2023中考數(shù)學重難題型押題培優(yōu)導練案（北京專用）

專題01新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問題

（北京13-22年最后一題+真題10道模擬30道）

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

新定義"型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀

懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型:

（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接"新知識"；（3）定義新概念.這類試題考查考生對"新定

義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將"新定義"的知識與已學知識聯(lián)系起來，利

用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.

解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論;

（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；

歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學

思想方法解決題目中需要解決的問題。

北京中考最后一題的新定義主要涉及函數(shù)與圓的有關(guān)新定義問題，屬于函數(shù)的范疇，已經(jīng)考過“對應

點”、“關(guān)聯(lián)線段”、“平移距離”“閉距離”、“相關(guān)矩形”、“反稱點”、“有界函數(shù)”、“關(guān)聯(lián)點”等新定義。

在平時的教學過程中要從細節(jié)中挖掘出數(shù)學的本質(zhì)特征，引領(lǐng)學生找到解決問題的思想方法.解答這類問

題的關(guān)鍵是要讀懂題目提供.的新知識，理解其本質(zhì)，把.它與己學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉(zhuǎn)化為己學

的知識進行解決.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準提分

【例1】（2022?北京?中考真題）在平面直角坐標系無Oy中，已知點M（a,b）,N.對于點P給出如下定義：將點P向

右（a>0）或向左（a<0）平移|a|個單位長度，再向上（b>0）或向下（b<0）平移依個單位長度，得到點P',

點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應點

⑴如圖，點點N在線段0M的延長線上，若點P（—2,0）點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段ON于點7.求證：NT=^OM;

⑵。。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段0M上，且。N=tG<t<l),若P為O。外一點，點Q為

點P的“對應點”，連接PQ.當點M在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表示)

【答案】(1)見解析

(2)4t-2

【解析】

【分析】

(1)①先根據(jù)定義和M(Ll)求出點P'的坐標，再根據(jù)點P'關(guān)于點N的對稱點為Q求出點。的坐標；②延長

CW至點4(3,3),連接4。，利用/L4S證明AAQTWA0P7,得到771=7。=1。4再計算出。4,OM,ON,

即可求出NT=ON-0T=—=-0M-,

22

(2)連接P。并延長至S,使OP=OS,延長SQ至T,使S7=0M,結(jié)合對稱的性質(zhì)得出NM為A/QT的

中位線，推出NM=：Q7,得出SQ=ST-7Q=1—(2-2t)=2t-l,則PQmax-PQmin=(PS+QS)一

(PS-QS)=2QS.

(1)

解：①點Q如下圖所示.

?點”(1,1),

.?.點P(-2,0)向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點P',

???點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,N(2,2),

二點Q的橫坐標為：2x2-(-1)=5,縱坐標為：2x2-1=3,

②證明：如圖延長ON至點4(3,3),連接A。,

AQ//OP,

：.Z.AQT=Z.OPT,

在A4Q7與A/OPT中，

Z.AQT=4OPT

Z.ATQ=乙OTP,

,AQ=OP

:.AAQT=AOPT(AAS),

.,.TA=TO=-OA,

2

V4(3,3),N(2,2),

AOA=5/32+32==3V2-OM=Vl2+l2=V2-O/V=V22+22=

-TO=\OA=y2,

：.NT=ON-OT==2V2--V2=—.

22

(2)

解：如圖所示，

p'

t1

'、、—S./

連接P。并延長至S，使OP=OS,延長S。至7,使S7=0M,

：M(a,b),點P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(b>0)或向下(b<0)平移網(wǎng)個單位

長度，得到點P'，

：.PP'=OM=1,

???點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,

：.NP'=NQ,

又〈OP=OS,

：.OM//ST,

...MW為AP'QT的中位線，

：.NMI/QT,NM=^QT,

,:NM=OM-ON=l-t,

:.TQ=2NM=2-2t,

：.SQ=ST-TQ=1-(2-2t)=2t-1,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

結(jié)合題意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,

???PQmax-PQmin=8+QS)一(PS-QS)=2QS=4t-2,

即PQ長的最大值與最小值的差為4t一2.

