[第1章習(xí)題解答]1-3如題1-3圖所示，汽車從A地出發(fā)，向北行駛60km到達(dá)B地，然后向東行駛60km到達(dá)c地，最后向東北行駛50km到達(dá)D地。求汽車行駛的總路程和總位移。解汽車行駛的總路程為S=AB十BC十CD＝(60十60十50)km＝170km；汽車的總位移的大小為Δr=AB/Cos45°十CD＝(84.9十50)km＝135km，位移的方向沿東北方向，與方向一致。1-4現(xiàn)有一矢量是時閫t的函數(shù)，問在一般情況下是否相等?為什么?解：在一般情況下是不相等的。因為前者是對矢量的絕對值(大小或長度)求導(dǎo)，表示矢量的太小隨時間的變化率；而后者是對矢量的大小和方向兩者同時求導(dǎo)，再取絕對值，表示矢量大小隨時問的變化和矢量方向隨時同的變化兩部分的絕對值。如果矢量方向不變，只是大小變化，那么這兩個表示式是相等的。1-5一質(zhì)點沿直線L運動，其位置與時間的關(guān)系為r=6t2-2t3，r和t的單位分別是米和秒。求：(1)第二秒內(nèi)的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度，(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解：取直線L的正方向為x軸，以下所求得的速度和加速度，若為正值，表示該速度或加速度沿x軸的正方向，若為負(fù)值，表示該速度或加速度沿x軸的反方向。(1)第二秒內(nèi)的平均速度；(2)第三秒末的速度因為，將t=3s代入，就求得第三秒末的速度為v3=18m·s-1；用同樣的方法可以求得第口秒末的速度為V4=48ms-1；(3)第三秒末的加速度因為，將t=3s代入，就求得第三秒末的加速度為a3=-24m·s-2；用同樣的方法可“求得第四秒末的加速度為a4=-36m·s-21-6一質(zhì)點作直線運動，速度和加速度的大小分別為和，試證明：(1)vdv=ads：(2)當(dāng)a為常量時，式v2=v02+2a(s-s0)成立。解(1)；(2)對上式積分，等號左邊為：等號右邊為：于是得：v2-v02=2a(s-s0)即：v2=v02+2a(s-s0)1-7質(zhì)點沿直線運動，在時間t后它離該直線上某定點0的距離s滿足關(guān)系式：s=(t-1)2(t-2)，s和t的單位分別是米和秒。求(1)當(dāng)質(zhì)點經(jīng)過O點時的速度和加速度；(2)當(dāng)質(zhì)點的速度為零時它離開O點的距離；(3)當(dāng)質(zhì)點的加速度為零時它離開O點的距離；(4)當(dāng)質(zhì)點的速度為12ms-1時它的加速度。解：取質(zhì)點沿x軸運動，取坐標(biāo)原點為定點O。(1)質(zhì)點經(jīng)過O點時．即s=0，由式(t-1)2(t-2)=0，可以解得t=1.0s．t=2.0s當(dāng)t=1s時．v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0ms-1a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2.0ms-2當(dāng)t=2s時，v=1.0ms-1,a=4.0ms-2。(2)質(zhì)點的速度為零，即V=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0上式可化為(t-1)(3t-5)=0，解得:t=1.0s，t=1.7s當(dāng)t=1s時，質(zhì)點正好處于O點，即離開O點的距離為0m，當(dāng)t=5／3s時，質(zhì)點離開O點的距離為-0.15m。(3)質(zhì)點的加速度為零，即a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=0這時離開O點的距離為-0.074m。4)質(zhì)點的速度為12ms-1，即2(t-1)(t-2)+(t-1)2=12由此解得：t=3.4s，t=-0.69s將t值代入加速度的表示式a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)求得的加速度分別為:a=12.4ms-2，a=-12.2ms-21-8一質(zhì)點沿某直線作減速運動，其加速度為a=-cv2，c是常量。若t=0時質(zhì)點的速度為v0，并處于s0的位置上，求任意時刻t質(zhì)點的速度和位置。解：以t=0時刻質(zhì)點的位置為坐標(biāo)原點O，取水平線為x軸，質(zhì)點就沿x軸運動。困為是直線運動，矢量可以用帶有正負(fù)號的標(biāo)量來表示。于是有兩邊分別積分，得：固為t0=0，所以上式變?yōu)椋荷鲜骄褪侨我鈺r刻質(zhì)點的速度表達(dá)式。因為將式(1)代入上式．得：對式(2)兩邊分別積分，得：于是，任意時刻質(zhì)點的位置表達(dá)式為1-9質(zhì)點作直線運動，初速度為零．初始加速度為a0，質(zhì)點出發(fā)后每經(jīng)過τ時間，加速度均勻增加b。求經(jīng)過時間t后質(zhì)點的速度和加速度。解：可以把質(zhì)點運動所沿的直線定為直線L，并設(shè)初始時刻質(zhì)點處于固定點O上。根據(jù)題意，質(zhì)點運動的加建度應(yīng)該表示為：由速度公式：可以求得經(jīng)過f時間質(zhì)點的速度：另外，根據(jù)位移公式可以求得經(jīng)過時間t質(zhì)點的位移為：1-10質(zhì)點沿直線y=2x十1運動，某時刻位于x1=1.51m處，經(jīng)過1.20s到達(dá)x2=3.15m處。求質(zhì)點在此過程中的平均速度。解：根據(jù)定義，平均速度應(yīng)表示為：其中由已知條件找出△x和△y，就可以求得平均速度?！鱴=x2-x1根據(jù)直線方程y=2x+l，可求得y1=2x1+l=4.02m，y2=2x2+l=7.31m，所以△y=y2-y1平均速度為:也可以用下面的方式表示與z軸的夾角為1-11質(zhì)點運動的位置與時間的關(guān)系為x=5+t2，y=3+5t-t2，z=l+2t2，求第二秒末質(zhì)點的速度和加速度，其中長度和時間的單位分別是米和秒。解：已知質(zhì)點運動軌道的參量方程為質(zhì)點任意時刻的速度和加速度分別為和質(zhì)點在第二秒末的速度和加速度就是由以上兩式求得的。將t=2s代人上式，就得到質(zhì)點在第二秒末的速度和加速度，分別為和1-12設(shè)質(zhì)點的位置與時間的關(guān)系為x=x(t)，y=y(t)，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，如果先求出，然后根據(jù)求得結(jié)果。還可以用另一種方法計算：先算出速度和加速度分量，再合成．得到的結(jié)果為，你認(rèn)為那一組結(jié)果正確？為什么？解：第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因為在一般情況下速度和加速度中的是質(zhì)點的位置矢量，不僅有大小而且有方向．微分時，既要對大小微分也要對方向微分。第一組結(jié)果的錯誤就在于，只對位置矢量的大小微分，而沒有對位置矢量的方向微分。1-13火車以勻加速運動駛離站臺。當(dāng)火車剛開動時，站在第一節(jié)車廂前端相對應(yīng)的站臺位置上的靜止觀察者發(fā)現(xiàn)．第一節(jié)車廂從其身邊駛過的時間是5.0s。問第九節(jié)車廂駛過此觀察者身邊需要多少時間?解：設(shè)火車的加速度為a，每節(jié)車廂的長度為l，第一節(jié)車廂