概率統(tǒng)計(jì)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若則稱是的無(wú)偏估計(jì)量.

無(wú)偏性無(wú)偏定義我們不可能要求每一次由樣本得到的估計(jì)值與真值都相等，但可以要求這些估計(jì)值的期望與真值相等.定義的合理性第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是總體X的樣本,證明:不論X服從什么分布(但期望存在),是的無(wú)偏估計(jì)量.證例1設(shè)總體X的k階矩存在因而由于例1則第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特別地樣本二階原點(diǎn)矩是總體是總體期望E(X)的樣本均值無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏二階原點(diǎn)矩估計(jì)量第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)總體X的期望與方差存在,X的樣本為(n>1).(1)不是D(X)的無(wú)偏估量;(2)是D(X)的無(wú)偏估計(jì)量.證前已證證明例2第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因而故證畢.第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)是總體X的一個(gè)樣本,X~B(n

,p)n>1,求p2

的無(wú)偏估計(jì)量.解由于樣本矩是總體矩的無(wú)偏估計(jì)量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì),只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù),然后用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量,這樣得到的未知參數(shù)的估計(jì)量即為無(wú)偏估計(jì)量.令例3第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此,p2的無(wú)偏估計(jì)量為故第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4設(shè)總體X的密度函數(shù)為為常數(shù)為X的一個(gè)樣本證明與都是的無(wú)偏估計(jì)量證

故是的無(wú)偏估計(jì)量.例4第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令即故nZ是的無(wú)偏估計(jì)量.第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月都是總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,且則稱比更有效.定義設(shè)有效性有效第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以,比更有效.是的無(wú)偏估計(jì)量,問(wèn)哪個(gè)估計(jì)量更有效？由例4可知,與都為常數(shù)例5設(shè)總體X的密度函數(shù)為解

，例5第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6設(shè)總體X，且E(X)=,

D(X)=

2

為總體X的一個(gè)樣本證明是的無(wú)偏估計(jì)量(2)證明比更有效證

(1)

例6(1)設(shè)常數(shù)第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)

而結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如

X~N(,2

),(X1

,X2)是一樣本.都是的無(wú)偏估計(jì)量由例6(2)知最有效.第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月羅—克拉美（Rao–Cramer）不等式若是參數(shù)

的無(wú)偏估計(jì)量,則其中p(x,)是總體X的概率分布或密度函數(shù)，稱為方差的下界.當(dāng)時(shí),稱為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量,此時(shí)稱為最有效的估計(jì)量,簡(jiǎn)稱有效估計(jì)量.第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7設(shè)總體X的密度函數(shù)為為X的一個(gè)樣本值.求的極大似然估計(jì)量,并判斷它是否達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.為常數(shù)解由似然函數(shù)例7第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的極大似然估計(jì)量為它是的無(wú)偏估計(jì)量.第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而故是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義

設(shè)是總體參數(shù)則稱是總體參數(shù)的一致(或相合)估計(jì)量.的估計(jì)量.若對(duì)于任意的,

當(dāng)n時(shí),一致性依概率收斂于,即一致性估計(jì)量?jī)H在樣本容量

n足夠大時(shí),才顯示其優(yōu)越性.一致第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于一致性的兩個(gè)常用結(jié)論1.樣本k階矩是總體k

階矩的一致性估計(jì)量.是的一致估計(jì)量.由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不等式證明矩法得到的估計(jì)量一般為一致估計(jì)量在一定條件下,極大似然估計(jì)具有一致性2.設(shè)是

的無(wú)偏估計(jì)量,且,則第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8為常數(shù)則是的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量.證

由例7知是的無(wú)偏、有效估計(jì)量.所以是

的一致估計(jì)量,證畢.例8第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P.231習(xí)題七161820習(xí)題補(bǔ)充題設(shè)總體X~N(,2),為X的一個(gè)樣本,常數(shù)k取何值可使為的無(wú)偏估計(jì)量第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第十四周

問(wèn)題母親嗜酒是否影響下一代的健康

美國(guó)的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時(shí)曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童（稱為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對(duì)照租(稱為乙組).測(cè)定兩組兒童的智商，結(jié)果如下：每周一題14第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月甲組67819乙組469916人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差智商組別由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提示前一問(wèn)題屬假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題后一問(wèn)題屬區(qū)間估計(jì)問(wèn)題第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月智商一般受諸多因素的影響.從而可以本問(wèn)題實(shí)際是檢驗(yàn)甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小?若是，這個(gè)差異范圍有多大?前一問(wèn)題屬假設(shè)檢驗(yàn)，后一問(wèn)題屬區(qū)間估計(jì).解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布.第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于兩個(gè)總體的方差未知，而甲組的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩總體均值比較的U—檢驗(yàn)法似乎不妥.故當(dāng)為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量采用方差相等(但未知)時(shí)，兩正態(tài)總體均值比較的t—檢驗(yàn)法對(duì)第一個(gè)問(wèn)題作出回答.為此,利用樣本先檢驗(yàn)兩總體方差是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拒絕域?yàn)?/p>

第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月未落在拒絕域內(nèi)，故接受.即可認(rèn)為兩總體方差相等.下面用t—檢驗(yàn)法檢驗(yàn)是否比顯著偏小？即檢驗(yàn)假設(shè)當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中

嗜酒會(huì)對(duì)兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.落在拒絕域內(nèi)，故拒絕.即認(rèn)為母親第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面繼續(xù)考察這種不良影響的程度.為此要對(duì)兩總體均值差進(jìn)行區(qū)間估計(jì).取

于是置信度為99%的置信區(qū)間為

第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可斷言：在99%的置信度下，嗜酒母親所生孩子在七歲時(shí)的智商比不飲酒的母親所生孩子在七歲時(shí)的智商平均要低2.09到39.91.第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故限制顯著性水平的原則體現(xiàn)了“保護(hù)零假設(shè)”的原則.[注]大家是否注意到，在解決問(wèn)題時(shí)，兩次假設(shè)檢驗(yàn)所取的顯著性水平不同.前者遠(yuǎn)在檢驗(yàn)方差相等時(shí)，取;在檢驗(yàn)均值是否相等時(shí)取.比后者大.為何這樣取呢?因?yàn)闄z驗(yàn)的結(jié)果與檢驗(yàn)的顯著性水平有關(guān).小，則拒絕域也會(huì)小，產(chǎn)生的后果使零假設(shè)難以被拒絕.第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在較大時(shí),若能接受,說(shuō)明為真的依據(jù)很充足;同樣，在很小時(shí)，我們?nèi)匀痪芙^.說(shuō)明不真的理由就更充足.說(shuō)明在所給數(shù)據(jù)下，得出相應(yīng)的本例中,對(duì),仍得出可被接受,及對(duì),可被拒絕的結(jié)論.結(jié)論有很充足的理由.第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另外在區(qū)間估計(jì)中，取較小的置信若反之,取較大的置信水平，則可水平(即較大的置信度),從而使得區(qū)間估計(jì)的范圍較大.減少估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度，使區(qū)間估計(jì)精確提高，但相應(yīng)地區(qū)間估計(jì)的可靠度降低了，即要冒更大的風(fēng)險(xiǎn).第35頁(yè)，課件共39