ChengDuShiGaoZhongShuXue

2020JiJiaoYanHuoDong

問題導(dǎo)向，追本溯媒；精準(zhǔn)高效，大幅提分

----成都市2020級(jí)高三后階段的教學(xué)復(fù)習(xí)建議

成都市第七中學(xué)

PART01

,三后階段的復(fù)習(xí)建議

PART02

關(guān)于今年需考的幾點(diǎn)想法與思考

成都市2020級(jí)嵩三后階段教學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)

?進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

/、高三后階段?進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的滲透落實(shí)

V/1的復(fù)習(xí)建議?進(jìn)一步著力數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力培養(yǎng)

?進(jìn)一步聚焦大幅提分的技巧訓(xùn)練

I高三后階段的復(fù)習(xí)?

2019年中國高考評(píng)價(jià)體系

以考查要求為例。高考評(píng)價(jià)體系中的“四翼”突出基礎(chǔ)性。高考圍繞學(xué)科主干

內(nèi)容,加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本思想方法的考查.杜絕偏題怪題和繁難試題，引導(dǎo)

教學(xué)重視教材.夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ),給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考的空間。同時(shí)，“

四翼”也十分注重綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性,通過設(shè)置真實(shí)的問題情境,考查學(xué)生

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力，允許學(xué)生從多角度作答.使“死記硬背”“

機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低，引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”向“解決問題”

、從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變。

高三后階段的復(fù)習(xí)?

2019年中國高考評(píng)價(jià)體系

考查要求后期復(fù)習(xí)策略

圍繞學(xué)科主干內(nèi)容，

加強(qiáng)思想方法的滲透落實(shí)

加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本思想方法的考查

重視教材，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)……

強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

深度學(xué)習(xí)和思考的空間

注重綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性、

著力數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等能力培養(yǎng)

設(shè)置真實(shí)的問題情境

從多角度作答，從“解題”向“解決問題”、積累基本解決問題經(jīng)驗(yàn)，

從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變聚焦大幅提分的技巧訓(xùn)練

高三后階段的復(fù)習(xí)建議

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

設(shè)F-Fz分別是雙曲線C,%-方=l（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn).P為雙曲線C右支上20.（本小題滿分12分）

Z2V2

已知Fi,F2分別為橢圓+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn),與橢圓C有相同焦點(diǎn)

一點(diǎn)，若NBPF2=K,IPF\=2a，則雙曲線C的離心率為

U2一

的雙曲線彳-V=］在第一象限與橢圓c相交于點(diǎn)P,且|PFzI=1.

(A)75（I）求橢圓C的方程；

（U）設(shè)直線y=心+1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。OB

（m>0）,若橢圓C上存在點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍.

案例一：高三后期圓錐曲線回歸教材的處理策略

高三后階段的復(fù)習(xí)建議

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，（i）=，，其中Z>o,aeR.

X

（1）求函數(shù)八%）的單調(diào)區(qū)間；

f（T.）

（D當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)gCr）=alnx+-2x+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

案例二三：高三后期函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見題型的邏輯梳理

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

根據(jù)教學(xué)后期教學(xué)實(shí)際需要，復(fù)習(xí)課應(yīng)該以目標(biāo)問題導(dǎo)向式進(jìn)行,具

體的教學(xué)環(huán)節(jié)可歸納為“三階段”:

通過前置學(xué)習(xí)、問題導(dǎo)向、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、追本

體驗(yàn)與感悟溯源,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究的能力.

通過自主探究、生生合作、師生共探、課堂展

三階段生成與內(nèi)化示、合作交流，促使基本解題技能形成與內(nèi)化.

通過歸納總結(jié)、反思感悟、反饋演練、遷移

評(píng)價(jià)與反饋應(yīng)用、評(píng)價(jià)檢測，提升能力與素養(yǎng).

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

教學(xué)定位與構(gòu)想

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）數(shù)學(xué)選修2”第二

章第2節(jié)《橢圓》.是在學(xué)生學(xué)習(xí)了《221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》及《2.2.2橢圓的簡單幾何

性質(zhì)》之后的一節(jié)橢圓的復(fù)習(xí)課.

橢圓概念是圓錐曲線的核心概念.橢圓概念的建立對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)具有建構(gòu)和引領(lǐng)

作用，在橢圓概念的建構(gòu)過程中解析幾何的兩類核心問題：幾何限制條件到代數(shù)方程、

利用方程工具研究幾何性質(zhì)都有突出體現(xiàn).橢圓概念的研究對(duì)雙曲線和拋物線概念的形成

和建構(gòu)具有奠基作用.

