廣西壯族自治區(qū)防城港市江山中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B．13 C．10 D．參考答案：A由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，即，．2.已知向量，則一定有

()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)與b的夾角為45° D．|a|＝|b|參考答案：B略3.從0，2中選一個(gè)數(shù)字.從1.3.5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.24

B.18

C.12

D.6參考答案：B若選0，0只能放在十位上，此時(shí)從1,3,5中選2個(gè)奇數(shù)的排成三位奇數(shù)有種。若選2，從1,3,5中選1個(gè)奇數(shù)排在個(gè)位，然后從剩下倆個(gè)奇數(shù)選一個(gè)和2進(jìn)行全排列放在十位和百位，共有種，所以共有18種排法，選B.4.已知平面向量的夾角為且，在中，，，為中點(diǎn)，則(

)A.2

B.4

C.6

D.8參考答案：A5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．64 B．64﹣4π C．64﹣8π D．64﹣參考答案：D【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)正方體去掉一個(gè)圓錐的．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)正方體去掉一個(gè)圓錐的．∴該幾何體的體積=43﹣=64﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體與球的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）

Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：A略7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A．

B．

C．16

D．32參考答案：A8.已知等比數(shù)列滿足，則（

）A．243

B．128

C.81

D．64參考答案：B設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∴，∴，即∴128故選：B

9.已知是方程的兩根，，則p是q的（

）

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.在展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n可以是（

）A．2017

B．2018

C．2019

D．2020參考答案：C通項(xiàng)，依題意得．故是的倍數(shù)，只有選項(xiàng)符合要求．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算L41－2i因?yàn)?所以其共軛復(fù)數(shù)是1-i.【思路點(diǎn)撥】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，再求共軛復(fù)數(shù)即可.12.當(dāng)實(shí)數(shù)滿足約束條件（為常數(shù)）時(shí)有最大值為12，則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：-12的最大值為12，即，由圖象可知直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.由，解得，即點(diǎn),代入直線得。13.已知，若存在，滿足,則稱是的

一個(gè)“友好”三角形.(i)在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（請(qǐng)寫(xiě)出符合要求的條件的序號(hào)）①；②；

③.(ii)若等腰存在“友好”三角形，且其頂角的度數(shù)為_(kāi)__.參考答案：②；【考點(diǎn)】解斜三角形【試題解析】(i)對(duì)①：因?yàn)樗寓俨淮嬖凇坝押谩比切危?/p>

對(duì)②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

對(duì)③：若滿足，則或都不能構(gòu)成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若等腰存在“友好”三角形，則A=B，所以A+A+C=

或，分析知。

所以即

故C=．即頂角的度數(shù)為。14.若函數(shù)，且，則

。

參考答案：4或-215.（理）若，，且與垂直，則向量與的夾角大小為_(kāi)______________參考答案：

理16.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：（2,6）17.已知，，與的夾角為，，則與的夾角為

．參考答案：要求與的夾角一般可先求兩向量的數(shù)量積，而，因此，而根據(jù)已知，這是可求的，而且其結(jié)果是0，故，夾角為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知和余弦定理，可得cosB=，進(jìn)而得到答案；（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故當(dāng)A+=時(shí)，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值為1．19.（本小題滿分12分）如圖，是直角斜邊上一點(diǎn)，，記，.（1）證明：；（2）若，求．參考答案：解:（1）證明：，，

…1分，

…3分

…5分（2）解：在中,

，

………6分.

………8分，，

………10分.

…………12分略20.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由題意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)后求出cosC；（2）由條件求出b，由內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sinC，由余弦定理列出方程化簡(jiǎn)后求出a，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，則，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，則，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，當(dāng)a=4時(shí)，△ABC的面積S===，當(dāng)a=5時(shí)，△ABC的面積S===．21.△的內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的三邊分別是，，，已知．（1）求角；（2）若點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，⊥，求角．參考答案：（1）；（2）．

試題解析：（1）由，得，即．∴，∵，∴．（2）設(shè)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則．在中，．在△中，由正弦定理，即．∴，∴，故．考點(diǎn)：余弦定理，正弦定理．22.（14分）如圖，三棱錐P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB．

(I)求證：AB平面PCB；

(II)求異面直線AP與BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的大小．參考答案：解析:解法一：(I)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．…………2分∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．…………4分又，∴AB平面PCB．

…………5分

(II)過(guò)點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF．則為異面直線PA與BC所成的角．………6分由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂線定理，得PFAF．則AF=CF=，PF=，在中，

tan∠PAF==，∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………9分（III）取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE．∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=．∵CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得

DEPA．∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………11分由(I)AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．在中，PB=，

．

在中，sin∠CED=．∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．……14分解法二：（I）同解法一．(II)由(I)AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．…7分

則+0+0=2．

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