母函數(shù)與遞推關(guān)系56、極端的法規(guī)，就是極端的不公?！魅_57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力?！窭闲闼?9、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法?！魅_母函數(shù)與遞推關(guān)系母函數(shù)與遞推關(guān)系56、極端的法規(guī)，就是極端的不公?！魅_57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力?！窭闲闼?9、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法?！魅_母函數(shù)與遞推關(guān)系遞推關(guān)系是計數(shù)的一個強有力的工具,特別是在做算法分析時是必需的。遞推關(guān)系的求解主要是利用母函數(shù)。當然母函數(shù)尚有其他用處,但這主要是介紹解遞推關(guān)系上的應(yīng)用。例如(1+a1x)(1+a2x)…(1+anx)=1+(a1+a2+…+an)x+(12+a12+…+a.)x+.、nan母函數(shù)與遞推關(guān)系§1母函數(shù)定義:給定序列(ao4a1…,n…),記為an,函數(shù)f(x)=ao+arr+.+ar+稱為該序列的普通母函數(shù),簡稱母函數(shù)。例常數(shù)列(1,1)的母函數(shù)為f(x)=1+x+…+x"+…=1/(1-x)數(shù)列{C(n,i)},i=0,1,2,,n的母函數(shù)為∑C(n,i)x2=(1+x)=0這里的母函數(shù)只是“形式冪級數(shù)”,運算均按收斂全國高等學(xué)校英語應(yīng)用能力考試（PRETCO）簡稱英語應(yīng)用能力考試,分為A、B兩個級別，是教育部于1998年開始實施的專門針對高職學(xué)生開展的一項考試,其中B級為高職高專學(xué)生應(yīng)達到的最低標準要求。該項考試開展10年來，得到了越來越多的高職高專院校和學(xué)生的認可，目前，它已成為教育部考核高職高專院校教學(xué)質(zhì)量的檢測標準之一。為了提高英語應(yīng)用能力考試通過率，筆者所在的學(xué)院近年來采取了分層次教學(xué)的方式，這是為了適應(yīng)高職學(xué)生在英語教學(xué)中個體差異的需要，提高英語教學(xué)質(zhì)量而采取的一種教學(xué)方式。在英語這一累積性非常強的語言課堂上，由于學(xué)生基礎(chǔ)相隔懸殊，采用傳統(tǒng)的教學(xué)法，教學(xué)上無論是采取“高難度、快節(jié)奏”“小步子、低起點”，還是“抓中間、帶兩頭”的統(tǒng)一教學(xué)模式，都只能面向一部分學(xué)生，而使得其他學(xué)生要么“吃不飽”、要么“消化不了”，得不到應(yīng)有的提高與發(fā)展，甚至產(chǎn)生厭學(xué)的情緒，出現(xiàn)逃課或者“上甲課做乙事”之類的抵觸心理，嚴重影響了學(xué)生過級的興趣和信心。布魯姆認為:“如果學(xué)生前提行為存在很大差異，教學(xué)要是不能適應(yīng)每個學(xué)生，那么學(xué)習(xí)結(jié)果之間就會存在很大差異?！笔聦嵣希诓町愊喈攽沂獾陌嗉壚?，教師沒辦法給每一個學(xué)生同樣多的關(guān)照。為使差異懸殊的學(xué)生都能適當學(xué)習(xí)，并保證有所發(fā)展，傳統(tǒng)的統(tǒng)一教學(xué)內(nèi)容、同一教學(xué)方法、同一教學(xué)進度的課堂教學(xué)顯然是不合適的，要想達到理想的教學(xué)效果，分層次教學(xué)是必然的應(yīng)對措施。分層次教學(xué)的理念不是近年提出來的，早在20世紀西方一些國家就已出現(xiàn)并流行過，近年歐洲大陸出現(xiàn)的“區(qū)別化教學(xué)”以及我國建國初的“復(fù)式教學(xué)”就是典型的例子。上海建平中學(xué)和南京師范大學(xué)附屬中學(xué)自1987年以來就搞“按程度分層次教學(xué)”的教學(xué)改革，學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣和接受能力選擇進入不同程度的課堂學(xué)習(xí)。盡管分層次教學(xué)的表現(xiàn)形式多樣，其實質(zhì)都是承認學(xué)生差異、尊重學(xué)生主體意識、發(fā)展學(xué)生個性與特長，以期使所有學(xué)生都得到進步。要進行分層次教學(xué)，首先得弄清楚學(xué)生層次的差異所在，學(xué)生的差異是客觀存在的，差異意味著數(shù)量的存在，而數(shù)量是可以進行測量的。為給不同層次學(xué)生提供適合他們不同情況的教學(xué)，這就需要進行差異測查。對學(xué)生英語差異進行測查主要測其聽、說、讀、寫、譯的知識基礎(chǔ)，查其對英語學(xué)習(xí)的興趣等。