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

教材研究學(xué)習(xí)感悟

在人教A版教材例、習(xí)題中頻頻出現(xiàn)與橢圓定義有關(guān)的素材，它們的背景大多源于學(xué)習(xí)生活

或社會(huì)生活，題干簡練、設(shè)問合理，題型豐富，還有一些探究性和開放性問題，足以證明它的

重要性。但這些問題分散在各個(gè)板塊，本課就是從這個(gè)角度出發(fā)整合分散在例、習(xí)題中的橢圓

的三種定義的題目。但是又考慮到現(xiàn)在課本都沒有明確提出橢圓的第二定義和第三定義的概念，

所以就轉(zhuǎn)而從我們經(jīng)常在題目中遇到的“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理思路入手，引導(dǎo)學(xué)生探

究點(diǎn)在橢圓上的多種幾何解釋。對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可根據(jù)情況介紹橢圓的另外兩種定義，并關(guān)

注定義與幾何解釋之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)

學(xué)的思想方法具有重大的意義,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng).

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《堂在橢圓上》主題教學(xué)

【例1】

22

(1)已知與，耳為橢圓版+3-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳的直線交橢圓于點(diǎn)A,B,

若［45|=5,貝+忸用=

(2)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為斗F2,過工作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若

八耳夕工為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為

22

(3)設(shè)片是橢圓2-+皂=1的左焦點(diǎn)，。為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)

2516

則IPMI+|2耳|的最大值為

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

解決問題

[例2]

22

已知橢圓二?+二=1（〃＞。＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳（―c,0）、K（c,O）,若橢圓上存

ab~

在點(diǎn)尸使——-——=——-——，則該橢圓的離心率的取值范圍為___________

sinZPFiF?sin/PF，耳

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

[例3]

22

(1)直線y=X+1被橢圓2L+L=1所截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_________

42

22

(2)已知橢圓。：亍+g~=i的左、右頂點(diǎn)分別為4、4,點(diǎn)尸在。上且直線尸4斜

率的取值范圍是[-2,-1],則直線斜率的取值范圍是

22

(3)平行四邊形45CD內(nèi)接于橢圓土+二=1,直線A3的斜率勺=1,

42

則直線AD的斜率％2=

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

解釋一：MF】+MF2=2a[a>c>0)

yj(x+c)2+y2+yj(x-c)2+y2=2a.如何化簡,

移項(xiàng)得J(x+c)2+y2=2〃-J(i)2+/

2

兩邊平方整理得QJ(X-C)2+/=a-CX22

\[=l(a>b>0)

.________c幾何上如何解釋？ab

即J(x—c)2+y2-a——%

a

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

反思提升

解釋二：焦半徑公式，（X-c）2+＞2=a--x=-（---X）=＞山＜匚）一

aaca

左加右減

\MF2\=a-ex\MF{\=a+ex

?：-a<x<a「.焦半徑的最小值為a—c,最大值為a+c.

\MF2\=a-ey\MFX\=a+ey下加上減

正方向減

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

22y2%2_a2-x2

”〉0）

..丁一/"

/」即。----=-4（兄。±〃）

-

%2-a2a2x-ax+aa

b2

MBa2

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

反思提升

22

解釋三：已知A3是過橢圓二十二=1（?！怠＃?）中心的弦，點(diǎn)M是橢圓

a"b~

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

「定義：4|+|M目=2q(a>c>0)等

焦半徑公式：|叫|二a+exMF^\-a-ex、、

W式

中心弦、中點(diǎn)弦結(jié)論：k/k?--

a2

-a<x<a.-b<y<b不

a-c<\MF、\<a+c等

頂角/6加耳二e的變化規(guī)律式

I

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例1:復(fù)習(xí)課《點(diǎn)在橢圓上》主題教學(xué)

應(yīng)用反饋

（2018全國HI卷20題改編）

22

設(shè)百，鳥分別為橢圓c：5+?=i的左、右焦點(diǎn)，已知斜率為左的直線/與橢圓c

交于48兩點(diǎn)

（1）若直線/經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)B，求耳的周長；

（2）若線段AB中點(diǎn)為加（1,陽）（加〉0）

①］正明：k<一；；

②設(shè)P為C上一點(diǎn)，且&尸+6乂+居方=0.證明：IKAI,IKPI,|工3|成等差

數(shù)列.