【點睛】

本題考查點的平移，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質(zhì)及線段的最值問題，第2

問難度較大，根據(jù)題意，畫出點。和點P'的軌跡是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2021?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,對于點4和線段BC,給出如下

定義：若將線段BC繞點4旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦B'C'分別是B,C的對應點)，則稱線段BC是。。的以

點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點481(1，82，。2，%,。3的橫'縱坐標都是整數(shù).在線段為G，B2c2，B3c3中，O。的以點A為中心

的“關(guān)聯(lián)線段”是;

(2)△ABC是邊長為1的等邊三角形，點4(0"),其中140.若BC是。0的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，

求t的值;

(3)在AABC中，AB=1,AC=2.若BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出04的最小值和最

大值，以及相應的BC長.

【答案】⑴B2c2；(2)t=±V3:⑶當。/n=l時，此時亦=存當。4海=2時，此時亦=爭

【解析】

【分析】

(1)以點A為圓心，分別以4a,4的,482，力。2,483,4。3為半徑畫圓，進而觀察是否與0。有交點即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AAB'C'是等邊三角形，旦夕C'是。。的弦，進而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可進行求解；

(3)由BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知8',C’都在。。匕且48'=48=1,AC=AC=2,

然后由題意可根據(jù)圖象來進行求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：

通過觀察圖象可得：線段B2c2能繞點4旋轉(zhuǎn)90。得到。。的“關(guān)聯(lián)線段"，B】G，B3c3都不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)

得到；

故答案為82c2；

(2)由題意可得：當8C是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有△AB'C'是等邊三角形，且邊長也為1,

當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示:

設B'C'與y軸的交點為。，連接。8',易得8'C，_Ly軸，

：.B'D=DC=-,

2

OD=y/OB'2-B'D2=y.AD=y/AB'2-B'D2=爭

?*-OA=V3，

?4?t—V3;

當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

t——>/3;

r

(3)由8c是O0的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知",。都在O。上，且A夕=48=lfAC=AC=2,

則有當以方為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所

示：

由運動軌跡可得當點A也在。。上時為最小，最小值為I,此時4C'為O。的直徑，

J.AAB'C=90°,

：./.AC'B'=30。，

:.BC=B'C=AC-cos30°=V3;

由以上情況可知當點4B',0三點共線時，OA的值為最大，最大值為2,如圖所示:

連接OC',B'C',過點C'作C'P104于點P,

：.0C=1,AC=04=2,

設。P=x,則有4P=2-x,

二由勾股定理可得：C'P2=AC'2-AP2=OC'2-OP2,即22-(2—x)2=l—％2,

解得：x=；，

4

：.C'P=—.

4

：.B'P=OB'-OP

4

在RtAB'PC'中，B'C=y/B'P2+C'P2=—1

2

2

綜上所述：當04min=l時，此時8。=百；當。4max=2時，此時BC=當

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基

本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2020?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,A,B為。。外兩點，AB=1.給出

如下定義：平移線段AB,得到。。的弦4夕（4,夕分別為點A,B的對應點），線段A4'長度的最小值稱為

線段AB到。O的“平移距離”.

（1）如圖，平移線段AB到。。的長度為1的弦BP?和P3”，則這兩條弦的位置關(guān)系是;在點

P1，P2，P3，P4中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到。。的“平移距離”：

（2）若點A,B都在直線y=gx+26上，記線段AB到。。的“平移距離”為求當?shù)淖钚≈担?/p>

（3）若點A的坐標為卜,|）,記線段AB到。O的“平移距離''為d2,直接寫出d2的取值范圍.

【答案】⑴平行，P3；⑵且⑶*dzW返

2222

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離''的定義填空即可;

（2）過點O作OE_LAB于點E,交弦CD于點F,分別求出OE、OF的長，由%=0E-OF得到詢的最小

值:

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A（2,|）為圓心，半徑為I的圓，只需在（DO內(nèi)找到與之平行,

且長度為1的弦即可.平移距離d2的最大值即點A,B點的位置，由此得出d?的取值范圍.

