦定理求出與．在有解時(shí)只有一解．兩邊和夾角〔如〕正弦定理和余弦定理由余弦定理求出第三邊；再由正弦定理求出小邊所對的角；再由，求出另一角．在有解時(shí)只有一解．三邊如余弦定理由余弦定理求出角；再利用，求出角．在有解時(shí)只有一解．兩邊和其中一邊的對角〔如〕正弦定理或余弦定理由正弦定理求出角，由，求出角；再利用正弦定理求出邊，或由余弦定理求出，再由余弦定理的推論求出．可能有一解、兩解或無解．【例8】，，分別是中角，，的對邊，且，，是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根．〔1〕求的正弦值；〔2〕求邊，，；〔3〕推斷的外形．【解析】(1)由：，，由正弦定理：，由余弦定理：，，〔2〕由〔1〕方程，即那么，，，〔3〕由〔2〕，可知，三角形是直角三角形．【變式】在中，分別是角的對邊，向量，，且．〔1〕求角的大?。弧?〕假設(shè)，求的面積．【解析】〔1〕．．由于是三角形內(nèi)角，所以〔2〕由〔1〕可知，且．即．即．又，．．

課后作業(yè)一．根底過關(guān)1．設(shè)中，內(nèi)角的對邊分別為，且，，那么的外形為〔〕A．銳角三角形B．鈍角三形C．直角三角形D．不能確定【答案】C【解析】，．又,,是直角三角形．2．的三邊長分別為，那么該三角形其外接圓半徑等于．【答案】【解析】由題意最大角為7所對邊的角，所對的余弦值為,所以此角的正弦值為．由正弦定理可得，求得．3．假設(shè)的三個內(nèi)角滿意，那么為〔〕A．肯定是銳角三角形B．肯定是鈍角三角形C．肯定是直角三角形D．可能是銳角三角，也可能是鈍角三角形【答案】B【解析】假設(shè)的三個內(nèi)角滿意;由正弦定理可得：;設(shè)，明顯是大角；．所以是鈍角,是鈍角三角形．4．在中，，那么角的取值范圍為．【答案】【解析】由正弦定理得．由余弦定理得，那么,,．5．的三邊分別為，，，那么的值為．【答案】【解析】由余弦定理得：,二．延長拓展6．如下圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，，，那么的值為〔〕A．B．