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例2:復(fù)習(xí)課《一階導(dǎo)數(shù)判正負(fù)，策略多種有招數(shù)》

反思提升1判斷一階導(dǎo)數(shù)正負(fù)的策略

(1)1(%)的正負(fù)易判

數(shù)形結(jié)合小構(gòu)造，再求導(dǎo)，大智慧

(2)尸(x)的正負(fù)不易判

易解：—令尸(X)〉0和令/(%)<0

解不等式

不易解：一，畫尸(％)正負(fù)的示意圖!

試根極限

定是第

找零點(diǎn)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

①成功:

/'(%)的單調(diào)性

「無根(導(dǎo)數(shù)恒正恒負(fù))二次求導(dǎo)

②不成功:

有根(但非特殊值)/'(%)=(),隱零點(diǎn)工。

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例2:復(fù)習(xí)課《一階導(dǎo)數(shù)判正負(fù)，策略多種有招數(shù)》

二次導(dǎo)的正負(fù)二>一次導(dǎo)的單調(diào)性（或值域）=>一次導(dǎo)的正負(fù)一原函數(shù)的單調(diào)性

將一階導(dǎo)數(shù)（或其一部分）令作一個(gè)新函數(shù)，對(duì)這個(gè)新函數(shù)再進(jìn)行

一次求導(dǎo)，整個(gè)題表面上進(jìn)行了二次求導(dǎo)，本質(zhì)上是兩個(gè)一次求導(dǎo)。

思想方法

數(shù)形結(jié)合■轉(zhuǎn)化與化歸

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例3:復(fù)習(xí)課《遇到含參單調(diào)性，討論標(biāo)準(zhǔn)如何定》

類型一變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù)型

【例】已知函數(shù)/(x)=Inx-7nx(m￡R),討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

【解析】/'(x)=L—根=匕絲(%>0)

XX

類型二變號(hào)函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)型

【例】已知函數(shù)/。)=靖—2取—5,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

【解析】f\x)=ex-2a

【例】已知函數(shù)/(x)=ln(/+l)—〃x,討論函數(shù)/(光)的單調(diào)性.

【解析】/⑴二3_"(1一?「

e+\e+1

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例3:復(fù)習(xí)課《遇到含參單調(diào)性，討論標(biāo)準(zhǔn)如何定》

類型三變號(hào)函數(shù)為二次函數(shù)型

【例】（2020新課標(biāo)in）已知函數(shù)/（x）=>?—"+左2,討論函數(shù)/（力的單調(diào)性.

【解析】f\x）=3x2-k

【例】（2018新課標(biāo)I）已知函數(shù)/（x）=‘—x+ilnx,討論函數(shù)/（光）的單調(diào)性.

x

【解析】f\x）=-^-l+-=-X~^+1^-[tz-（x+-）]（x>0）

XXXX

【例】已知函數(shù)?。?加-（。+1）川叱討論函數(shù)/⑺的單調(diào)性.

【解析】f'M=ax-（a+l）+--①――DOD=5__1）（十_1）（x>0）

XXX

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例3:復(fù)習(xí)課《遇到含參單調(diào)性，討論標(biāo)準(zhǔn)如何定》

類型四變號(hào)函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型

【例】(2017新課標(biāo)I)已知函數(shù)，(%)="(靖—〃)—/x,討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

V

［解析］f(x)=262-aex_^2_(2/+a)?'-a)

【例】已知函數(shù)/(x)=(x—2)/+Q(X—1)2,討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性.

【解析】/'(x)=(X-1)(/+20=(x—1)[/-(―2〃)]

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

案例3:復(fù)習(xí)課《遇到含參單調(diào)性，討論標(biāo)準(zhǔn)如何定》

類型五變號(hào)函數(shù)為高次函數(shù)型或超越函數(shù)型

2r-1

【例】(2016山東)已知函數(shù)/(x)=a(x—lnx)+——,6ZGR,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

廠

(1)32—2)

【解析】f\x)=

%3

I進(jìn)一步強(qiáng)化知短之間的關(guān)聯(lián)程度

案例3:復(fù)習(xí)課《遇到含參單調(diào)性，討論標(biāo)準(zhǔn)如何定》反思提升

1.解題步驟2.變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù)型3.變號(hào)函數(shù)為二次函數(shù)型

①求導(dǎo)化簡定義域①二次項(xiàng)系數(shù)與的大小

①斜率與0的大小0

②變號(hào)保留定號(hào)去②判別式與0的大小（首選因式分解）

②零點(diǎn)與定義域的關(guān)系

③恒正恒負(fù)先討論③兩根比大小

④研究零點(diǎn)得圖象④定義域邊界與兩根的大小

⑤正負(fù)確定單調(diào)性

4.討論標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)生5.尋找討論標(biāo)準(zhǔn)的方法畫導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的示意圖

