復習題5及答案

一、填空題

1.甲、乙、丙三人在同一時間內分別破譯某個密碼，設甲、乙、丙三人能單獨譯

出的概率分別為0.8，0.7和0.6，則密碼能被譯出的概率為_________.

由加法定理和獨立性可得所求概率為：

0.8+0.7+0.6－0.8*0.7－0.8*0.6－0.7*0.6+0.8*0.7*0.6

2.設P(A)0.8,P(AB)0.5且A與B獨立，則P(B)___________。

P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)

P(A)P(A)P(B)0.51P(B)0.50.625

P(A)

故P(B)0.375

3.設隨機變量X服從參數(shù)2的泊松分布，則P(X1)=_____________

P(X1)1P(X0)12e21e2

0!

0

。

4.設隨機變量X、Y相互獨立，且D(X)1，D(Y)2，則D(3X2Y)_____。

由

獨

立

隨

機

變

量

的

方

差

的

性

質

可

得

D(3X2Y)D(3X)D(2Y)9D(X)4D(Y)17

5.X1,X2,

,Xn是來自總體X的樣本，若統(tǒng)計量aiXi是總體均值EX的無

n

i1

偏估計量，則ai_________。

n

i1

由無偏估計量的定義E()E(aiXi)aiE(Xi)aiai1

n

n

n

n

i1

i1

i1

i1

6.設X1,X2,,X17是總體N(u,4)的樣本，S2是樣本方差，若P(S2a)0.01，

則a____________.

（注：0.01(17)33.4,0.005(17)35.7,0.01(16)32.0,0.005(16)34.3）

2

2

2

2

P(Sa)P(

16S216a)0.01

4

4

由定理5.1知16S

2

（17-1），故16a0.01(16)32.0

2

2

4

4

于是a8

2

-1-

二、選擇題

1.對于任意兩事件A和B，與ABB不等價的是

（

(D)

）

AB

(A)AB

(B)

BA

(C)AB

由ABB易知AB，然后此類有關隨機事件關系的題

畫venn圖很快就知道答案為D

2.設隨機變量X的概率密度為fX(x)，Y2X3，則Y的概率密度為（

(A)1fX(y3)

2

2

(C)1fX(y3)

2

2

）

(B)

(D)

1f(

2X

1f(

2X

y3)

2

y3)

2

這是有關一維隨機變量的函數(shù)的分布問題由于y2x3

是嚴格單調函數(shù)，所以直接有公式可得答案為B

3.設隨機變量X~N(0,1),X的分布函數(shù)為(x)，則P(|X|2)的值為（

（A）2[1(2)].

（B）2(2)1.

（C）2(2).

（D）12(2).

這是正態(tài)概率計算的問題：P(|X|2)1P(|X|2)

）

1(2)-(-2)）2(1-(2))

（

4.設總體均值為，方差為2，n為樣本容量，下式中錯誤的是（

(A)E(X)0(B)D(X)

2

(C)E(S2)1(D)X

2

n

/n

）

N(0,1)

此題答案為（D）,因為并沒有告訴我們總體是正態(tài)總體，A）(B)正確是很顯然

（

的，(C)為什么正確呢？我們上新課的時候曾經證明過樣本方差是總體方差的無

S2)E(S2)21

E(2

偏估計(不管總體是什么分布都成立)，所以

2

2

5.下列統(tǒng)計量中哪個是回歸統(tǒng)計檢驗的統(tǒng)計量（

(A)u2

(B)t2

）

(D)F(1,n2)

(C)F(r1,nr)

此題答案為(D),記住書中的結論即可，事實這道題是有問題的，他給出的不

是統(tǒng)計量，而是分位數(shù)，大家就原諒他吧，哎!

6.

設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,32)，設X1,X2,

Y1,Y2,

,X9和

,Y9分別是來自兩個總體的簡單隨機樣本,則統(tǒng)計量

-2-

UX1X2X9服從的分布是（

(Y12Y22Y92)

）

（A）t(9)

（B）

t(8)

（C）N(0,81)

（D）N(0,9)

此處考得是第五章有關統(tǒng)計中三大分布的構造性定義，

由給的形式很容看到

一定是t分布，再到分母中看看自由度是9，故答案是（A）

三、從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的

事件是相互獨立的，

并且概率都是2/5.設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，X的

求

分布列、數(shù)學期望和方差.

解：注意這題讓我們求分布列，故不緊要給出它是服從二項分布的，而且要

具體給出二項分布的取值及取值的概率，

求期望和反差是就記住二項分布的公式

直接套用

X的概率分布為

P(Xk)C3k(2)k(3)3k

55

k0,1,2,3.

即

0

27

P

125

EX326

55

X

2

3

36

8

125

125

DX32318

5525

1

54

125

四、某保險公司的調查表明，新保險的汽車司機中可劃為兩類：第一類人易出事

故，在一年內出事故的概率為0.05，第二類人為謹慎的人，在一年內出事故的

概率為0.01.假設第一類人占新保險司機的30%，現(xiàn)從新入保險的汽車司機中

任抽取一人，求（1）此人一年內出事故的概率是多大？（2）如果此人出了事

故，此人來自第一類人的概率多大？

解此題是典型的考全概率公式和BAYES公式的題：

設B＝{此人出事故}，

A1，A2分別表示此人來自第一類人和第二類人

由已知，有

P(A1)0.3，P(A)0.7，

2

P(BA1)0.05

（1）由全概率公式有

，P(BA2)0.01，

P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)0.30.050.70.010.022

（2）由貝葉斯公式有

P(A1B)

P(A1)P(BA1)0.30.0515

0.682.

