專題19平面直角坐標(biāo)系一、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征【學(xué)霸筆記】1. 對(duì)于點(diǎn)，在第一象限時(shí)，；在第二象限時(shí)，；在第三象限時(shí)，；在第四象限時(shí)，.2. 對(duì)于點(diǎn)，在x軸上時(shí)，；在y軸上時(shí)，3. 對(duì)于點(diǎn)，在第一、三象限的角平分線上時(shí)，；在第二、四象限的角平分線上時(shí)，.4. 點(diǎn)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為.5. 平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同.【典例】【閱讀材料】平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)x的絕對(duì)值表示為|x|，縱坐標(biāo)y的絕對(duì)值表示為|y|，我們把點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)P（x，y）的勾股值，記為[P]，即[P]＝|x|+|y|（其中的“+“是四則運(yùn)算中的加法），例如點(diǎn)P（1，2）的勾股值[P]＝|1|+|2|＝3【解決問題】（1）求點(diǎn)A（﹣2，4），B（2+3，2-3）的勾股值[（2）若點(diǎn)M在x軸的上方，其橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且[M]＝3，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣2，4），B（2+3，∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝|2+3|+|2-3|（2）∵點(diǎn)M在x軸的上方，其橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且[M]＝3，∴x＝±1時(shí)，y＝2或x＝±2，y＝1或x＝0時(shí)，y＝3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）、（1，2）、（﹣2，1）、（2，1）、（0，3）．【鞏固】已知點(diǎn)P（a﹣2，2a+8），分別根據(jù)下列條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（1）點(diǎn)P在x軸上；（2）點(diǎn)P在y軸上；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），直線PQ∥y軸；（4）點(diǎn)P到x軸、y軸的距離相等．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（a﹣2，2a+8），在x軸上，∴2a+8＝0，解得：a＝﹣4，故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，則P（﹣6，0）；（2））∵點(diǎn)P（a﹣2，2a+8），在y軸上，∴a﹣2＝0，解得：a＝2，故2a+8＝2×2+8＝12，則P（0，12）；（3）∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），直線PQ∥y軸；，∴a﹣2＝1，解得：a＝3，故2a+8＝14，則P（1，14）；（4）∵點(diǎn)P到x軸、y軸的距離相等，∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2，故當(dāng)a＝﹣10則：a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，則P（﹣12，﹣12）；故當(dāng)a＝﹣2則：a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，則P（﹣4，4）．綜上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．二、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律【典例】如圖，直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動(dòng)，第1次從點(diǎn)（﹣1，0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（0，1），第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，0），第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，﹣2），…按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，動(dòng)點(diǎn)P第2021次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（）A．（2020，﹣2） B．（2020，0） C．（2021，1） D．（2021，﹣2）【解答】解：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是每運(yùn)動(dòng)四次向右平移四個(gè)單位，∵2021＝505×4+1，∴動(dòng)點(diǎn)P第2021次運(yùn)動(dòng)時(shí)向右505×4+1＝2021個(gè)單位，∴點(diǎn)P此時(shí)坐標(biāo)為（2020，1），故選：C．【鞏固】在平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其行走路線如圖所示．（1）填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A1（，），A2（，），A3（，）；（2）寫出點(diǎn)A4n，A4n+1，A4n+2，A4n+3的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）；（3）指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向．【解答】解：（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中各個(gè)點(diǎn)的變化規(guī)律可得，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），故答案為：0，1，1，1，1，0；（2）根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），A9（4，1），A10（5，1），A11（5，0），A12（6，0），A13（6，1），A14（7，1），A15（7，0），A16（8，0），……∴A4n（2n，0，）A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0）；（3）根據(jù)排列的規(guī)律可知，A100在x軸上，A101在A100的上方，因此方向是向上．三、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【典例】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（a，0）、B（b，0），且a、b滿足|a+2|+b-4=0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．（1）求a、b的值及S△（2）若點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，且S△ACM=12S△ABC，試求點(diǎn)【解答】解：（1）由|a+2|+b-4=0可知，a+2＝0，b﹣4＝∴a＝﹣2，b＝4，∴點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0）．又∵點(diǎn)C（0，3），∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，∴S△ABC=12AB?CO=12×6（2）當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），則AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，又∵S△ACM=12S△∴12AM?OC=1∴12|x+2|×3=∴|x+2|＝3，即x+2＝±3，解得：x＝1或﹣5，當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，y），則CM＝|3﹣y|，又∵S△ACM=12S△∴12CM?OA=1∴12|3﹣y|×2=∴|3﹣y|=9即x+2＝±3，解得：y=152或故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣5，0）或（0，152）或（0，-32）．【鞏固】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2（1）求此四邊形的面積．（2）在坐標(biāo)軸上，你能否找到一點(diǎn)P，使S△PBC＝50？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）如圖，過D，C分別作DE，CF垂直于AB，E、F分別為垂足，則有：S＝S△AED+S梯形EFCD﹣S△CFB=12×AE×DE+12×（CF+DE）×=12×2×7+12×（7+5）×7-故四邊形ABCD的面積為44．（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）；如圖，S△PBC=12|7﹣x|×5＝50解得：x＝﹣13或27，點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣13，0），（27，0）；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），∵直線BC的解析式為y=52x∴直線BC與y軸的交點(diǎn)為（0，-35①P在直線BC上方時(shí)，S△PBC=12（352+y）×9-12（352+點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，652②P在直線BC下方時(shí)，可得12（-352-y）×9-12（-解得y=-∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，-135綜上所知：點(diǎn)P坐標(biāo)為P1（﹣13，0），P2（27，0），P3（0，652），P4（0，-鞏固練習(xí)1．