通過測查，使學(xué)生對自己的英語基礎(chǔ)有個全面的了解，從而看到自己的優(yōu)勢、特長和不足，知道自己應(yīng)努力的方向。一提起差異測查，我們會立即想到作為測查成績的有其獨到的易操作性與客觀性的考試，英語要分層次教學(xué)，在教學(xué)前要體現(xiàn)出層次來，最簡捷的辦法是通過考試對學(xué)生的聽、說、讀、寫、譯來一個全面的知識水平的考查。全面了解學(xué)生已有的英語知識儲備狀況、學(xué)生對英語學(xué)習(xí)的態(tài)度、興趣等現(xiàn)有水平基礎(chǔ)之后,在學(xué)生自愿的前提下將學(xué)生分成A、B兩個層次。A層以通過A級為目標，B層則以通過B級為目標。在A層中再根據(jù)學(xué)生英語程度分為A1、A2和A3三個層次，B層中分為B1、B2兩個層次開展教學(xué)，同時保留原有的按專業(yè)自然分班不變，學(xué)生跑班上英語課。對同年級的自然班，在教學(xué)開始之前，針對不同學(xué)生層次做不同的英語教學(xué)活動準備、進行不同的英語教學(xué)設(shè)計。至于教學(xué)內(nèi)容的選擇，前蘇聯(lián)著名的教育家蘇霍姆林斯基說過:“完善的智育的一個重要的條件就是教學(xué)方法、課的結(jié)構(gòu)及可能的所有組織因素，都應(yīng)當與教材的教學(xué)目的和教育目的相適應(yīng)，與學(xué)生全面發(fā)展的任務(wù)相適應(yīng)。”在教學(xué)目標上，對不同學(xué)生層次施以不同的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)進度。具體地說，A層次應(yīng)不拘泥于現(xiàn)有的課程目標，適當拔高，教材可采用高職實用英語（業(yè)務(wù)教程）；B層次教材可采用程度相當于初中的入門教程。在整個教學(xué)過程中，教學(xué)方法是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。學(xué)生不僅僅在學(xué)習(xí)方式上存在差異，在思維類型上也有所不同。不同層次的學(xué)生，由于水平層次、學(xué)習(xí)方式、思維風(fēng)格的差異，要采取不同的教學(xué)方法。不管采用何種教學(xué)方法，都要有利于學(xué)生揚長補短，都要體現(xiàn)啟發(fā)式教學(xué)的思想，讓學(xué)生積極主動地獲取知識、主動地學(xué)習(xí)和探索。未來社會要求有主體精神的人、有創(chuàng)新精神的人，要求我們的學(xué)生學(xué)會求知、學(xué)會合作，而且只有當學(xué)生都獨立自主地、主動地學(xué)習(xí)和合作時，教師才能有更多時間、精力充沛地照顧學(xué)生的差異，幫助那些有特殊需要的學(xué)生。具體地說，A層次的學(xué)生基礎(chǔ)好，可以堅持“立志向、導(dǎo)探索、自己走”的原則，著重培養(yǎng)其聽、說、讀、寫、譯的綜合運用能力，培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)與自我教育的創(chuàng)造精神，以便其在英語學(xué)習(xí)中走得更快、更好、更深、更遠；B層次的學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對英語學(xué)習(xí)顯得底氣不足、信心不高。教學(xué)中最重要的是要激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、夯實其知識基礎(chǔ)，讓學(xué)生嘗到學(xué)習(xí)的快樂，從而激起其學(xué)習(xí)英語的欲望，逐漸由“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”。通過多年的教學(xué)，我覺得在基礎(chǔ)特差的班級里，英語老師若過分強調(diào)知識的講解到位、應(yīng)用到點，只會讓學(xué)生厭煩。如果我們不急于在一節(jié)課上講很多知識點而是就某一方面的知識用游戲或其他諸如歌曲的方式表達一些，由此引出一些學(xué)生喜聞樂見的、與此相關(guān)的生活中的東西，讓學(xué)生在課堂上既輕松應(yīng)對，又有所收獲，慢慢積累起對英語學(xué)習(xí)的積極性和主動性。在教學(xué)過程中，為發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生的英語學(xué)習(xí)潛能、強化改進學(xué)生的英語學(xué)習(xí)，要利用各種有關(guān)教學(xué)進程的信息(比如期考、段考和測驗等)，按照學(xué)生英語學(xué)習(xí)的自身發(fā)展需要采取適當?shù)男拚胧Ｌ岣邔W(xué)生英語過級率需要長期扎扎實實的工作,只有在大綱的指導(dǎo)下，以教材為中心,使學(xué)生在聽、說、讀、寫、譯上得到較大的提高,才能真正提高學(xué)生的英語水平,并有助于消除高分低能的不正常現(xiàn)象。