【詳解】

解：（1）平行;P.3；

（2）如圖，線段AB在直線y=K工+2百上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD,CD〃AB,過點。作

OELAB于點E,交弦CD于點F,OF1CD,令y=0,直線與x軸交點為（?2,0）,直線與x軸夾角為60。，

???0E—2sin600=V3.

由垂徑定理得：OF=JOC2-QCD）2=F，

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A（2,|）為圓心，半徑為I的圓，只需在。。內(nèi)找到與之平行,

且長度為1的弦即可；

點A到O的距離為40=5+（I=

如圖，平移距離d?的最小值即點A到③O的最小值：|-1=|；

平移距離d2的最大值線段是下圖AB的情況，即當AI,A2關(guān)于OA對稱，且AIB2_LAIA2且AIB2=1時./

B2A2Al=60°,則NOA2Al=30°,

VOA2=1OM=iAzM=—,

22

本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓

的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?北京?中考真題）在AABC中，D,E分別是△力BC兩邊的中點，如果玩■上的所有點都在AABC的

內(nèi)部或邊上，則稱"為4ABC的中內(nèi)弧.例如，下圖中力6■是AABC的一條中內(nèi)弧.

D

(1)如圖，在口也人8(：中，48=4。=2&，D,E分別是AB,4c的中點.畫出AABC的最長的中內(nèi)弧力E,

并直接寫出此時位的長；

(2)在平面直角坐標系中，已知點4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在AABC中，D,E分別是4B,AC的

中點.

①若t=求AABC的中內(nèi)弧北所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

②若在AABC中存在一條中內(nèi)弧北，使得比所在圓的圓心P在aABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出1的取值

范圍.

【答案】(1)兀；(2)①P的縱坐標yp>1或ypW[②0<tW"

【解析】

【分析】

(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2,最長中內(nèi)弧即以DE為宜徑的半圓，功&的長即以

DE為直徑的圓周長的一半；

(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，，①當t=[時，要注意圓心P在DE上方的

中垂線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角NAEP滿足90"/AEPV135。；②根據(jù)題意，

t的最大值即圓心P在AC上時求得的t值.

【詳解】

解：(1)如圖2,

A

以DE為宜徑的半圓弧￡>￡,就是^ABC的最長的中內(nèi)弧北，連接DE,..?NA=90。，AB=AC=2a,D,E

分別是AB,AC的中點，BC=￡=-^=4,CE=LBC=LX4=2，

sinSsin4522

二弧。iE=X27T=7T;

(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE,作DE垂直平分線FP,作

EG_LAC交FP于G,

①當時，C(2,0),AD(0,1),E(1,1),

設pG，m)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，...m*,

VOA=OC,ZAOC=90°

二ZACO=45°,

VDE/7OC

.\ZAED=ZACO=45O

作EGXAC交直線FP于G,FG=EF=：

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方(含點G)直線FP上時也符合要求;

1

綜上所述，m4(或m>l.

②圖4,設圓心P在AC上,

，P為AE中點，作PM_LOC于M,則PM=|

??.明)，

VDE/7BC

/.ZADE=ZAOB=90°,

AE=\jAD24-DE2=^/l2+(2t)2=y/4t2+1

VPD=PE,

ZAED=ZPDE

?；ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

???ZDAE=ZADP

1

4P=PD=PE=-AE

2

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD<PM

??.*E4|,AE<3,即，4t2+l43,解得：t《企

t>0

A0<t<V2

【點睛】

此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長計算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧''新定義,

要求學生能夠正確理解新概念，并應用新概念解題.

3.(2018?北京?中考真題)對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點，

Q為圖形N上任意一點，如果P,Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N間的“閉距離”，

記作d(M,N).

已知點4(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(點。，△ABC)；

(2)記函數(shù)y=kx(-1<x<1,kHO)的圖象為圖形G,若d(G,AABC)=1,直接寫出化的取值范

圍；

(3)or的圓心為T(t,0),半徑為1.若d(OT，△ABC)=1,直接寫出，的取值范圍.

【答案】⑴2；⑵一1Wk<Q或。<kW1；⑶C=-4或0w”4-2迎或t=4+2&.

