第五章線性定常系統(tǒng)的綜合Chapter5本章知識點2023/7/1615.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點配置問題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題5.4系統(tǒng)解耦問題5.5狀態(tài)觀測器5.6利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)2023/7/162分析與綜合是控制系統(tǒng)研究的兩大課題：分析：是在建立數(shù)學模型的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的各種性能（如前面各章討論過的能控性、能觀性和穩(wěn)定性等）及其與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和外部作用間的關(guān)系。綜合：是設(shè)計控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律、以保證系統(tǒng)的各項性能指標要求都能得到滿足。2023/7/1635.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.1.1狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。2023/7/164圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：式中，若D=0，則受控系統(tǒng)：簡記為：（5.1）（5.2）2023/7/165狀態(tài)線性反饋控制律u為：式中，v為r×1維參考輸人；K為r*n維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對單輸入系統(tǒng)，K為r×n維行矢量。

把上式代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：2023/7/166若D=0，則簡記為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：可見，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。2023/7/1675.1.2輸出反饋

輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。2023/7/168受控系統(tǒng)或輸出線性反饋控制律為：其中H為r×m維輸出反饋增益陣。對單輸出系統(tǒng)，H為r×1維列矢量。2023/7/169閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式：若D=0,則簡記為：可見，通過選擇輸出反饋增益陣H也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。2023/7/1610

輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：以上兩個傳遞函數(shù)存在下列關(guān)系：或2023/7/1611分析與綜合是控制系統(tǒng)研究的兩大課題：分析：是在建立數(shù)學模型的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的各種性能（如前面各章討論過的能控性、能觀性和穩(wěn)定性等）及其與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和外部作用間的關(guān)系。綜合：是設(shè)計控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律、以保證系統(tǒng)的各項性能指標要求都能得到滿足。2023/7/16125.1.3從輸出到狀態(tài)矢量導數(shù)反饋

從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導數(shù)

的線性反饋形式在狀態(tài)觀測器獲得應用。

（圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)：2023/7/1613設(shè)受控系統(tǒng)

加入從輸出y到狀態(tài)矢量導數(shù)的反饋增益陣，可得閉環(huán)系統(tǒng)：2023/7/1614將上式中的y代入整理得：若D=0，則記作閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：2023/7/16155.1.4動態(tài)補償器

上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點是：1.不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維。2.反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。3.在更復雜的情況下，常常要通過引入一個動態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能，這種動態(tài)子系統(tǒng)，稱為動態(tài)補償器。2023/7/1616

它與受控系統(tǒng)的連接方式如圖5．4所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。2023/7/16175.1.5閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理5.1.1狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)

的能控性。但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。實際上，受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將∑0的能控標準I型代入上式，可知，引入狀態(tài)反饋后傳遞函數(shù)的分子多項式不變，即零點保持不變。但分母多項式的每一項系數(shù)均可通過選擇K而改變，這就可能使傳遞函數(shù)發(fā)生零極點相消而破壞系統(tǒng)的能控性。2023/7/1618定理5.1.2輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。2023/7/16195.2極點配置問題5.2.1采用狀態(tài)反饋

定理5.2.1采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點的充要條件是∑0完全能控?？刂葡到y(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點在根平面上的分布。因此作為綜合系統(tǒng)性能指標的一種形式，往往是給定一組期望極點，或者根據(jù)時域指標轉(zhuǎn)換成一組等價的期望極點。2023/7/1620證明只證充分性。若∑0完全能控，通過狀態(tài)反饋必成立式中，為期望特征多項式。式中為期望的閉環(huán)極點（實數(shù)極點或共軛復數(shù)極點）。2023/7/16211)若∑0完全能控，必存在非奇異變換：能將∑0化成能控標準I型：式中2023/7/1622受控系統(tǒng)∑0的傳遞函數(shù)為：2023/7/16232)加入狀態(tài)反饋增益陣：式中可求得對的閉環(huán)狀態(tài)空間表達式：2023/7/1624閉環(huán)特征多項式為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：2023/7/16253)使閉環(huán)極點與給定的期望極點相符，必須滿足：由等式兩邊同次冪系數(shù)對應相等．可解出反饋陣各系數(shù)：于是得2023/7/16264)最后，把對應于的，通過如下變換，得到對應于狀態(tài)

x的K

：這是由于的緣故。應當指出，當系統(tǒng)階數(shù)較低時，根據(jù)原系統(tǒng)狀態(tài)方程直接計算反饋增益陣K的代數(shù)方程還比較簡單，無需將它化成能控標準Ⅰ型。但是隨著階數(shù)的增高，直接計算K的方程將愈加復雜。2023/7/16275.2.2采用輸出反饋

定理5.2.2對完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng)，不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。