如圖，一個(gè)粒子在第一象限內(nèi)及x、y軸上運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到（1，0），而后它接著按圖所示在與x軸、y軸平行的方向上來回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)1個(gè)長(zhǎng)度單位，那么1989分鐘后這個(gè)粒子所處的位置是（）A．（35，44） B．（36，45） C．（37，45） D．（44，35）【解答】解：要弄清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先觀察橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的相同點(diǎn)：（0，0），粒子運(yùn)動(dòng)了0分鐘．（1，1）就是運(yùn)動(dòng)了2＝1×2分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)！（2，2）粒子運(yùn)動(dòng)了6＝2×3分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)?。?，3），粒子運(yùn)動(dòng)了12＝3×4分鐘．將向左運(yùn)動(dòng)…于是會(huì)出現(xiàn)：（44，44）點(diǎn)處粒子運(yùn)動(dòng)了44×45＝1980分鐘，此時(shí)粒子會(huì)將向下移動(dòng)．從而在運(yùn)動(dòng)了1989分鐘后，粒子所在位置為（44，35）．故選：D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢蟲從點(diǎn)A出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行，問第2021秒瓢蟲在（）處．A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14．∵2021＝288×（14÷2）+1.5+2+1.5，∴當(dāng)t＝2021秒時(shí)，瓢蟲在點(diǎn)D處，∴此時(shí)瓢蟲的坐標(biāo)為（3，1）．故選：A．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，﹣1），若AB∥y軸，且AB＝9，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【解答】解：∵AB與y軸平行，∴A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，又AB＝9，∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，8）或（2，﹣10）；故答案為：（2，8）或（2，﹣10）．4．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1從原點(diǎn)出發(fā)，沿如圖所示的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達(dá)終點(diǎn)An（506，﹣505），則n的值為．【解答】解：∵到達(dá)終點(diǎn)An（506，﹣505），且此點(diǎn)在第四象限，根據(jù)題意和到達(dá)位置的坐標(biāo)可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3）???，∵6＝2+4×（2﹣1），10＝2+4×（3﹣1），14＝2+4×（4﹣1），???n＝2+4×（506﹣1）＝2022．故答案為：2022．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知：點(diǎn)P（2m+4，m﹣1）．（1）分別根據(jù)下列條件，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：①點(diǎn)P在y軸上；②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大3；（2）點(diǎn)P是坐標(biāo)原點(diǎn)（填“可能”或“不可能”）．【解答】解：（1）①根據(jù)題意，得：2m+4＝0．解得m＝﹣2；∴P（0，﹣3）；②根據(jù)題意，得：2m+4+3＝m﹣1．解得m＝﹣8，∴P（﹣12，﹣9）；（2）不可能，理由如下：令2m+4＝0，解得m＝﹣2；當(dāng)m﹣1＝0，解答m＝1，所以點(diǎn)P（2m+4，m﹣1）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不可能相等，所以點(diǎn)P不可能坐標(biāo)原點(diǎn)．故答案為：不可能．6．已知當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足2m＝8+n時(shí)，就稱點(diǎn)P（m﹣1，n+22（1）判斷點(diǎn)A（5，3），B（4，8）哪個(gè)點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“愛心點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)A（5，3）時(shí)，m﹣1＝5，n+22=解得m＝6，n＝4，則2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“愛心點(diǎn)”；當(dāng)B（4，8）時(shí)，m﹣1＝4，n+22=解得m＝5，n＝14，顯然2m≠8+n，所以B點(diǎn)不是“愛心點(diǎn)”；（2）點(diǎn)M在第三象限，理由如下：∵點(diǎn)M（a，2a﹣1）是“愛心點(diǎn)”，∴m﹣1＝a，n+22=2a﹣∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣12a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故點(diǎn)M在第三象限．7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，﹣3），B（﹣2，0）．（Ⅰ）如圖①，則三角形OAB的面積為；（Ⅱ）如圖②，將線段AB向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到平移后的線段A′B′．連接OA′，OB′．①求三角形OA′B′的面積；②P（﹣1，m）（m＞0）是一動(dòng)點(diǎn)，若S三角形POB＝10，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣3），B（﹣2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴S△AOB=12×2×3故答案為：3．（Ⅱ）①如圖，S△A′B′O＝4×5-12×3×4-12×2×3②由題意，12×2×m＝∴m＝10，∴P（﹣1，10）．8．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a為任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h為任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S＝ah．例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a＝5，“鉛垂高”h＝4，“矩面積”S＝ah＝20．（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．（2）已知點(diǎn)E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），其中m＞0．若E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得：a＝1﹣（﹣3）＝4，當(dāng)t＞2時(shí)，h＝t﹣1，則4（t﹣1）＝12，解得：t＝4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；當(dāng)t＜1時(shí)，h＝2﹣t，則4（2﹣t）＝12，解得：t＝﹣1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，h＝1，此時(shí)S＝4，不符合題意；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣1）；②由題意得：h的最小值為1，∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；（2）當(dāng)m≥4時(shí)，a＝m，h＝4m，此時(shí)S＝m×4m＝4m2＝8，解得：m＝±2，不合題意舍去；當(dāng)12＜m＜4時(shí)，a＝4，h＝4此時(shí)S＝16m＝8，解得：m=1當(dāng)0＜m≤12時(shí)，a＝4，h＝此時(shí)S＝4×2＝8，符合題意；綜上所述，m的取值范圍為0＜m≤19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（b，0），且a、b滿足a=3-b+b-3-1，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接（1）請(qǐng)直接寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使三角形ABP的面積與四邊形ABDC的面積相等，若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．（3）點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO【解答】