【解析】

【詳解】

分析：(1)畫出圖形，根據(jù)"閉距離''的概念結(jié)合圖形進行求解即可.

(2)分k<0和k>0兩種情況，畫出示意圖，即可解決問題.

(3)畫出圖形，直接寫出f的取值范圍.

詳解：(1)如下圖所示：

■:B(-2,-2),C(6,-2)

：.D(0,-2)

：.dCO,△ABC)=0D=2

(2)-l<k<0或0<k<l

（3）t=-4或0<t<4-2/或t=4+2V2.

點睛：屬于新定義問題，考查點到直線的距離，圓的切線的性質(zhì)，認真分析材料，讀懂“閉距離''的概念是解

題的關(guān)鍵.

4.(2017?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M存在一

點Q,使得P、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點.

(1)當。O的半徑為2時，

①在點Pi(1,0),P2&曰),P3&。)中，的關(guān)聯(lián)點是.

②點P在直線y=-x上，若P為。O的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

(2)0C的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+l與x軸、y軸交于點A、B.若線段AB上的所有點都

是。C的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍.

【答案】⑴①P2、P3,②一言十一爭吟&岑；(2)-2<x<l2<x<2V2.

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)①由題意得，P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，由。。2,。23的值可知「2，。3

為。O的關(guān)聯(lián)點；②滿足條件的P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，所以P橫坐標范圍是

一越<x<-^或正<x<^;

2222

(2).分四種情況討論即可，當圓過點A,CA=3時；當圓與小圓相切時；當圓過點A,AC=1時；當圓過

點B時，即可得出.

試題解析：

(I)OP1=^,0P2=l,OP3=l，

點Pl與。的最小距離為m，點、P2與。的最小距離為1,點「3與。的最小距離為土

O的關(guān)聯(lián)點為22和?

②根據(jù)定義分析，可得當直線y=-x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意：

.?.設點P的坐標為P(x,-X),

當OP=1時，由距離公式可得，OP=J(x-0)2+(-x-0)2=1,解得x=土黃當8=3時,由距離公式

可得，OP=J(x-0)2+(_%一。)2=3,x2+x2=9,解得x=±等，

.?.點的橫坐標的取值范圍為一辿<x<-^或立&Q它

2222

_一.一

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'、'-一'''

'、、、.....《、、

(2)：y=-x+l與軸、軸的交點分別為A、B兩點，；.令y=0得，-x+l=0,解得x=l,

令得x=0得，y=0,

，A(1,0),8(0,1),

分析得：

如圖1,當圓過點A時，此時CA=3,

二點C坐標為,C(-2,0)

圖1

如圖2,當圓與小圓相切時，切點為D,

，CD=1,

又?.?直線AB所在的函數(shù)解析式為y=-x+l,

宜線AB與x軸形成的夾角是45。，

/.RT/kACD中，CA=V2,

C點坐標為(1-夜，0)

???c點的橫坐標的取值范圍為；W1-VL

如圖3,當圓過點A時，AC=1,

C點坐標為(2,0)

如圖4,

當圓過點B時，連接BC,此時BC=3,

在RtAOCB中，由勾股定理得OC=H=I=2V2,C點坐標為（2a,0）.

，C點的橫坐標的取值范圍為2±黛＜272;

二綜上所述點C的橫坐標的取值范圍為一越＜x＜-^或立%涯

2c222

【點睛】本題考查了新定義題，涉及到的知識點有切線，同心圓，一次函數(shù)等，能正確地理解新定義，正

確地進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

5.（2016?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（/,y1），點Q的坐標為（血，丫2），

且久1片小，為片丫2,若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為

點P,Q的''相關(guān)矩形下圖為點P,Q的“相關(guān)矩形''的示意圖.

~o1214sx

J

（1）己知點A的坐標為（1,0）.

①若點B的坐標為（3,1）求點A,B的“相關(guān)矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）的半徑為④，點M的坐標為（m,3）.若在。。上存在一點N,使得點M,N的“相關(guān)矩形”為

正方形，求m的取值范圍.