①導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)①常見函數(shù)型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合

②恒正恒負(fù)先討論

②零點(diǎn)大小可組合使用分類討論

③零點(diǎn)與定義域的關(guān)系③孤立零點(diǎn)（因式分解）

④孤立參數(shù)

進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度

話說同構(gòu)那些事

以朗博同構(gòu)為例：

XY

O雙變量同構(gòu)①X/=ex+lnx;②幺=;③2;

x0

?六大同構(gòu)函數(shù)

X

④x+lnx=ln(xe')；@x-lnx=In—.

指對(duì)同構(gòu)

同構(gòu)構(gòu)造I

2x-2

e

Qs=ln

x旬=_—0=aIn中+產(chǎn)右爆:之，

,~5~，o％1-*CLInx=ln1

ex,-LnaX~0

令^^〒網(wǎng)6惻士=1"ne2x-2-ainx+a\nx-2x+l=0

Xaxe

專黝3匹加3則〃⑴聶二21=0

I高三后階段的復(fù)習(xí)建議

案例四：高三后階段導(dǎo)數(shù)與函數(shù)不等式的試題研究探析

——以2022年天津卷20題為例

進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的濠透落實(shí)2022年天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探析

試題呈現(xiàn)

(2022天津高考第20題)已知/(x)=e'—"sinx,g(x)=/??.

⑴求在(0"(0))處的切線方程;綜合性強(qiáng)

(II)若函數(shù)/(力與g(x)的圖像有公共點(diǎn).難度大

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，求人的取值范圍;靈活多變

(ii)證明：a1+b~>e

進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的濠透落實(shí)2022年天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探析

試題呈現(xiàn)

（2022天津高考第20題）已知/（x）=e*-asinx,=by[x.

（I）求/（x）在（。"（0））處的切線方程；

考查導(dǎo)教運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，增強(qiáng)答題信心

解：f\x）=ex-acosx,所以切線的斜率為％=/⑼=1—〃，且/（0）=1.

所以/⑴在（0"（0））處的切線方程是y=（l—〃）x+l.

進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的濠透落實(shí)2022年天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探析

試題呈現(xiàn)

(2022天津高考第20題)已知/(x)=e，-asinx,g(x)=by/x.

A

(II)若函數(shù)/(x)與g(x)的圖像有公共點(diǎn).e—asinx=bsfx有角軍

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，求匕的取值范圍；化歸轉(zhuǎn)化思想

(ii)證明：a1+b~>e抽象概括，理性思維，分析問題和解決問題

進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的濠透落實(shí)2022年天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探析

半分離不分離全分離

|進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的濠透落實(shí)2022年天津卷高考導(dǎo)數(shù)壓軸題解法探析

解法1:數(shù)形結(jié)合，引入公切線f(x)="與g(x)=b6

當(dāng)M0時(shí)，函數(shù)/⑴與g(x)的圖像無公共點(diǎn)；的圖像有公共點(diǎn)

故〃>0,不妨假設(shè)函數(shù)/⑴與g(x)的圖像在x=/處有公切線.

靖。=bR1

則Jvb，解出8=血&/=—.

e°二——2

2/AT

乙7o

(1、

即函數(shù)/(x)=e'與g(x)=在點(diǎn)處有公切線.

(2)

只需即J7.所以Z?2區(qū).

以公切線為抓手，直觀自然

①當(dāng)〃<0時(shí)，》(x)〉0,所以二e”—從5在［0,+8)單調(diào)遞增,

/z(x)=eA-b4x

/z(x)min=/2(0)=1>0,此時(shí)無零點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)匕〉0時(shí)一，設(shè)9(x)=2?e'-b,(p,(x)=eA2y/x+>0,所以0(x)在(O,+oo)單調(diào)遞增.有零點(diǎn)

注意到°(0)=-人<0h-b=b>0,

所以五。e(0,+oo),《(隱零點(diǎn)

所以工￡(0,%0”^^"(%)<0；%e國,+8)時(shí)，/i'(x)>0,

所以M%)=e'在(O,/)單調(diào)遞減，在(%。,+8)單調(diào)遞增.

<0,/、解得后」

因此只需-------整理得1。(2%—1)20,

*與鄧〉02

所以8=2師聞衣，故匕的取值范圍是［伍,+8).

