【學(xué)習目標】1．了解什么是尺規(guī)作圖．2．學(xué)會用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．3．了解五種基本作圖的理由．4．學(xué)會使用精練、準確的作圖語言敘述畫圖過程．5．學(xué)會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形．6．通過畫圖認識圖形的本質(zhì)，體會圖形的內(nèi)在美．

【基礎(chǔ)知識精講】1．尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．2．尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖．3．基本作圖共有五種：(1)畫一條線段等于已知線段．如圖24-4-1，已知線段DE．求作：一條線段等于已知線段．作法：①先畫射線AB．②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN．線段AC就是所要作的線段．(2)作一個角等于已知角．如圖24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射線O′A′；②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D．③以點O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′．④以點C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′．⑤經(jīng)過點D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線．如圖24-4-3，已知線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．作法：①分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．②作直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點．(4)經(jīng)過一點作已知直線的垂線．a(chǎn)．經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4．已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．作法：作平角ACB的平分線CF．直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4．b．經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．作法：①任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．④作直線CF．直線CF就是所求的垂線．注意：經(jīng)過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延長ED到B，使．(3)在DE或BE的延長線上取．(4)連結(jié)AB、AC．則△ABC即為所求作的三角形．注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4如圖24-4-13，已知線段a．求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內(nèi)角互補，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形．所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．(2)作線段AC，使．(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點．求作一點P，使PC＝PD，且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．分析：要使PC＝PD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了．作法：(1)連結(jié)CD．(2)作線段CD的中垂線l．(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求．注意：這類定點問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．

【中考考點】例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A．一處 B．二處C．三處 D．四處分析：到直線距離相等的點在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點．解：分別作相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個．答案：D．注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個正方形零件，使C為正方形的—個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上．(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工人師傅測得AC＝80cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點E即為正方形—頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17．(2)設(shè)這個正方形零件的邊長為xcm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：這個正方形零件的邊長為48cm．注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結(jié)合題目，要求讀者對基本作圖務(wù)必掌握，同時對作出圖形的性質(zhì)要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現(xiàn)要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，設(shè)計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑．分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個零件的半徑，圖③中OB是這個零件半徑．解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯誤分析】例9如圖24-4-19，已知線段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？錯解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直線CD上截取CB＝a．如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形全等．誤區(qū)分析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部．正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直線CD上截取CB＝a(在點C的兩側(cè))．則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形不一定全等．注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．

【學(xué)習方法指導(dǎo)】學(xué)習本單元基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規(guī)律總結(jié)】畫復(fù)雜的圖形時，如一時找不到作法，—般是先畫出一個符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

【同步達綱練習】1．下列畫圖語言表述正確的是()A．延長線段AB至點C，使AC＝BCB．以點O為圓心作弧C．以點O為圓心，以AC長為半徑畫弧D．在射線OA上截取OB＝a，BC＝b，則有OC＝a＋b2．過點C畫直線l的垂線的思想方法是：把這個問題轉(zhuǎn)化為畫_________的方法來解決．3．作線段的垂直平分線的理論根據(jù)是_________和兩點確定一條直線．4．把一個角四等分的步驟是：第一步：先把這個角__________等分，第二步：把得到的兩個角分別再___________等分．5．已知∠α和∠β，求作一個角，使它等于．

6．求作三角形