中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓的最值問題模型匯總

圓的最值問題知識儲備最值問題的必要條件是至少有一個動點(diǎn)。因?yàn)檫@是一個動態(tài)問題，所以才會有最值。在將軍飲馬問題中，折點(diǎn)P就是那個必須存在的動點(diǎn)。并且它的運(yùn)動軌跡是一條直線。解題策略就是作端點(diǎn)關(guān)于折點(diǎn)所在直線的對稱即可。當(dāng)然，動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是可以變的。比如P點(diǎn)軌跡也可以是一個圓，就有了第二類最值問題——輔助圓。在這類題目中，題目很少直接告訴我們動點(diǎn)軌跡是個圓，也很少把這個圓畫出來。因此，結(jié)合題目給的條件，分析出動點(diǎn)的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題。若已經(jīng)確定了動點(diǎn)的軌跡圓，接下來求最值的問題就會變得簡單了。比如：如右圖，A為圓外一點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)P使得PA最小。類型一已知圓軌跡類典例分析【例1.1】如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC=5，點(diǎn)P為圓C上一動點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)O的直線L上有兩點(diǎn)A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直線L不經(jīng)過點(diǎn)C，則AB的最小值為。【例1.2】如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）【練習(xí)】1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長度的最小值是()。2.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過A、D、E三點(diǎn)作⊙O，⊙O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動變化的過程中，線段EF長度的最小值為()。3.如圖，AB是⊙O的弦，AB＝5，點(diǎn)C是⊙O上的一個動點(diǎn)，且∠ACB＝45°，點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，則線段MN長的最大值為()。類型二由定義構(gòu)造輔助圓圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合。構(gòu)造思路：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是以定點(diǎn)為圓心、定值為半徑的圓或圓弧。常見題型：折疊問題【確定圓心半徑的方法】①圓心：折痕中的定點(diǎn)。②半徑：與定點(diǎn)（圓心）相連的（定）等長線段。典例分析【例2.1】在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是多少？將菱形ABCD旋轉(zhuǎn)60°，使得邊AB水平，邊BC垂直向下。此時，菱形可以看作是等邊三角形ABC和三角形ABD的組合。連接AC和BD，并在MN上取一點(diǎn)P，使得AP垂直于MN。則△APM與△A′PM全等，且A′C=AC-AP=2-2sin60°=2-sqrt(3)。因此，A′C的最小值為2-sqrt(3)?！纠?.2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是多少？根據(jù)翻折后的幾何關(guān)系，有CE=EP，EF=FC。連接BP，并延長到交AB于點(diǎn)D。則△BPD與△EFC全等，且BD=BC-CD=8-6=2。因此，BP=2EF=4，PD=BD-BP=2，所以點(diǎn)P到邊AB的距離為2。【練習(xí)】1.在邊長為4的正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的動點(diǎn)，將∠EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F，求B'D的最小值。將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)45°，使得邊AB與x軸重合。此時，E的坐標(biāo)為(2,2)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(4-y,y)，其中y為BF的長度。將EF折疊后，B'的坐標(biāo)為(4-y,4-y)，B'D的長度為2y。因此，B'D的最小值為2。2.在RtABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合）沿DE翻折∠DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，求線段AF的最小值。根據(jù)翻折后的幾何關(guān)系，有DE=EB=BF，且△DEF與△BFE全等。因此，EF=DF=√2，AF=AC+CF=2+EF=2+√2。所以線段AF的最小值為2+√2。3.已知等邊△ABC的邊長為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線L是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線L折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．當(dāng)PB=6時，在直線L變化過程中，求△ACB′面積的最大值。將直線L旋轉(zhuǎn)，使得L與AB重合。此時，△ACB′可以看作是△ACB和△APB的組合。設(shè)PB的長度為x，則BP=6-x，AP=8-x。由相似三角形可得，BP/B′P=AP/CP，即(6-x)/x=8/CP。解得CP=48/(6+x)。因此，△ACB′的面積為(1/2)×AC×CB′=16/(6+x)×(8-x)。當(dāng)x=2時，面積最大，為16。4.在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，求PF+PD的最小值。根據(jù)翻折后的幾何關(guān)系，有EQ=QF，EP=PF，AE=EF，△AEQ與△FEQ全等。因此，PE=QF=AE/2=1，EF=AE=2，PF+PD=PE+EQ+QD=PE+EQ+QB+BD=PE+EQ+QB+AB-BC=PE+EQ+QB-4。當(dāng)Q在B點(diǎn)時，PF+PD最小，此時PF+PD=PE+EQ+AB-BC=PE+EQ+4。因此，PF+PD的最小值為PE+EQ+4=1+EQ+4=EQ+5。1.已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E、F分別在邊AD上，且AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，求線段DH長度的最小值。2.在直角三角形ABC中，AB=6，BC=4，點(diǎn)P在三角形內(nèi)部，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長度的最小值。3.已知矩形ABCD，其中AB=2，BC=1，∠MON=90°，頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動時，點(diǎn)A隨之在OM上運(yùn)動，求點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離。4.正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，求AG長度的最小值。5.正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)P在邊AD上另一動點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，求PC+PF的最小值。6.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動，CE⊥AD于點(diǎn)E，EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，求CF的最大值。7.已知圓O的直徑AB=8，弦CD=3，在以AB為直徑的圓上滑動（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，求PM長度的最大值。若角P為60°，則以AB為底，構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O為圓心。若角P為120°，則以AB為底，異側(cè)為邊構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O為圓心。根據(jù)定理“當(dāng)定邊所對定角為β時，以定邊為弦，2β為圓心角構(gòu)造圓”，可以構(gòu)造圓。例4.1：如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則CP的最小值為多少。例4.2：在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長度取值范圍是什么。1.如圖