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解法3:分離參數(shù)，直接求值域I

解：由于元二0不是e*=/?五的解,于是將參數(shù)匕分離，得〃=「=.設(shè)m⑴="（X〉0）,

7X<X

X

e

y/~xI—（2x-l）分離參數(shù)

求導(dǎo)數(shù)"（x）=-------以工=-b,'

X2x?求匕二生的值域

（n/、（1、//\>

當(dāng)0,—時(shí)，m'（x）<0；xG—,+oo時(shí)，m\x）>0,

\2）（2J

所以袱X）在（0,；）單調(diào)遞減

，在上+00單調(diào)遞增.

（2J

所（（尤任

.又注意到元―0,和XT+oo時(shí)，土勻有yT+oo.

所以3加%范圍是+a

））?

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解后反思:

b的取值范圍是［J左,+8).

切線不等式

ex>x+1

ex>ex

Inx<x-1

lnx<-

ex>%+1

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第(II)問中(ii)的解法研究

(2022天津高考第20題)已知/(x)=e"—asinx,g(%)=by[x.

(II)若函數(shù)與g(x)的圖像有公共點(diǎn).

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，求b的取值范圍；

(ii)證明：a?+方2>e

三個(gè)變量,

分別是最

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a2+b2>e方程e*—asinx=AhjG有解

縮,消耳

定主元

-J

▼

角

值

比

向

量

給

三

e'-asinxe'_b6雷

藥

府°一r將々=----------反

vxsinx元

換

換

換

元

式

元

式

代入/+〃>e代入/+〃>e

—

—

J—

一

元二次不等式恒成立，△之0

把證明片+y>e轉(zhuǎn)化為證明e'l>sin2JC+X

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思路1代入消元，確定主元

方程e"—。sinx=在［0,+8）有解且x=0不是方程的根，因此只研究1>0的情況.

X-asinx

證法?當(dāng)x〉0時(shí)，由e'—。sinx=by[x得b=±

1c，

(eX-as?mx丫

要證明〃2+Z?2>e,只需證明〃2+>e.整理成關(guān)于〃的不等式

sin2x+x)a2-(2e'sinx)a+e2v-ex>0.

只需證明x>sin2x

由于〃eR且當(dāng)%〉0時(shí)sin2x+x>0,故只需證明判別式

sinx\-4fsin2x+xe2'-ex|<0.

整理得e"〉?(sin?x+x),即證e21>sin2x+x(*).

由（i）知有解時(shí)，b="之而,整理得e2A'_1>2x=x+x.

yjx

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思路1代入消元，確定主元

下面證明x>sin2x

構(gòu)造函數(shù)“(X)=x-sin2x(x>0),

求導(dǎo)數(shù)〃<X)=1-2sinxcosx=l-sin2x>0.

所以"(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增.由于“(0)=0,

因此〃(x)>0即x,sin?%成立.

綜上：不等式匕21>sin?x+x成立，從而〃2+b2>e.

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思路1代人消元，確定主元

證法2以人為主元

當(dāng)工〉0時(shí)，由e'-〃sinx=by[x得a=-——

sinx

'ex-by[x、

要證明/+從〉。，只需證明+Z?2>e，整理成關(guān)于匕的不等式

、sinx,

sin2x+x^b1-（2e'五）Z?+e2*-esin2x>0.

由于匕wR且當(dāng)x〉0時(shí)siYx+x〉。，只需證明判別式

-4(sin2x+x|(e2r-esin2%)<0.

整理得e?'>6?!!?x+x),即證>sin?x+x(*).

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b

代入消元確定主元證明＞sin2x+x

結(jié)論1：對(duì)于任意的420,都有e2x22e%.

1結(jié)論2：對(duì)于任意的%>0,都有無>sin2x.

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拉格朗日乘數(shù)法

給定限制條件“x,y）=0,為了尋找了（元,,）在限制條件“%了）=0下的極值點(diǎn)

（即取得最值時(shí)的苞）的值），可構(gòu)造三元函，尸（覆y,4）=/（x,y）+%”（x,y）］中的三個(gè)

F；=/\+2w；=0,

變量分別求導(dǎo)，建立方程組、,=/\+2%,=0,解出羽丁，即可求出二元函數(shù)的

F\=w（x,y）=0

最值.

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證法3:拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)L=tz2+/?2+2^eA-asinx-b4x^,L分別對(duì)〃也4求偏導(dǎo)，并令其等于0.