【答案】（1）①2；②y=x-1或y=-x+1；（2）l<m<5或者一5<m<-1.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）①易得S=2；

②得到C的坐標可以為（3,2）或者（3,-2）,設AC的表達式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達

式即可得出結(jié)論；

（2）若。O上存在點N,使MN的相關(guān)矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±l,即過M點作k=±l的直

線，與。O相切，求出M的坐標，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）①S=2xl=2；

②C的坐標可以為（3,2）或者（3,-2）,設AC的表達式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達式得到：

{;二或解得：{（二」1或則直線AC的表達式為y=x_l或y=_%+l；

（2）若。O上存在點N,使MN的相關(guān)矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±l,即過M點作k=±l的直

線，與（DO有交點，即存在N,當k=-l時，極限位置是直線與相切，如圖人與％，直線h與。O切于

點N,ON=V2，ZONM=90°,與y交于匕（0,-2）.M［（m03）,A3-（-2）=0-，山尸今，

/.Mi（-5,3）：同理可得“2（-1.3）；

當k=l時，極限位置是直線b與〃（與。O相切），可得M3（1，3）,M4（5,3）.

因此m的取值范圍為l<m<5或者一5<m<-1.

y

考點：一次函數(shù)，函數(shù)圖象，應用數(shù)學知識解決問題的能力.

6.(2015?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)

于。C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P,滿足CP+CP，=2r,則稱P為點尸關(guān)于。C的反稱

點，如圖為點尸及其關(guān)于OC的反稱點P，的示意圖.

特別地，當點P'與圓心C重合時，規(guī)定CP=0.

(1)當。。的半徑為1時.

①分別判斷點M(2,1),N(|,0),T(1,V3)關(guān)于。O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；

②點P在直線)=-x+2上，若點P關(guān)于。。的反稱點尸存在，且點P'不在x軸上，求點尸的橫坐標的取值

范圍；

(2)0c的圓心在x軸上，半徑為1,直線產(chǎn)-爭+2b與x軸、y軸分別交于點A,B,若線段AB上存在

點P，使得點尸關(guān)于OC的反稱點產(chǎn)在OC的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標的取值范圍.

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)反稱點的定義畫圖得出結(jié)論；②'"汽2「=2,一葉2),<:產(chǎn)=/+(—x+2)

2=2x2—4x+4<,2r2—4x<0,x(x—2)<0,/.0<x<2,把x=2和x=0代入驗證即可得出，P(2,0),P'

(2,0)不符合題意。(0,2),P'(0,0)不符合題意，...OCxV2

(2)求出A,8的坐標，得出。4與的比值，從而求出NOA8=30。，設C(x,0)

①當C在。4上時，作CHLA5FH,則CHSCPW2r=2,，ACW4,得出C點橫坐標定2.(當x=2時、

C點坐標(2,0),4點的反稱點(2,0)在圓的內(nèi)部)；②當C在4點右側(cè)時，C到線段48的距離為

AC長，AC最大值為2,；.C點橫坐標立8,得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)解：①M(2,1)關(guān)于③O的反稱點不存在，

N(|,0)存在，關(guān)于00的反稱點存在，反稱點N'C，。)

7(1,百)存在，關(guān)于。O的反稱點存在，反稱點7(0,0).

@-：OP<2r^2,OP2<A,P(x,—x+2),

OP2=x2+(-x+2)2=2N—4x+4%

2x2—4x<0,x(x—2)<0.

.?.OS區(qū)2,當x=2時，P(2,0),P'(2,0)不符合題意

當x=0時，P(0,2),P'(0,0)不符合題意，

?.0<%<2

(2)解：由題意得：4(6,0),5(0,273),

.3=V3,

OB

NOA8=30。，

設C(x,0)

①當C在。4上時，作C//L4B于H,則C，WCPW2r=2,：.AC<4,C點橫坐標后2.

(當x=2時，C點坐標(2,0),打點的反稱點"(2,0)在圓的內(nèi)部)

②當C在4點右側(cè)時，C到線段48的距離為AC長，AC最大值為2,點橫坐標爛8

綜上所述：圓心C的橫坐標的取值范圍2WE8.

