塑性基本概念1.基本實驗2.基本假設3.簡化模型4.應力分析1.基本實驗1.1材料簡單拉壓實驗有明顯屈服階段的拉伸曲線（低碳鋼類）沒有明顯屈服平臺的應力應變曲線（鋁合金類）彈性與塑性的根本區(qū)別不在于應力-應變關系是否線性，而在于卸載后變形是否可恢復應力降到零點后繼續(xù)卸載（壓縮），稱為反向加載。反向（壓縮）屈服、屈服點降低，稱為包辛格效應（Bauschinger'seffect），塑性變形使材料出現(xiàn)各向異性。這表明材料的后繼屈服性質不僅與它所經歷的塑性變形的大小密切相關，還受到它所經歷過的塑性變形的方向影響卸載后反向加載經過屈服階段后，材料又恢復了抵抗變形的能力。在第二次加載過程中，彈性系數(shù)仍保持不變，但彈性極限及屈服極限有升高現(xiàn)象，后繼屈服應力升高程度與塑性變形的歷史有關，決定于前面塑性變形的程度。這種現(xiàn)象稱為材料的應變強化。后繼屈服應力卸載后再加載

在加載和卸載的過程中應力和應變服從不同的規(guī)律。因此，如不指明變形路徑（或變形歷史），是不能由應力確定應變或由應變確定應力的。也就是說，應力與應變不再存在一一對應的關系。 加、卸載準則

簡單拉伸試件在塑性階段的應力應變關系簡單拉伸試驗的塑性階段加載卸載1.2塑性變形的特點應力—應變關系非線性，應力與應變間不存在單值對應關系。應力（內力）和應變（變形）之間的關系依賴于加載路徑（加載歷史）。由于加載路徑不同，同一個應力可對應于不同應變，或同一個應變可對應于不同的應力。這種非單值性具體來說是一種路徑相關性（path-dependency）。由于塑性應變不可恢復，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或稱為耗散性（dissipation）。在一個加載-卸載的循環(huán)中外力作功恒大于零，這一部分能量被材料的塑性變形損耗掉了。當受力固體產生塑性變形時，將同時存在有產生彈性變形的彈性區(qū)域和產生塑性變形的塑性區(qū)域。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產生變化。其他因素對簡單拉伸試驗結果的影響溫度的升高將使屈服應力σY降低，而塑性變形的能力提高。高溫下材料會產生蠕變現(xiàn)象，即當應力不變時應變仍會隨時間不斷增加。通常塑性力學不考慮這種與時間有關的塑性變形。試驗中提高加載速度，則σY升高而韌性降低。對于加載速度不高的情形，不考慮這一效應。1.3靜水壓力實驗

所謂靜水壓力就如同均勻流體從四面八方將壓力作用于物體。 （1）體積變化 體積應變與壓力的關系(Bridgeman實驗公式)銅：當p＝1000MPa時，ap＝7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。說明第二項遠小于第一項，可以略去不計。體積壓縮模量派生模量Bridgeman的實驗結果表明，靜水壓力與材料的體積改變之間近似地服從線性彈性規(guī)律。若卸除壓力，體積的變化可以恢復，因而可以認為各向均壓時體積變化是彈性的，或者說塑性變形不引起體積變化。試驗還表明，這種彈性的體積變化是很小的，因此，對于金屬材料，當發(fā)生較大塑性變形時，可以忽略彈性的體積變化，即認為在塑性變形階段材料是不可壓縮的。（2）靜水壓力對塑性變形的影響 材料的塑性變形與靜水壓力無關。對鋼試件做了有靜水壓力的拉伸試驗，并同無靜水壓力的拉伸試驗對比發(fā)現(xiàn)，靜水壓力對初始屈服應力影響很小，可以忽略不計。 因而，對鋼等金屬材料，可以認為塑性變形不受靜水壓力的影響。但對于鑄鐵、巖石、土壤等內部較疏松的材料，靜水壓力對屈服應力和塑性變形的大小都有顯著的影響，不能忽略。2.基本假設

對一般應力狀態(tài)的塑性理論，作以下基本假設：材料的塑性行為與時間、溫度無關。即只研究常溫靜載下的材料，認為材料是非粘性的，在本構關系中沒有時間效應。材料具有無限的韌性，即認為材料可以無限地變形而不出現(xiàn)斷裂。變形前材料是初始各向同性的，且拉伸和壓縮的（真應力—對數(shù)應變）曲線一致。關于卸載和后繼屈服的假設：在產生塑性變形后卸除載荷，材料服從彈性規(guī)律；重新加載后屈服應力（即后繼屈服應力）等于卸載前的應力，這就是說重新家在達到屈服后的曲線是卸載前曲線的延伸線。關于彈性和塑性的假設：任何狀態(tài)下的應變總可以分解為彈性和塑性兩部分，即；材料的彈性性質不因塑性變形而改變，即，其中彈性模量E是與塑性變形無關的常數(shù)。塑性變形是在體積不變（不可壓縮）的條件下發(fā)生的。靜水壓力只產生體積的彈性變化，不產生塑性變形。關于材料穩(wěn)定性的假設：當應力單調變化（例如單調拉伸）時，假設 曲線具有以下不等式：其中和分別為曲線的割線模量和切線模量3.簡化模型3.1應力—應變曲線的理想化模型（1）理想彈性（perfectlyelastic）（2）理想剛塑性（rigid-perfectlyelastic）（3）剛—線性強化（rigid-linearstrain-hardening）（4）理想彈塑性（elastic-perfectlyplastic）（5）彈—線性強化（elastic-linearstrain-hardening）