L'a=2a-Asinx=0,

于是1L\=2b-X4x=^

sin~x+x

L\=eA-67sinx-by[x=0.

/x?\2<xV2x

esmxe7xe~

所以〃2+〃+=

(si.n2x+x)(sm?2x+xJsi?n2x+x

Opy

因?yàn)閟ir^xvx,所以〃=2>>=e.

sinx+x2x2x

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方程e'-Qsinx二bJT有解

消元，確定主元換元，確定主元不等式放縮，消元

啰，e*一〃sin工、⑹eA-by/x

將6二一7=-將Q二一：-----比值三角

sinx向量基本柯西三角

換元換元換元不等式不等式不等式

代入〃2+/>e代入"+〃>ej

元二次不等式恒成立，△之o

把證明a2+b2>e轉(zhuǎn)化為證明e2x-1>sin2x+%

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思路2換元轉(zhuǎn)化，化繁為簡

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證法5：比值換元

當(dāng)Z?=0時(shí)，顯然x=kn(keN)不是方程e*-asinx=0的根.a

°\/、ev(sinx-cos

于是有,=_￡_.令心)=_￡_,〃'(％)=△.T―將萬換元

sin%sinxsin-x

(31>

當(dāng)xe2hi——兀,2E+一兀(ZeN)時(shí),w'(x)<0；

I44?

(15、

當(dāng)xe2E+—7i,2bi+—7i(ZeN)時(shí)，w'(x)>0.

I44

7

,、(31(15

所以“(%)在2k7i--7i,2kn+—7i(ZeN)上單調(diào)遞減，在2E+—兀,2E+—兀(%eN)上單調(diào)遞增.

\447

c,兀n

2^7TH—

/77Ce44兀

所以M(%)>U2K71H-----

I4J—7——.71

sin2左兀H-一sin—

I4J4

_71/生丫三

即。2血?區(qū).此時(shí)a2+b2>V2e^=2e2>e.

7

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證法5：比值換元

、“7八Qx?,rasinx+b\Jx,

當(dāng)bw0時(shí)，由e—asin%=x，得------------=1.

e'瑞換元

a2+b2a2+b2

a2+b2e2x_

一c.2

asmx+6?、(asinx+

v

e7

1+52)e2x

令s=@,貝ij/=止jx

22

bssin%+ssinx+2s>Jxsinx+%

(1+S2H

要證明a2+〃>e,只需證明不一#-----5=----------->e,

5"sin-x+2sy/xsinx+x

整理得(e?'-esin?'/-(2eVxsinx\s+e2'-ex>0.

因?yàn)閟eR,只證明A=(2e6sinx)-4(e2v-xe)(e2v-esin2x)<0.

整理得e2x>qsin2%+%),即證e2i>sin2%+%(*).以下證明同證法1.

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方程e"—asinx=整理為"sm"+"?=1,目的在于得到常數(shù)“i”和構(gòu)造/+力

eA

成為關(guān)于見。的齊次式，看似化簡為繁，實(shí)則化多元關(guān)系為一元關(guān)系，這是典型的常數(shù)換元.

證明過程也可以優(yōu)化為：

丫

asinx+b\/x

要證/+〃>e,只需證明a2+Z?2>e

ev)

2

22v2v22

不妨將Q視為主元，通過△=(2e&sin尤)Z?-4(e-xe^e-esinx^Z?<0,

進(jìn)而證明e2i>sin2x+x.

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證法6：三角換元

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e'=〃sinx+by/xa2+廿>e

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思路3聯(lián)想不等式，適度放縮

證法7：重要不等式放縮

第一次放縮

將方程e*=asinx+Z??兩邊平方

e2v-(asinx+by[x^-a2sin2x+b2x+

由重要不等式，有2（asinx）e?）w〃2sin2x+z?2jv.第二次放縮

22

所以W2(片sinx+bx^

第三次放縮

由結(jié)論2,知sin2xvx,所以e"<2x（。,+辦2）,從而

2x

、、e

由結(jié)論1,知e2'\2ex,因此一>e/

2x

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證法8：均值不等式放縮

由結(jié)論2可知，當(dāng)冗>0時(shí),ysin^x<

所以e，=4sin%+Z??<\asinx\+\b\4x<(\a\+\b|)?.即e*<(|〃|+1Z?|)Vx.

由(i)可

'X

于是|〃|+|川〉「之瓜.

2+Z;2+\b

-22j

即/+〃>已.

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證法9：柯西不等式

由(j)知J2ex?二〃sinx+《?