考點：定義新運算；一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；圓的有關(guān)性質(zhì)，解直角三角形；

7.（2014?北京?中考真題）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值y,都滿足-M<

y<M,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，下圖

中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

（1）分別判斷函數(shù)y=（x>0）和y=x+1（-4<x<2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值;

（2）若函數(shù)、=一%+194％<h6>￡1）的邊界值是2,且這個函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；

（3）將函數(shù)、=%2（一1wxwm,爪20）的圖象向下平移小個單位，得到的函數(shù)的邊界值是3當沉在什么

范圍時，滿足

4

【答案】（1）y=>0）不是有界函數(shù)，y=x+1（-4<x<2）是有界函數(shù)，邊界值是3；（2）-1<b<3；

（3）0（m《（或［<m<1.

【解析】

【分析】

（1）分析題意，結(jié)合已知中有界函數(shù)的定義可進行判斷；

（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得y=-x+1的增力口性，再結(jié)合自變量的取值范圍和題意可得「2<2

解此不等式組可得b的取值范圍；

（3）要分情況討論，易判斷m>1不符合題意，故m<1；結(jié)合已知函數(shù)解析式可得函數(shù)過點和（0,0）,

以此求得其平移后的點坐標，進而可得:<l-m<1或-14一根《"由此即可求得m的取值范圍.

44

【詳解】

解：（1）結(jié)合已知根據(jù)有界函數(shù)的定義可知y=：（久>0）不是有界函數(shù),y=%+1（-4<x<2）是有界函數(shù)，

邊界值是3；

（2）???y=-％+1中一1V0,y隨工的增大而減小，

???當％=Q時，y=—Q+1=2,故Q=—1.

當x=b時，y=-b+1,

根據(jù)題意可得：「24[?+1<2,

b>a

二3》匕>—1；

（3）若6>1,函數(shù)向下平移m個單位后，％=0時，函數(shù)值小于-1,此時函數(shù)的邊界值t大于1,與題意

不符，故m<1.

當x=-1時，y=1,即過（一1,1），

當時,即過

x=0ymin=0,（0,0）,

將（一1,1）,（0,0）都向下平移m個單位，得到（一1,1一?。?,—6），

根據(jù)題意可得：1—m=t或—m=3

33

:.一41—41或-14—?714一，

44

0<m<:或;<m<1.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時要熟悉平移變換的

性質(zhì).

8.（2013?北京?中考真題）對于平面直角坐標系xOy中的點P和。C,給出如下定義：若0c上存在兩個點

A,B,使得NAPB=60。，則稱P為。C的關(guān)聯(lián)點.已知點D（A,A）,E（0,-2）,F（，0）

“

(1)當。O的半徑為1時，

①在點D,E,F中，。。的關(guān)聯(lián)點是；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G,使/GFO=30。，若直線上的點P(m,n)是。O的關(guān)聯(lián)點，求m的

取值范圍；

(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

【答案】(1)①D,E②OWmW石(2)r>l

【解析】

【詳解】

解：

(1)①根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義，得出E點是。。的關(guān)聯(lián)點，進而得出F、D,與。。的關(guān)系：

如圖1所示，過點E作。O的切線設切點為R.

VEO=2,/.ZOER=30°.

根據(jù)切線長定理得出的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30。.

??.E點是。O的關(guān)聯(lián)點.

VD(i,E(0,-2),F(2臼0)，

.,.OF>EO,DO<EO.

；.D點一定是。。的關(guān)聯(lián)點，而在。O上不可能找到兩點使得組成的角度等于60。.故在點D、E、F中,

。。的關(guān)聯(lián)點是D,E.

②由題意可知，若P要剛好是。C的關(guān)聯(lián)點，需要點P到。C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°.

由圖2可知NAPB=60。,則NCPB=30。，

BC__

sinzCPB2BC2r,

若P點為。C的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0<d<2r.

由（1），考慮臨界點位置的P點,

如圖3,

點P到原點的距離OP=2xl=2,

過點0作x軸的垂線OH,垂足為H,

則ta*OGF=賓=?=可。

：.ZOGF=60°.

...。史的訪60。=石，"皿=黑=3.

AZOPH=60°.可得點Pi與點G重合.

