第18課時(shí)

第五章數(shù)學(xué)證明第五節(jié)悖論悖論：指看似非常明顯的假命題，實(shí)際上卻是真實(shí)命題；看似非常明顯的真命題，事實(shí)卻是假命題.換句話說，悖論就是看似絲毫沒有錯(cuò)誤，事實(shí)上卻是存在矛盾的命題。悖論直觀解釋悖論：“故事里有多少是是非非，故事里有多少非非是是.故事里的事，說是就是，不是也是.故事里的事，說不是就不是，是也不是.”德國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克爾和巴—希勒爾在《集合論基礎(chǔ)》定義悖論如下：

“如果某一理論的公理看上去是真實(shí)的，它的推理規(guī)則看上去也是有效的，但在該理論中卻證明了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式.那么，就說這個(gè)理論是包含悖論的.”悖論悖論定義中明確一下三點(diǎn)：（1）悖論總是相對(duì)于某一理論而言的；（2）一個(gè)悖論可以表現(xiàn)為某一理論中兩個(gè)互相矛盾的命題的形式；（3）悖論也可集中地表現(xiàn)為肯定等價(jià)于否定的復(fù)合命題.幾個(gè)著名悖論——說謊者悖論說謊者悖論的原始命題：“一個(gè)克里特人說：‘所有的克里特人所說的每一句話都是謊話.’”但反之，如果它是假話，那么，得出并非所有克里特人總是說謊，即有些克里特人是說真話的，這樣從假推不出其真.如果它是真話，那么，由于說話者本人是克里特人，所以這謊話是假的，結(jié)果得出這句話是假話，即產(chǎn)生了從肯定其真推出其假的矛盾.歐布里得（Eubulides）把上述原始命題改述為：“我說的這句話是假話.”稱之為強(qiáng)化了的說謊者悖論.幾個(gè)著名悖論——說謊者悖論說謊者悖論是自我指稱導(dǎo)致邏輯出現(xiàn)問題的一個(gè)范例.自我指稱：指說話者所說的語句把自己也包含在內(nèi).這種悖論，叫做“語義學(xué)悖論”.

最基本的語句是實(shí)際語句.它只談?wù)搶?shí)際的事物，如“雪是白的”，“狗是哺乳動(dòng)物”……而不涉及句子的真假.比它高一級(jí)的句子是1級(jí)抽象語句，它包括了實(shí)際語句，并且可以談?wù)搶?shí)際語句的真假.例如“雪是白的”這句話是對(duì)的，就屬于1級(jí)抽象.往上，有2級(jí)、3級(jí)……n級(jí)抽象語句.n級(jí)抽象語言包括了n-1級(jí)語言的真假.這樣，就可以消除循環(huán)判斷所產(chǎn)生的悖論.用語言分級(jí)的辦法來消除語義學(xué)悖論方法：幾個(gè)著名悖論——羅素悖論羅素悖論是由于對(duì)集合具有辯證性認(rèn)識(shí)不足造成的。所謂集合具有辯證性質(zhì)：指集合既可被看成是一個(gè)完成了的對(duì)象，同時(shí)又具有無限擴(kuò)張的可能性.也就是說它既是一種實(shí)在的對(duì)象，同時(shí)也是一種潛在的對(duì)象，即是過程性和完成性的辯證統(tǒng)一

羅素本人提出了把集合分層的辦法來消除這個(gè)悖論，正如塔斯基把語言分級(jí)一樣，他先給定基本集合.第一層集合包括基本集合，以及以基本集合為元素的集合.第n層集合包括第n-1層集合，以及以第n-1層集合為元素的集.這樣，就不會(huì)發(fā)生“集合是否以自身為元素”的問題。————此方法太繁瑣。

