湖南省永州市南津渡辦事處中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等于

A．-1-i

B．-1+i

C．1+i

D．1—i參考答案：2.三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A．36π B．72π C．144π D．288π參考答案：C【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】正四面體補(bǔ)成正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．【解答】解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同．∵三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，∴正方體的棱長(zhǎng)是4，又∵球的直徑是正方體的對(duì)角線，設(shè)球半徑是R，∴2R=12，∴R=6，球的表面積為4π×62=144π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線，從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化．若已知正四面體V﹣ABC的棱長(zhǎng)為a，求外接球的半徑，可以構(gòu)造出一個(gè)球的內(nèi)接正方體，再應(yīng)用對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑可求得．3.設(shè)的展開(kāi)式中的系數(shù)為,二項(xiàng)式系數(shù)為,則A.

B.

C.

D.參考答案：A，令，即，所以，所以的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為,所以,選A.4.在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，，則(

)（A）1（B）（C）（D）參考答案：A5.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，，△ABC的外接圓半徑為，則a的值為（

）A.1

B.2

C.

D.參考答案：B6.設(shè)點(diǎn)P（x，y）在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），則的取值范圍是（）A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（，2） D．[，2]參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)畫(huà)出如圖可行域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域．設(shè)P（x，y）、O（0，0），可得k=表示直線P、O連線的斜率，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P得到PO斜率的最大、最小值，即可得到的取值范圍．【解答】解：根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)作出圖形，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，可得O（0，0），則k=表示直線P、O連線的斜率，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí)，kBC==2達(dá)到最大值；當(dāng)P與C點(diǎn)重合時(shí)，kCO=達(dá)到最小值∴k的取值范圍是[，2]．故選：D．7.設(shè)非零向量，滿足，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)榉橇阆蛄?，滿足，所以，所以，所以，即，所以，故選B.

8.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＞3或x＜1}，則A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|3＜x＜4} D．{x|x＜2或x＞5}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】利用交集定義求解．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＞3或x＜1}，∴A∩B={x|3＜x＜4}．故選：C．9.如圖所示，程序框圖的輸出結(jié)果是__________.

A．13

B．14C．16

D．15參考答案：C10.一個(gè)體積為的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的主視圖的面積為（）A.

B.8

C.

D.12參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知無(wú)窮數(shù)列{an}中a1=1，且滿足從第二項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)﹣，則無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)和．參考答案：略12.已知函數(shù)則=

．參考答案：由積分的運(yùn)算法則可得。答案：。

13.極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是_______________.參考答案：14.過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為．參考答案：4【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，圓心C到直線距離的最大值為|CP|．由此結(jié)合垂徑定理，即可算出|AB|的最小值．【解答】解：圓（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圓心坐標(biāo)為（2，3），半徑為3．點(diǎn)P（1，1）在圓（x﹣2）2+（y﹣3）2=9內(nèi)部．∵圓心到直線的距離的最大值為|CP|==，∴|AB|有最小值2=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題給出直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求截得弦長(zhǎng)的最小值，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式和用垂徑定理求弦長(zhǎng)等知識(shí)，屬于中檔題．15.已知曲線交于點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)的兩條切線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則

△ABP的面積為

；參考答案：；解析：先求出交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），再分別求出兩曲線在該點(diǎn)處的切線方程，求出A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo)，再求面積；16.已知直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.參考答案：4由已知，即等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)成立，故答案為.

17.已知函數(shù)，則

．參考答案：∵，且，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在直角梯形中，，，．直角梯形可以通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面平面．（I）求證：．（II）求直線和平面所成角的正弦值．（III）設(shè)為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的點(diǎn)（都不與點(diǎn)重合）．若直線平面，求的長(zhǎng)．參考答案：（I）略 （II） （III）（I）∵，∴，∵平面平面且平面平面，∴面，∵平面，∴．（II）由（I）知，平面，∴，，∵，，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴，∴，令，，設(shè)直線與平面所成角為，∵，，．（III）在以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，，，，，．設(shè)，，∵，∴，，，若平面，則，即，，解得，∴，．19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.（1）求a的值；（2）求的值.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由題意結(jié)合正弦定理可得，代入邊長(zhǎng)求解a的值即可；(2)由余弦定理可得：，則，利用二倍角公式和兩角和差正余弦公式求解的值即可.【詳解】(1)由可得，結(jié)合正弦定理可得：，即：，據(jù)此可得.(2)由余弦定理可得：，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，故，，.

20.已知數(shù)列，，，，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有.參考答案：解：（Ⅰ）；

．

（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．則存在無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．設(shè)為其中最小的正整數(shù)．若為奇數(shù)，設(shè)（），則．與已知矛盾．

若為偶數(shù)，設(shè)（），則，

而從而． 而，與為其中最小的正整數(shù)矛盾．綜上，不存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．…………13分

略21.已知函數(shù).(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案：（1）（2）22.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1（a＞b＞0），焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值；（2）求|AB|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）首先根據(jù)條件求出橢圓的方程，（Ⅱ）（1）用分類討論的方法先設(shè)直線的特殊形式，再設(shè)一般式，建立直線和橢圓的方程組，再利用韋達(dá)定理的應(yīng)用求出關(guān)系量，（2）用三角形的面積相等，則利用點(diǎn)到直線的距離求出定值，最后利用不等式求出最小值．【解答】解：（Ⅰ），所以：則：b2=a2﹣c2=1所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：解：（Ⅱ）（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x將y=x代入，解得所以點(diǎn)O到直線AB的距離為，②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓聯(lián)立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0則：，因?yàn)镺A⊥OB，所以：x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0即所以：，整理得：5m2=4（1+k2），所以點(diǎn)O到直線AB的距離=綜上可知點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．解：（2）在Rt△