過點P2作PiMlx軸于點M,可得NP20M=30。，

.?.OM=OP2cos30°=臼

若點P為。O的關(guān)聯(lián)點，則P點必在線段PlP2上.

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的

中點.

考慮臨界情況，如圖4,

即恰好E、F點為。K的關(guān)聯(lián)時，貝ijKF=2KN=：EF=2,此時，r=l.

若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，這個圓的半徑r的取值范圍為r>l.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.(2022?北京朝陽?二模)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,AB=1,且A,8兩點中至少有一

點在。。外.給出如下定義：平移線段A8,得到線段4B'(A,B'分別為點A,B的對應點)，若線段4方上

所有的點都在。。的內(nèi)部或。。上，則線段44'長度的最小值稱為線段AB到。。的“平移距離”.

(1)如圖1,點Bi的坐標分別為(-3,0),(-2,0),線段必當?shù)?。。的“平移距離”為一，點42,%的

坐標分別為(一$K)，(pV3),線段4%到。。的“平移距離”為一;

(2)若點A,B都在直線y=gx+2百上，記線段A8到(DO的“平移距離”為4,求”的最小值;

(3)如圖2,若點A坐標為(1,遍)，線段A8到。。的“平移距離”為1,畫圖并說明所有滿足條件的點8形

成的圖形(不需證明).

【答案】⑴2,更

2

⑵亨

(3)見解析,MN

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)及線段到圓的“平移距離''定義可分別求得；

(2)如圖1,可求得直線/與兩坐標軸的交點，則可求得/與x軸所夾的銳角，將直線/向右平移得到直線匕，

當直線k經(jīng)過點A時，與圓的另一個交點為夕，則可得△04B，是等邊三角形，且邊長為I；作A4'_L直線/

于點A,線段A8到。。的“平移距離”d總是4%的長度，從而可求得最小值

(3)如圖2,連接0A交。。于點8,設。。交x軸正半軸于點E,連接8E,作8關(guān)于y軸的對稱點Z),連

接8。、0D,則易得AOBE、△080都是等邊三角形，由點B是0A中點，可求得點8、。的坐標，由B到

A的平移及已知可求得點。、E平移后的對應點M、N的坐標，則A/、N在以點A為圓心1為半徑的圓上，

此時可得點8形成的圖形.

(1)

當線段48/向右平移2個單位長度時，線段48/上的點除41點位于OO上外，其余點全部位于。。內(nèi)部，

則線段AIBI到。。的“平移距離”為點4平移的距離2：

如圖，當線段4歷向下平移到&'B2'時，線段4'上的點除々'、B2'兩點位于。。上外，其

余點全部位于。。內(nèi)部，設%'B2'與y軸交于點C,

,*"^2'C='^2'=~^2^2=21。&'=1,

,22

，由勾股定理得：0c=JOA2-A2'C=Jp一Gy=與

?.,點七，%的坐標分別為(一aV3).(pV3),

???482向下平移的距離為：國_在=立，

22

則線段A282到。。的“平移距離”為巴

2

故答案為：2,在

2

(2)

如圖1,直線/的表達式為y=+2H，4'點的坐標為(-1,0).

在y=gx+2百中，令)=0,得尸-2；令廣0,得y=2V5,

則直線，與x軸和y軸的交點坐標分別為(-2,0),(0,2V3).

:.直線/與x軸所夾銳角為60°.

將直線/向右平移得到直線"，當直線匕經(jīng)過點4時，與圓的另一個交點為8'.

'：OA'=OB',/.B'A'O=60°,

...△048'是等邊三角形，

：.A'B'=1.

當點A,B在宜線/上運動時，線段AB到。O的“平移距離'Z總是44'的長度.

作?L4'_L直線/于點A,此時44的長度立即為d的最小值

2

（3）

如圖2,連接。A交（DO于點B,設③。交尤軸正半軸于點E,連接8E,作8關(guān)于），軸的對稱點。，連接BD、

0D,

由點A坐標知：tan乙4。后=立=6，

-1-

AZAO￡=60°,

?：OB=OE=l,

.?.△O8E是等邊三角形，

；.BE=1.