只有在提高學(xué)生的英語運用能力的前提下提高過級率,過級才有實際意義。分段函數(shù)歷來是高考中的“?？汀?所謂分段函數(shù)指的是自變量在不同的取值范圍內(nèi)，有不同的表達式.分段函數(shù)由于是分段定義的，與一般函數(shù)有著明顯的區(qū)別，同學(xué)們必須注意以下幾點：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù);（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集;（3）分段函數(shù)的解析式中的“{”與方程（或不等式）組中的“{”的含義是不同的，后者是“并且”的意思，“{”中的要求要同時滿足，而前者是分類定義，即對定義域進行分類后分別定義函數(shù)，沒有“并且”的意思.那么，在高考中分段函數(shù)一般涉及哪些問題呢？一、分段函數(shù)的函數(shù)值問題例1（2015?新課標Ⅱ改編）設(shè)函數(shù)f（x）=1+log2（2-x），x<1，2x-1，x≥1，f（-2）+f（log212）=.解析：由已知得f（-2）=1+log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2log212-1=2log26=6，故f（-2）+f（log212）=9.評注：利用分段函數(shù)的定義可以由自變量的值去求對應(yīng)的函數(shù)的值，反之也可以根據(jù)給出的函數(shù)值求出對應(yīng)的自變量的值.注意：只有滿足它的自變量的范圍才能用與之對應(yīng)的解析式.二、分段函數(shù)的圖像問題例2（2015?北京改編）如右圖函數(shù)f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是.解析：由圖知，f（x）=2x+2，-1≤x≤0，-x+2，0<x≤2.設(shè)g（x）=log2（x+1）.在同一坐標系中畫出f（x），g（x）的圖像（如下圖），令-x+2=log2（x+1），解得x=1，故不等式的解集為{x|-1≤x≤1}.評注：由圖像知函數(shù)f（x）是分段函數(shù).由于所給不等式是一個非常規(guī)不等式，所以采用圖像法來解，答案從圖像上一望便知.三、分段函數(shù)的值域問題例3（2015?福建）若函數(shù)f（x）=-x+6，x≤2，3+logax，x>2，（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是.解析：當x≤2時，函數(shù)f（x）=-x+6是減函數(shù)，故f（x）≥f（2）=4，即f（x）∈[4，+∞）.又因為函數(shù)的值域恰為[4，+∞），故當x>2時，f（x）=3+loga2≥4，即loga2≥1故實數(shù)a的取值范圍是（1，2].評注：函數(shù)值域的常用求法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖像法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.四、分段函數(shù)的最值問題例4（2015?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=2x-a，x<1，4（x-a）（x-2a），x≥1.若a=1，則f（x）的最小值為.解析：當a=1時，f（x）=2x-1，x<1，4x2-12x+8，x≥1.當x<1時，-1<2x-1<1;當x≥1時，f（x）=4x2-12x+8在區(qū)間[1，32]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[32，+∞）上單調(diào)遞增，所以當x=32時，f（x）min=f（32）=4×（32）2-12×32+8=-1.所以答案：-1.評注：利用函數(shù)的單調(diào)性，也是求分段函數(shù)最值最有效的方法.五、與分段函數(shù)有關(guān)的方程問題例5（2015?山東改編）設(shè)函數(shù)f（x）=3x-1，x<1，2x，x≥1.則滿足f（f（a））=2f（a）的a的取值范圍是.解析：當a<1時，f（a）=3a-1，若f（f（a））=2f（a），則f（a）≥1，即3a-1≥1，∴23≤a<1;當a≥1時，f（a）=2a≥2，此時f（f（a））=2f（a）.恒成立.綜上所述，a≥23.評注：本題給出的是個方程，方程的解卻是一個范圍，體現(xiàn)了高考命題的新穎性和創(chuàng)新性.本題考查的是分類討論思想，具有一定難度.六、分段函數(shù)的零點問題例6（2015?天津改編）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是.