P(B)

0.022

22

-3-

答：從兩類人中任意抽取一人，此人一年內出事故的概率為0.022；

五、設隨機變量X的概率密度為

ax1,0x2

f(x)

0,

其他

求（1）常數(shù)a；（2）X的分布函數(shù)F(x)；（3）P(1X3)

解

（1）1

f(x)dx2(ax1)dx(ax2x)202a2a1

0

2

2

（2）X的分布函數(shù)為

F(x)

x

0,

f(u)du(1u)du,

x

0

2

1,

0,

0x2,xx,

2

4

x2.

1,

x0,

x0,

0x2,

x2.

（3）P(1x3)

3

1

f(x)dx2(1x)dx1

1

2

4

（這兒概率還有一種求法，

大家都知道吧，哈哈，如果不知道，你可能這輩子也別想知道了，因為我沒打算再講）

六、設(X,Y)在由直線x1,xe2,y0及曲線y1所圍成的區(qū)域

x

上服從均勻分布，

（1）求邊緣密度fX(x)和fY(y)，并說明X與Y是否獨立.

（2）求P(XY2).

解：區(qū)域D的面積SD

y

e2

1

1dxlnxe22

x

1

1,(x,y)D,

(X,Y)的概率密度為f(x,y)2

0,其它.

y=1/x

D

0

1

e2

x

（1）fX(x)

11

f(x,y)dy0x2dy,

0,

1xe2,2x,

1

其它.

0,

1xe2,

（這

其它.

里大家都知道x是如何分段的吧？不知道的話就求我吧，或許我會再講一次的哦）

-4-

fY(y)

e21dx,

12

f(x,y)dx

1y1dx,

12

0,

1(e21),

2

11

e2y1,2y2,

其它

0,

1ye2,

1ye2

e2y1

其它

注意這里的y的分段哦，和平常遇見的有點不一樣哦，平常我講的方法仍然管用，現(xiàn)將y

分成三段，

再在中間那段分成兩段，

一個思路就是看被積函數(shù)你是否確定用什么形式代進去。

（2）因f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不獨立.

（3）P(XY2)1P(XY2)1

xy2

f(x,y)dxdy

2dx2x1dy1111130.75

1

0

2

22

44

七、已知多名實習生相互獨立地測量同一塊土地的面積，設每名實習生得到的

測量數(shù)據(jù)X平方米服從正態(tài)分布N(,2)，從這些測量數(shù)據(jù)中隨機抽取7個，

經計算，其平均面積為125平方米，標準差為2.71平方米，

（1）求：的置信度為90%的置信區(qū)間；

（2）檢驗這塊土地的面積顯著為124平方米是否成立（顯著性水平為0.1）.

（注：

0.11.29,0.051.65

t0.1(7)1.415,t0.1(6)1.440,t0.05(7)1.895,t0.05(6)1.943

）

背公式的題來了哦，看看方差給了沒有？沒有，是吧，所以你該知道用哪個公式了哦

解：1）的置信度為1下的置信區(qū)間為

（

(Xt/2(n1)S,Xt/2(n1)S)

其中，X表示樣本均值，S表示樣本標

n

n

準差，n表示樣本容量，又X125,S2.71,n7,0.1,t0.05(6)1.943

所以的置信度為90%的置信區(qū)間為（123，127）

（2）本問題是在0.10下檢驗假設H0:124,H1:124,

由于正態(tài)總體的方差2未知，所以選擇統(tǒng)計量T

X0

，

S/n

由題意知，在H0成立的條件下，此問題的拒絕域為

-5-

|T|1251240.976t(n1)

2.71/7

2

這里顯然0.9761.943t0.05(71)，說明沒有落在拒絕域中，從而接受零假設H0，即在

顯著性水平0.10下，可認為這塊土地的平均面積顯著為124平方米。

八、

某糧食加工廠用4種不同的方法貯藏糧食，一段時間后，分別抽樣化驗其含

水率，每種方法重復試驗次數(shù)均為5次，所得糧食含水率的方差分析表的部

分數(shù)據(jù)如下，試完成方差分析表并給出分析結果。

方差來源

組間（貯藏方法）

組內（誤差）

平方和

4.8106

4.5263

自由度

F值

F臨界值

總和

(參考臨界值：F0.05(4,19)5.01，F(xiàn)0.01(4,16)4.77，F(xiàn)0.01(3,16)5.29)

又是一道記公示的題哦，記清楚每一個細節(jié)哦，你看看臨界值給了這么多呢，到底是哪一個

呢？

方差分析表

方差來源

平方和

SSA=4.8106

SSe=4.5263

自由度

均方和

1.6038

0.2829

F值

5.6681

F臨界值

5.29

因素A

誤差

總和

3

16

19

9.3369

方差總和9.3369，