德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅洛首先提出公理集理論思想，該體系經(jīng)他的同胞弗倫克爾等人修改補(bǔ)充，成為比較嚴(yán)格的公理體系，常被稱為ZF。幾個(gè)著名悖論——理查德悖論由于每一個(gè)自然數(shù)都能用一個(gè)英文詞匯或短語去描述它，而每個(gè)英文詞匯或短語總是用有限多個(gè)英文字母組成的，其中凡重復(fù)幾次出現(xiàn)的字母就同時(shí)算幾個(gè)字母.例如，36這個(gè)數(shù)可以描寫為thirty-six（三十六）或fourtimesnine（四乘九），第一種描寫用了九個(gè)字母，第二種用了十三個(gè)字母.描寫任一給定的自然數(shù)都不止一種方法，但這是無關(guān)緊要的.今考慮：“所有那些（至少有一種方法）可以用不多于100個(gè)字母描述出來的自然數(shù)的集S”.可證S為有限集合.事實(shí)上，對(duì)于每一個(gè)英文字母，可有26種選擇，加上不選，計(jì)有27種選擇.因之，充其量只有27100種可能的描述（而且其中有些是沒有意義的）.那么，由這27100種描述也只能描述有限多個(gè)自然數(shù)，因此，S之元素的個(gè)數(shù)必為有限.令N為全體自然數(shù)的集合，故有M=N\S≠空集（即所有那些不論怎樣描述都需要至少是101個(gè)字母的自然數(shù)的集為M），既然M是非空自然數(shù)集，M中必有一個(gè)最小的自然數(shù)（良序集之任一子集必有首元），因此，m屬于M.我們可以用下面一句話描述m：“theleastintegernotdescribableinonehundredorfewerletters.”（不能用100個(gè)或更少的字母描寫出來的最小整數(shù)）.但是這一詞組中的字母只用了55個(gè)字母，少于100個(gè)，故m屬于S，于是，另一方面又有m不屬于M.，矛盾.總之，這是用少于100個(gè)字母去描述了一個(gè)100個(gè)或更少的字母所不能描述的自然數(shù).幾個(gè)著名悖論——理查德悖論理查德悖論也是語義學(xué)悖論，這種悖論的實(shí)質(zhì)也是對(duì)語言的辯證性認(rèn)識(shí)不足.所謂語言具有辯證性質(zhì)，是指語言既是已經(jīng)發(fā)展起來的，同時(shí)又處于進(jìn)一步的發(fā)展之中；既是穩(wěn)定的，又是不穩(wěn)定的；既是精確的，又是含糊的.語義學(xué)悖論的根源在于語言的辯證性遭到了破壞：對(duì)立的環(huán)節(jié)被絕對(duì)地割裂開來，并片面地予以夸大，然后，又被機(jī)械地重新聯(lián)系起來，從而形成了直接的沖突，便構(gòu)成了悖論.虛假悖論及詭論

所謂虛假悖論是指沒有產(chǎn)生真正的邏輯上的矛盾，只不過是與當(dāng)時(shí)人們的傳統(tǒng)觀念和原有理論范圍中的結(jié)論相悖罷了，隨著新理論、新觀念的誕生，這種悖論自動(dòng)會(huì)消解.在某種意義上說，詭論是“攪混”或者有意混淆事物的本質(zhì)引發(fā)的.虛假悖論1：伽利略悖論大家知道，自然數(shù)的平方數(shù)集是自然數(shù)集的部分，因此，由“全體大于部分”的原則，自然數(shù)集的元數(shù)“總數(shù)”比平方數(shù)集的“總數(shù)”多.但是，對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)n，都有一個(gè)平方數(shù)n2與之對(duì)應(yīng)，而且不同的n所對(duì)應(yīng)的n2也是不同的.于是，平方數(shù)的“總數(shù)”也不比自然數(shù)的“總數(shù)”少.問題出現(xiàn)在哪里呢？這就是所謂的伽利略悖論.其實(shí)，這是把關(guān)于有限的性質(zhì)濫用到無窮的結(jié)果.后來，康托爾創(chuàng)建的集合論自動(dòng)消除了這個(gè)“悖論”（無窮集的本質(zhì)是能同自己的真子集建立一一對(duì)應(yīng)）.虛假悖論及詭論虛假悖論2：

“丟失美元悖論”三位婦女打算到佛羅里達(dá)旅游勝地去度假.她們?cè)诼灭^訂了一個(gè)房間，收費(fèi)是每人10美元，共計(jì)30美元.后來，旅館經(jīng)理在檢查客戶名單時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己犯了個(gè)錯(cuò)誤，多收了這三個(gè)人的住宿費(fèi).這三人訂的房間只需要25美元.于是他把服務(wù)員叫來，要服務(wù)員把多收的5美元還給房客.因?yàn)闊o法將5美元平均還給三位女房客，于是貪便宜的服務(wù)員就把2美元放進(jìn)自己的口袋，還給三位房客每人1美元.現(xiàn)在問題就來啦.開始時(shí)每位房客付了10美元，最后找回美元.因此實(shí)際上每個(gè)人付的房費(fèi)是9美元.三個(gè)人的房費(fèi)加起來就是9*3，共計(jì)27美元.如果再加上服務(wù)員貪沒的2美元，總計(jì)就是29美元.但是開始時(shí)三個(gè)女房客付出的是30美元呀！還有1美元到哪里去了呢？虛假悖論及詭論虛假悖論3：“意料之外的考試悖論”一位教授宣布，下周的某一天要進(jìn)行一次“意料之外的考試”，并稱沒有一個(gè)學(xué)生能在考試那天之前預(yù)