解析：f（2-x）=2-|2-x|，x≥0，x2，x<0，即f（2-x）=x2，x<0，x，0≤x≤2，4-x，x>2.而f（x）=2+x，x<0，2-x，0≤x≤2，（x-2）2，x>2，所以f（x）+f（2-x）=x2+x+2，x<0，2，0≤x≤2，x2-5x+8，x>2.在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y=f（x）+f（2-x），y=b的圖像，如下圖.要使y=f（x）-g（x）有4個不同的零點，只要上述兩個函數(shù)的圖像有4個不同的交點即可，由于函數(shù)y=f（x）+f（2-x）的最小值為74，因此74<b<2.故答案：74<b<2.評注：分段函數(shù)的零點個數(shù)問題，一般采用圖像法最有效.七、分段函數(shù)的解析式問題例7（2015?全國卷Ⅱ改編）如右圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖像大致為（填序號）.解析：要選出函數(shù)f（x）的圖像，必須先求出這個分段函數(shù)的解析式.由于本題是選擇填空題，且答案唯一，故只需求出這個分段函數(shù)的部分表達式，再利用排除法.當點P在BC上時，|PB|=tanx，|PA|=tan2x+4，|PA|+|PB|=tanx+tan2x+4，即f（x）=tanx+tan2x+4，x∈[0，π4]，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在[0，π4]上單調(diào)遞增，所以其最大值為1+5，且函數(shù)y=f（x）的圖像不可能是線段，排除圖（1）和圖（3）.當點P在CD上運動時，我們?nèi)為CD的中點，此時x=π2，f（π2）=22，由于22<1+5，即f（π2）<f（π4），排除圖（4）.綜上可知，只有圖（2）中圖像符合題意.故答案：（2）.評注：某些實際問題的函數(shù)解析式常用分段函數(shù)表示，需針對自變量的分段變化情況，列出各段不同的解析式，再依據(jù)自變量的不同取值范圍，分段畫出函數(shù)的圖像.說明：由于江蘇數(shù)學(xué)高考不出選擇題，故本文將2015年高考涉及分段函數(shù)的選擇題都改編成了填空題.（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）母函數(shù)與遞推關(guān)系遞推關(guān)系是計數(shù)的一個強有力的工具,特別是在做算法分析時是必需的。遞推關(guān)系的求解主要是利用母函數(shù)。當然母函數(shù)尚有其他用處,但這主要是介紹解遞推關(guān)系上的應(yīng)用。例如(1+a1x)(1+a2x)…(1+anx)=1+(a1+a2+…+an)x+(12+a12+…+a.)x+.、nan母函數(shù)與遞推關(guān)系§1母函數(shù)定義:給定序列(ao4a1…,n…),記為an,函數(shù)f(x)=ao+arr+.+ar+稱為該序列的普通母函數(shù),簡稱母函數(shù)。例常數(shù)列(1,1)的母函數(shù)為f(x)=1+x+…+x"+…=1/(1-x)數(shù)列{C(n,i)},i=0,1,2,,n的母函數(shù)為∑C(n,i)x2=(1+x)=0這里的母函數(shù)只是“形式冪級數(shù)”,運算均按收斂母函數(shù)與遞推關(guān)系母函數(shù)的組合意義:考察[1+(ax)+(ax)2+…]×[1+(bx)+(bx)2+×[1+(cx)2+(cx)2…4=1+(a+b+c)x+(a'tabac+b+bc+c)x+(a+ababta'ctac+abc+b+b'c+bc+cx+...母函數(shù)與遞推關(guān)系其中:x前的系數(shù)為a,b,c的所有可重1組合,x2前的系數(shù)為a,b,c的所有可重2組合般地:x"前的系數(shù)為a,bc的所有可重n-組合,在前式中取a=b=c=1,則x前的系數(shù)為ab,c的所有可重n-組合數(shù)F(3,n)1+x+x2+…)(+x1+x2+…)(+x+x2)(1+x1+x2+….)=1+3x+6x2+10x3+∑F(3,n)x母函數(shù)與遞推關(guān)系所以,構(gòu)造某組合問題的組合數(shù)an的母函數(shù)f(x)的基本方法為:用一個乘積因子(1+x+x2+來代表一個所選元素,若該元素可重復(fù)n次,則因子中應(yīng)出現(xiàn)x例設(shè)有2個紅球,3個白球,1個黑球和1個黃球求從這些球中取出5個的不同方案數(shù)。解:設(shè)從所給球中取出個的不同方案數(shù)為a1,則由題設(shè)可得{a的母函數(shù)為f(x)=(1+x+x2)(1+x+x2+x3)(1+x)2=1+4x+8x2+11x3+1Lx4+8x5+4x6+x7母函數(shù)與遞推關(guān)系例求用1元和2元的鈔票支付n元的不同方式數(shù)解:設(shè)所求不同方式數(shù)為an,則由題設(shè)可得{an}的母函數(shù)