由NAOE=60。，則射線0A與y軸正半軸的夾角為30。，

二由對稱性知,288=60。,

.?.△08。是等邊三角形，

：.BD=\,且BO_Ly軸.

由題意知I：點A平移后的對應點為B,點2E分別是線段A8的端點B平移后的對應點，且是兩個邊界點，

?點8是。4的中點，

?皿-渭》

由于B點向右平移半個單位長度再向上平移在單位長度后得到點A,則點D,E按此平移分別得到點M（0,

2

百），N（|,更），

N2

.??以點A為圓心，1為半徑畫圓，可知點M,N在。A上.

所有滿足條件的點8形成的圖形為

【點睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解宜角三角形等知

識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識，學會尋找特殊位置解決數(shù)學問題.

2.（2022?北京北京?二模）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于線段PQ給出如下定義：若線段PQ

與O。有兩個交點M,N,且PM=MN=NQ,則稱線段PQ是。。的“倍弦線

(1)如圖，點48,0。的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段AB"。，CB,CD中，。。的“倍弦線”是；

⑵O。的“倍弦線”PQ與直線x=2交于點E,求點E縱坐標丫后的取值范圍；

(3)若。。的“倍弦線”PQ過點(1,0),直線y=x+b與線段PQ有公共點，直接寫出b的取值范圍.

【答案】(1)48,CD-.

(2)-V5<yE<V5;

(3)—V2—2<b<2V2+1

【解析】

【分析】

(1)依次連接線段48,AD,CB,CD,通過“倍弦線”的定義判斷即可；

(2)通過M、N均在圓上，可以求得MN的取值范圍，進而可以求出P。的取值范圍，結(jié)合圖形，就可以

求出點E縱坐標yg的取值范圍；

(3)先畫出尸、Q兩點的運動軌跡，分別求出直線y=x+b與兩個圓相切時對應的尸、S坐標，進而就可

以去就出b的取值范圍.

⑴

解：如圖，連接A8分別交。。于點E、凡連接AO分別交。。于點G、H,連接CO分別交。。于點K、F,

連接CB,

?.?CB與。。沒有交點，故C3不符合題意；

觀察圖像，AG^DH,故AO不符合題意；

4E=EF=FB=2,...線段48是。。的“倍弦線”；

CK=KF=FD=V2,A線段CD是。。的“倍弦線”,

故。。的“倍弦線”是48,CD；

(2)

由題意，可得PQ=3MN,

:M、N在圓上,

:.MN<2,

：.PQ<6,

如圖，當0P=3且點?在直線％=2上時,

YOH=2,

APH=70P2一。。2=回-22=V5.

；RH=P2H=V5>

結(jié)合圖形，點E的縱坐標取值范圍為一的4yE36；

（3）

由題意可得，P、。的運動軌跡分別是以M為圓心，1為半徑的圓和以N為圓心，2為半徑的圓，如圖所示,

當直線y=x+b與圓N相切時，如圖中的直線RP,切點為Q,

連接NQ,■：直線RP與。N相切，???NNQR=90°,

因為火、P在直線y=x+b上，.??NORPn45。，

.?.△QRN是等腰直角三角形，

過點Q作QE1x軸垂足為E,則4NQE=乙ENQ=45°,

設EQ=EN=a,則EQ?+EN?=NQ2,即a2+a2=22,解得&=或（負值舍去）,

：.OE=ON+NE=&+1,

則Q（-&一1,a），將其代入丫=工+6中，解得b=2魚+1，

直線RP的解析式為y=x+2V2+1.

當x=0時，解得y=2V2+1，

故P（0,2應+1）,

當直線y=x+b與圓M相切時，如圖中的直線SW,切點為T,

連接MT,1?直線SW與。M相切，???4M71V=90°,

因為S、W在直線y=x+b上，：.￡.OWS=45°,

.?.△7WM是等腰直角三角形，

過點7作TF1x軸垂足為F,則4FMT=乙FTM=45°,

設MF=FT=a,則“產(chǎn)+產(chǎn)產(chǎn)="72,即a2+a2=12,解得a=立（負值舍去），