數學物理方法格林函數第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月一、格林公式上具有連續(xù)一階導數,在區(qū)域及其邊界和中具有連續(xù)二階導數，應用矢量分析的高斯定理(12.1.1)

將對曲面的積分化為體積分

12.1泊松方程的格林函數法第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月以上用到公式稱上式為第一格林公式．同理有上述兩式相減得到

第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月表示沿邊界的外法向偏導數．稱為第二格林公式．進一步改寫為第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月二、泊松方程的格林函數法1、討論具有一定邊界條件的泊松方程的定解問題．

泊松方程邊值條件是區(qū)域邊界上給定的函數.是第一、第二、第三類邊界條件的統(tǒng)一描述第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月典型的泊松方程（三維穩(wěn)定分布）邊值問題表示邊界面上沿界面外法線方向的偏導數泊松方程第一類邊界條件：第一邊值問題(狄里希利問題)第二類邊界條件：第二邊值問題(諾依曼問題)第三類邊界條件：第三邊值問題第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2、格林函數的引入及其物理意義引入：為了求解泊松方程的定解問題，我們必須定義一個與此定解問題相應的格林函數它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：代表三維空間變量的函數，在直角坐標系中其形式為第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月格林函數的物理意義：在區(qū)域T內部處放置一個單位正電荷，而該區(qū)域T的界面上為零,那么該點電荷在區(qū)域T內r處產生的電勢，由此可以進一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數為點源函數．第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

格林函數互易定理：

因為格林函數代表處的點源在處所產生的影響（或所產生的場）,所以它只能是距離的函數,故它應該遵守如下的互易定理：第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據格林第二公式

令得到第10頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據函數性質有：

故有

稱為泊松方程的基本積分公式．格林函數滿足互易定理并利用格林函數的對稱性則得到第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮格林函數所滿足的邊界條件討論如下：第一類邊值問題：相應的格林函數是下列問題的解：考慮到格林函數的齊次邊界條件，第一類邊值問題的解另一形式的第一類邊值問題的解

第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2.第二類邊值問題

相應的格林函數是下列問題的解：由公式可得第二類邊值問題解

第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3.第三類邊值問題

相應的格林函數是下列問題的解：泊松方程的邊值條件，兩邊同乘以格林函第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月格林函數的邊值條件的兩邊同乘以函數得相減得到代入（14.2.9）得到第三類邊值問題的解

(14.2.20)利用格林函數的互易性則得到(14.2.21)第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是第三邊值問題解的積分表示式．右邊第一個積分表示區(qū)域中分布的源在點產生的場的總和.第二個積分則代表邊界上的狀況對

點場的影響的總和．兩項積分中的格林函數相同．這說明泊松方程的格林函數是點源在一定的邊界條件下所產生的場．對于拉普拉斯方程

第一邊值問題的解為第三邊值問題的解為第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月12.2無界空間的格林函數基本解無界區(qū)域這種情形公式中的面積分應為零，故有

選取和分別滿足下列方程

第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月三維球對稱對于三維球對稱情形，我們選取對上式兩邊在球內積分

（14.3.4）

（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到

(14.3.6)第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

故有

使上式恒成立，有

因此，,故得到第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月對于三維無界球對稱情形的格林函數可以選取為

（14.3.7）

代入（14.3.1）得到三維無界區(qū)域問題的解為

（14.3.8）上式正是我們所熟知的靜電場的電位表達式

第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月二維軸對稱情形用單位長的圓柱體來代替球．積分在單位長的圓柱體內進行，即因為由于

只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在圓柱體上、下底的面積分為零，只剩下沿側面的積分，即第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月選取的圓柱的高度為單位長，則很容易得到下面的結果令積分常數為0，得到因此二維軸對稱情形的格林函數為

（14.3.9）

將（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二維無界區(qū)域的解為第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月用電像法確定格林函數用格林函數法求解的主要困難還在于如何確定格林函數本身一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構建格林函數的方法電像法考慮一個具體的物理模型：設在一接地導體球內的放置一個單位正電荷，求在體內的電勢分布，并滿足邊界條件為零點第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月對于第一類邊值問題，其格林函數可定義為下列定解問題的解為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在邊界外像點（或對稱點）放置一個合適的負電荷，這樣才能使這兩個電荷在界面上產生的電勢之和為零這方法是基于靜電學的鏡像原理來構建格林函數，所以我們稱這種構建方法為電像法（也稱為鏡像法）．

第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數構建拉普拉斯方程的第一邊值問題求解物理模型：若在處放置一正單位點電荷

則虛設的負單位點電荷應該在于是得到這兩點電荷在xoy的上半平面的電位分布．也就是本問題的格林函數，即為

（14.4.2）

第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月據上述物理模型可求解下列定解問題例14.6.1定解問題：【解】根據第一邊值問題，構建的格林函數滿足

處放置于一個正和一個負的點電荷（或點源）

構建格林函數為

第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界外法線方向為負軸，故有

代入到拉普拉斯第一邊值問題解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的自由項,則由得

(14.4.3)第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月或代入拉普拉斯方程的第一邊值問題的解公式（14.2.22）得到

(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）稱為上半平面的拉普拉斯積分公式．第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2.泊松方程的第一邊值問題求解

例14.6.2定解問題：根據第一類邊值問題的解公式(14.2.14)得到

（14.4.5）第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據半平面區(qū)域第一類邊值問題的格林函數(14.4.2)式，得到

(14.4.6)

因為邊界上的法線為負y軸，故

(14.4.7)將（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面區(qū)域第一邊值問題的解第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月14.4.2上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題物理模型:第31頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例14.4.3在上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題

【解】構建格林函數滿足第32頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據物理模型和無界區(qū)域的格林函數可以構建為

(14.4.8)

即有第33頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式（14.2.22），需要先計算即為

第34頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月代入（14.2.22）即得到

這公式叫作半空間的拉普拉斯積分．

（14.4.9）第35頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月14.4.3圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數構建物理模型【2】：在圓內任找一點

放置一個單位第36頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月根據圖14.2，這兩線電荷在圓內任一觀察點所產生的電勢為當觀察點位于圓周上時，應該有，即滿足第一類齊次邊值條件,

即