證明對單輸入一單輸出反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：2023/7/1628式中為受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程可得閉環(huán)根軌跡方程：當已知時，以為參變量，可求得閉環(huán)系統(tǒng)的一組根軌跡。很顯然，不管怎樣選擇h，也不能使根軌跡落在那些不屬于根軌跡的期望極點位置上。定理得證。2023/7/1629

定理5.2.3對完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng)，通過帶動態(tài)補償器的輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件是：2)動態(tài)補償器的階數(shù)為n—l。1)完全能觀。2023/7/16305.2.3采用從輸出到反饋

定理5.2.4對系統(tǒng)采用從輸出到的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是∑0完全能觀。證明根據(jù)對偶原理，如果能觀。則必能控，因而可以任意配置的特征值。而的特征值和的特征值相同，又因為2023/7/1631

因此，對任意配置極點就等價于對A+Gc任意配置極點。于是設(shè)計輸出反饋陣G的問題便轉(zhuǎn)化成對其對偶系統(tǒng)設(shè)計狀態(tài)反饋陣K的問題。具體步驟如下：(1)取線性變換：式中為能將系統(tǒng)化成能觀標準Ⅱ型的變換矩陣。2023/7/1632將系統(tǒng)化成能觀標準Ⅱ型：2023/7/1633(2)引入反饋陣后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：2023/7/1634和閉環(huán)特征多項式：2023/7/1635(3)由期望極點得期望特征多項式：(4)比較各對應項系數(shù)，可解出：(5)將在下求得的

變換到x狀態(tài)下便得：

和求狀態(tài)反饋陣K的情況類似，當系統(tǒng)的維數(shù)較低時，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標準Ⅱ型，通過直接比較特征多項式系數(shù)米確定G矩陣。2023/7/16365.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題保證穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的必要前提。受控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋(或者輸出反饋),使得其極點均具有負實部，即閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,這樣的問題稱為鎮(zhèn)定問題。鎮(zhèn)定問題是系統(tǒng)極點配置問題的一種特殊情況，它只要求閉環(huán)極點配置在根平面的左側(cè)，而并不要求將極點嚴格地配置在期望的位置上。2023/7/1637

定理5.3.1對系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

證明(1)設(shè)系統(tǒng)不完全能控，因此通過線性變換可將其按能控性分解為：

式中，為能控子系統(tǒng)；為不能控子系統(tǒng)。2023/7/1638(2)由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有：(3)由于與在能控性和穩(wěn)定性上等價?？紤]對引人狀態(tài)反饋陣：于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：2023/7/1639和閉環(huán)特征多項式：2023/7/1640可見，引入狀態(tài)反饋陣，只能通過選擇使的特征值均具有負實部，從而使這個子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但的選擇并不能影響的特征值分布。因此，僅當?shù)奶卣髦稻哂胸搶嵅浚床荒芸刈酉到y(tǒng)為漸近穩(wěn)的此時整個系統(tǒng)才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。2023/7/1641

定理5.3.2系統(tǒng)∑0

=（A,B,C）通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是∑0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明

(1)對∑0

=（A,B,C）進行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解，

有：2023/7/1642(2)因為能控性和能觀性和能鎮(zhèn)定性上完全等價，所以對引入輸出反饋陣H，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：2023/7/1643和閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式：表明，當且僅當?shù)奶卣髦稻哓搶嵅繒r，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。定理得證。2023/7/1644

定理5.3.3對系統(tǒng)∑0

=（A,B,C）采用從輸出到反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是∑0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證明

(1)將系統(tǒng)∑0

=（A,B,C）進行能觀性分解，得：

式中，為能觀子系統(tǒng)；

為不能觀子系統(tǒng)。2023/7/1645開環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：(2)由于在能控性和穩(wěn)定性上等價，考慮對引入從輸出到的反饋陣，于是有：2023/7/1646和引入反饋陣，只影響的特征值。因此，要使系統(tǒng)獲得鎮(zhèn)定，僅在為漸進穩(wěn)定時才能做到。2023/7/16475.4系統(tǒng)解耦問題

解耦問題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分?

其設(shè)計目的是尋求適當?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實現(xiàn)每一個輸出僅受相應的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應應的一個輸出，這樣的問題稱為解耦問題。設(shè)∑0

=（A,B,C）是一個m維輸入、m維輸出的受控系統(tǒng)，即2023/7/1648若其傳遞函數(shù)矩陣：實現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種方法：(1)前饋補償器解耦(2)狀態(tài)反饋解耦2023/7/16495.4.1前饋補償器解耦前饋補償器解耦的框圖如下圖所示。2023/7/1650根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：式中，W(s)為串接補償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。顯然，只要W0-1(s)在，則串聯(lián)補償器的傳遞函數(shù)矩陣為：2023/7/16515.4.2狀態(tài)反饋解耦1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個特征量狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：2023/7/1652為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個特征量。1)定義di，是滿足不等式：且介于0到m-1之間的一個最小整數(shù)l。