五種簡化模型的應力-應變關系曲線及相應的機械形態(tài)模型。 機械模型中，力和位移分別對應于材料的應力和應變。力和位移的線性關系用彈簧給出，而干摩擦表示：當力小于某一定值時，沒有發(fā)生位移，當力達到該定值時位移可以無限增大（對應于屈服后的塑性流動）。

如果不考慮材料的強化性質，并且忽略屈服極限上限的影響，則模型簡化為理想彈塑性模型。

理想彈塑性模型，用于低碳鋼或強化性質不明顯的材料。應力可由下式求出：應變可由下列公式求出（其中λ是一個非負的參數(shù)）

理想剛塑性模型，用于彈性應變比塑性應變小得多且強化性質不明顯的材料，實質是忽略彈性應變。線性強化彈塑性體模型，用于有顯著強化性質的材料。應力可由下列公式求出：應變可由下列公式求出：線性強化剛塑性模型，用于彈性應變比塑性應變小得多且強化性質明顯的材料

冪次強化模型 為簡化計算中的解析式，可將應力-應變關系解析式寫為，其中,材料常數(shù)A和n滿足A>0,0<n<1，n叫強化系數(shù)。當n=0時，代表理想塑性體模型，當n=1時，則為理想彈性體模型。（如圖12所示）模型在ε=0處的斜率為無窮大，近似性較差，同時由于公式只有兩個參數(shù)A及n，因而也不能準確地表示材料的性質，然而由于它的解析式很簡單，所以也經常被使用。110/71Ramberg-Osgood模型E改進的Ramborg-Osgood模型（之一）一般加載規(guī)律其中ACBOE1（1）等向（各向同性）強化模型 認為拉伸時的強化屈服應力和壓縮時的強化屈服應力（絕對值）相等，也就是，即在拉伸和壓縮兩個方向對稱強化。不考慮Bauschinger效應。

是反映塑性變形歷史的參數(shù)。例如可取為累積塑性應變：或取為塑性功3.2強化模型一個方向上后繼屈服應力的強化會引起相反方向上后繼屈服應力的變化（強化或弱化）。常采用簡化模型以方便數(shù)學處理。（2）隨動強化模型其中，背應力（backstress）是塑性應變的單調遞增函數(shù)。相當于

由于Bauschinger效應減小了反方向加載時的屈服應力，認為拉伸屈服應力和壓縮屈服應力（的代數(shù)值）之差，即彈性響應的范圍始終是不變的。其表達式可寫為在線性強化時是一個常數(shù)。式中，（3）組合強化模型為了更合理地反映材料的真實特性，客服隨動強化模型Bauschinger效應絕對化的缺點，將上述兩種強化模型組合起來。其中和是與塑性應變歷史有關的兩個函數(shù)值4.應力分析4.1一點處的應力狀態(tài)4.1.1應力張量及其分解

物體內一點處沿坐標軸x、y、z方向取一個微小的平行六面體，六面體上的應力即代表該點的應力。共有9個應力分量，按一定規(guī)則排列，即或定義了一個量，表征該點的應力狀態(tài)，在坐標系Oxyz中。如果變換到另一個坐標系仍然表征同一應力狀態(tài) 在數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的9個數(shù)所定義的量叫做二階張量。此二階張量稱為應力張量：因此應力張量為“對稱張量”。三個正應力的平均值稱為平均應力。由于剪應力的互等性，（4-1）（4-2）引入Kronecker符號：又稱單位球張量，二階單位張量，則應力球張量應力張量可以分成兩個分張量：球張量偏張量各應力偏量為：

……（4-3）（4-4）則應力偏張量：

應力球張量表示各向均值應力狀態(tài)，即靜水壓力情況。由于靜水壓力不影響屈服，所以塑性變形只與應力偏量有關，因此在塑性力學中應力偏量的研究很重要。（4-5）Oxyz坐標系中在具有單位法矢量為的斜面上的應力矢量可確定為：式中，、和分別為單位法線矢量的分量，且：、和是應力矢量的分量：，，2.1.2應力不變量（4-6）采用Einstein求和約定：式中，—自由指標；—重復指標（啞指標）。（或1，2，3）

斜面上的正應力為上式推導中已用到剪應力互等定理。該面上的剪應力（4-7）（4-8）（4-9）如果在一個斜面上的剪應力，則，于是，，代入式（4-6）得這是關于、和的線性齊次方程組，且它們不可能同時為零，則由線性齊次方程有非零解的條件知記三個主應力，則可以用主應力表示三個不變量稱為應力張量的三個不變量。該三次方程的三個根即三個主應力，相應的三個方向余弦對應三個主平面。三個主應力方向相互垂直，稱為主方向。展開有：式中

（4-10）（4-11）

應力偏量也是一種應力狀態(tài)，同樣也有不變量。進行類似的推導（或將J1、J2和J3式中的、和分別用、和代替）即得應力偏量的三個不變量：（4-12）和在塑性力學中很重要，以后常用。

引入應力主偏量，，則應力偏量的不變量變?yōu)?/p>

（4-13）其中2.1.3與J2有關的幾個定義把坐標軸取在應力主向時，，則由式（4-8）知而，，，所以（1）八面體應力