第二十七章27.3.2平面直角坐標(biāo)系中的位似變換人教版數(shù)學(xué)九年級下冊1．鞏固位似圖形及其有關(guān)概念．2．會用圖形的坐標(biāo)的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律．學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖所示的是幻燈機(jī)的工作情況，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30cm．幻燈片到屏幕的距離是1.5m，幻燈中的小樹的高度是10cm，請你利用相似三角形的知識，算出屏幕上小樹的高度．

事實(shí)上，幻燈機(jī)工作的實(shí)質(zhì)是將圖片中的圖形放大．本節(jié)知識將對上述問題作系統(tǒng)的講解．導(dǎo)入新知1知識點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中的位似變換如圖(1)，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6，3)，B(6,0)．以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為把線段AB縮?。^察對應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？問

題合作探究如圖(2)，△AOC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，4)，Ｏ(0,0)，C(5,0)．以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△AOC放大.觀察對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)的變化，你有什圖(2)中，把△AOC放大后，A，Ｏ，C的對應(yīng)點(diǎn)為Ａ′(8，1．鞏固位似圖形及其有關(guān)概念．解：△ABC如圖所示．(4，2)或(－4，－2)位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的圖(2)中，把△AOC放大后，A，Ｏ，C的對應(yīng)點(diǎn)為Ａ′(8，相似比為把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的3∶1，把線段AB縮?。^察對使它與△ABC的相似比為21，則點(diǎn)B的對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？分析：由于要畫的圖形是三角形，所以關(guān)鍵是確定它的各連接點(diǎn)A′，B′，O，所得△A′B′O應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)的變化，你有什5m，幻燈中的小樹的如圖(2)，△AOC三個(gè)頂點(diǎn)的A．(－1，2)解：如圖，利用位似中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)位似圖形，且相似比為點(diǎn)A，B，E在x軸上，比為2，將△AOC放大.

可以看出，圖(1)中，把AB縮小后，A，B

的對應(yīng)點(diǎn)為A′(2，1)，B′(2，0)；A″(－2，－1)，B″(－2,0)．圖(2)中，把△AOC放大后，A，Ｏ，C的對應(yīng)點(diǎn)為Ａ′(8，8)，O(0，0)，C′(10，0)；

A"(－8，－8)，O(0，0)，C″(－10，0).在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k.即若原圖形的某一頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則其位似圖形對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．注意：這里的相似比指的是新圖形與原圖形的對應(yīng)邊的比．新知小結(jié)例1〈武漢〉如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6，3)、B(6，0)．以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為

在第一象限內(nèi)

把線段AB縮小后得到線段CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

)

A．(2，1)

B．(2，0)C．(3，3)

D．(3，1)

導(dǎo)引：根據(jù)題意可知，A(6，3)，原點(diǎn)O為位似中心且在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的

C(2，1)，故選擇A.A后得到線段CD，所以合作探究在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k，此種類型的題目要注意多種可能．新知小結(jié)如圖，把△AOB縮小后得到△COD，求△COD與△AOB的相似比.解：鞏固新知2(中考?遼陽)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)

格中，建立平面直角坐標(biāo)系，△ABO與△A′B′O′是

以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)均在格

點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A．(0，0)

B．(0，1)

C．(－3，2)

D．(3，－2)C如圖，線段CD的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1，2)，

D(2，0)，以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得

到線段AB，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(

)A．(2，5)

B．(2.5，5)

C．(3，5)

D．(3，6)B4(中考?東營)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)

A(－3，6)，B(－9，－3)，以原點(diǎn)O為位似中心，

相似比為

把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的

坐標(biāo)是(

)A．(－1，2)

B．(－9，18)C．(－9，18)或(9，－18)

D．(－1，2)或(1，－2)D【中考·煙臺】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方

形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的

位似圖形，且相似比為

點(diǎn)A，B，E在x軸上，

若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A．(3，2)B．(3，1)C．(2，2)D．(4，2)A2知識點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中畫位似圖形如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6，3)，B(6，0)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為3∶1，把線段AB縮?。^察對應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)?

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－

k.合作探究一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx，ky)或(－kx

，－ky).新知小結(jié)例2如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，4)，

B(－2，0)，Ｏ(0，0)．以原點(diǎn)Ｏ為位似中心，畫出一個(gè)三角形，使它與△ABO的相似比為合作探究分析：由于要畫的圖形是三角形，所以關(guān)鍵是確定它的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)前面總結(jié)的規(guī)律，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′

的坐標(biāo)為可以確定其他頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解：如圖，利用位似中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

的變化規(guī)律，分別取點(diǎn)A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0)．順次

連接點(diǎn)A′，B′，O，所得△A′B′O

就是要畫的一個(gè)圖形．即(－3，6)．類似地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似圖形是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k.若原圖形中一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．新知小結(jié)如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，－5)，B(6，0)，O(0，0)．以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形放大為原來的2倍，得到△A′B′O′．寫出△A′B′O′三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：△A′B′O′三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A′(－8，10)，B′(－12，0)，

O′(0，0)或A′(8，－10)，

B′(12，0)，O′(0，0)．鞏固新知【中考·濱州】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為C(2，3)，D(1，0)，現(xiàn)以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB.若點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B在x軸上且OB＝2，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為___________________．2(4，6)或(－4，－6)1.圖形變換的種類：(1)全等變換：全等變換不改變圖形的大小與形狀，全等變換

包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱．(2)相似變換：相似變換改變圖形的大小，不改變圖形的形狀，

位似是相似的特殊情況．2.

(1)當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k(k

＞0)；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，其對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的

比為－k.(2)當(dāng)k＞1時(shí)，圖形擴(kuò)大；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，圖形縮小．1知識小結(jié)歸納新知【中考·營口】如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，以原點(diǎn)O為位似中心，畫△A1B1C1，使它與△ABC的相似比為21，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是___________________．2易錯(cuò)小結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：題意理解不透導(dǎo)致漏解.易錯(cuò)總結(jié)：畫位似圖形時(shí)，通常有兩種情況：一種是位似

中心在對應(yīng)點(diǎn)同側(cè)，另一種是位似中心在對應(yīng)

點(diǎn)之間．此題易忽略第二種情況．(4，2)或(－4，－2)(kx，ky)(－kx，－ky)課后練習(xí)(－5，－1)ABA【答案】D相似比為把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的A．(2，5)例2如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，4)，如圖，把△AOB縮小后得到△COD，求△COD與△AOB的相似比.解：△A1B1C1如圖所示．(4，2)或(－4，－2)的交點(diǎn))上，以原點(diǎn)O為位似中心，畫△A1B1C1，解：如圖，△A2B2C即為所求作三角形．解：△A′B′O′三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C．(－3，2)A′(－8，10)，B′(－12，0)，30cm．幻燈片到屏幕的距相似比為把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的為___________________．易錯(cuò)點(diǎn)：題意理解不透導(dǎo)致漏解.D．(3，－2)就是要畫的一個(gè)圖形．一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為解：△A1B1C1如圖所示．圖(2)中，把△AOC放大后，A，Ｏ，C的對應(yīng)點(diǎn)為Ａ′(8，位似中心相似比B

解：△ABC如圖所示．解：△A1B1C1如圖所示．(－3，3)解：△A2B2C2如圖所示．(6，6)解：如圖所示．解：如圖，△A2B2C即為所求作三角形．的變化規(guī)律，分別取點(diǎn)A′(－3，C．(3，5)1．鞏固位似圖形及其有關(guān)概念．位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與象限內(nèi)將線段AB縮小為原來