式中，ci為系統(tǒng)輸出矩陣C中的第i行向量(i=1，2，….，m)

，因此，di的下標i表示行數(shù)。2023/7/16532)根據(jù)di，定義下列矩陣：2023/7/16542.能解耦性判據(jù)

定理5.4.1受控系統(tǒng)∑0

=（A,B,C）采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是m×n維矩陣E為非奇異。即2023/7/16553.積分型解耦系統(tǒng)

定理5.4.2若系統(tǒng)∑0

=（A,B,C）是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)∑p

=（Ap,Bp,Cp）是一個積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：輸入變換矩陣為：2023/7/1656閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

上式表明，用如上方法實現(xiàn)(K，F(xiàn))解耦的系統(tǒng)，其每個子系統(tǒng)都是相當于一個di+1階積分器的獨立子系統(tǒng)。2023/7/16574．能解耦標準形如果解耦系統(tǒng)具有如下形式：其中，pi=di+1，i=1，2，…m;p1+p2+…+pm=n2023/7/1658則稱為能控解耦標準型。而且，是的一個最小實現(xiàn)。2023/7/1659

定理5.4.3狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦并任意配置極點的充要條件是，它們具有以下形式：式中，2023/7/16605.狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計步驟綜上所述，用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)解耦的設(shè)計步驟可歸納如下：1)檢驗系統(tǒng)是否滿足定理5.4.1所述充要條件。2)按照定理5.4.2計算狀態(tài)反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。3)按照上式對各獨立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋，將其極點配置為期望值。2023/7/16615.5狀態(tài)觀測器要實現(xiàn)閉環(huán)極點的任意配置，或?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)解耦，以及下一章將要介紹的最優(yōu)控制系統(tǒng)都離不開全狀態(tài)反饋。然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是易于直接能檢測得到的，有些狀態(tài)變量甚至根本無法檢測。這樣，就提出所謂的狀態(tài)觀測或者狀態(tài)重構(gòu)問題。2023/7/16625.5.1狀態(tài)觀測器定義

設(shè)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)的狀態(tài)矢量x不能直接檢測。如果動態(tài)系統(tǒng)以∑0的輸入u和輸出y作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量漸近于x，即

,則稱為∑0的的一個狀態(tài)觀測器。2023/7/1663根據(jù)上述定義，可得構(gòu)造觀測器的原則是：1)觀測器應以∑0的輸入u和輸出y為其輸入量。2)為滿足，∑0必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。4)在結(jié)構(gòu)上應盡量簡單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實現(xiàn)：3)的輸出應以足夠快的速度漸近于x，即應有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。2023/7/16645.5.2狀態(tài)觀測器的存在性

定理5.5.1對線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是∑0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

證明

(1)設(shè)∑0=(A，B，C)不完全能觀，可進行能觀性結(jié)構(gòu)分解。這里，不妨設(shè)∑0=(A，B，C)已具有能觀性分解形式。即2023/7/1665(2)構(gòu)造狀態(tài)觀測器，設(shè)為狀態(tài)x的估值，為調(diào)節(jié)漸近于x的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測器方程：或定義為狀態(tài)誤差矢量，可導出狀態(tài)誤差方程：2023/7/1666(3)確定使?jié)u近于x的條件。由上式，得：2023/7/1667

可知，通過適當選擇G1，，可使的特征值均具負實部，因而有：同理，可得狀態(tài)誤差方程其解為：2023/7/16685.5.3狀態(tài)觀測器的實現(xiàn)

定理5.5.2若線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，c)完全能觀，則其狀態(tài)矢量x可由輸出y和輸入u進行重構(gòu)。證明將輸出方程t逐次求導，代以狀態(tài)方程并整理可得：2023/7/1669將各式等號左邊用矢量z表示，則有：若系統(tǒng)完全能觀，rankN=n，則有：2023/7/1670根據(jù)下圖可得狀態(tài)觀測器方程：2023/7/16715.5.4反饋矩陣G的設(shè)計為了討論狀態(tài)估值主趨近于狀態(tài)真值工的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：可得狀態(tài)誤差方程：2023/7/1672即上式是一個關(guān)于的齊次微分方程，其解為：2023/7/16735.5.5降維觀測器

以上介紹的觀測器是建立在對原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱全維觀測器。實際上，系統(tǒng)的輸出矢量y總是能夠測量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)。

可以證明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的（n-m）個狀態(tài)分量便只需用（n-m）維的降維觀測器進行重構(gòu)即可。降維觀測器的設(shè)計方法很多，下面介紹其一般設(shè)計方法。2023/7/1674

降維觀測器設(shè)計分兩步進行。第一，通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解成，其中(n-m)

維，需要重構(gòu)，而m維可由y直接獲