2022-2023學(xué)年吉林省四平市伊通實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)命題：曲線在點(diǎn)處的切線方程是：；命題:是任意實數(shù)，若，則，則（

）

A.“或”為真

B.“且”為真

C.假真

D.，均為假命題參考答案：A，所以切線斜率為，切線方程為，即，所以為真。當(dāng)時，，此時，所以命題為假。所以“或”為真，選A.2.設(shè)函數(shù)f（x）=在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個實數(shù)x，則f（x）的值不小于常數(shù)e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以長度為測度，即可求出概率．【解答】解：由題意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常數(shù)e，∴1≤x≤e，∴所求概率為=1﹣，故選B．【點(diǎn)評】本題考查概率的計算，考查分段函數(shù)，確定以長度為測度是關(guān)鍵．3.函數(shù)的圖像是

（

）參考答案：B4.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且，則該球的體積為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：B略6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于()．A．1

B.

C．2

D．3參考答案：C7.下列條約中，對英國打擊最大，對美國最為有利的是（

）

A.四國條約

B．五國海軍條約

C.九國條約

D.凡爾賽和約參考答案：

B8.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格小正方形邊長為1，則該幾何體的體積是（）A．4 B． C． D．12參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】畫出圖形，說明幾何體的形狀，然后利用三視圖的數(shù)據(jù)求解即可．【解答】解：由三視圖可知幾何體的圖形如圖．是三棱柱截去兩個四棱錐的幾何體，原三棱柱的高為：4，底面是等腰直角三角形，直角邊長為2．截去的四棱錐如圖：幾何體的體積為：﹣=．故選：B．9.已知方程﹣=1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣1，∞） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用方程表示雙曲線，列出不等式求解即可．【解答】解：方程﹣=1表示雙曲線，可得（2+m）（m+1）＞0，解得m∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．故選：C．10.在中，，則是A.等邊三角形

B.等腰非等邊的銳角三角形C.非等腰的直角三角形

D.等腰直角三角形參考答案：D由得,因為，所以必有且，所以且,所以,即是等腰直角三角形，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域為______.參考答案：[－1,2]【分析】利用降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】由，當(dāng)時，，則，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查降次公式、輔助角公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)求值域的方法，屬于基礎(chǔ)題.12.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一個頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為

參考答案：13.某汽車運(yùn)輸公司，購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析每輛客車運(yùn)營前年的總利潤（單位：萬元）與之間的關(guān)系為.當(dāng)每輛客車運(yùn)營的年平均利潤最大時，的值為

.參考答案：14.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于__________.參考答案：【知識點(diǎn)】雙曲線【試題解析】雙曲線的一個頂點(diǎn)為（0，2），一條漸近線為：y=2x．

所以頂點(diǎn)到其漸近線的距離為：。

故答案為：15.已知函數(shù)，則函數(shù)的值為____________.參考答案：16.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤，問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”若將題中“5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”改成假設(shè)這個原來持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)，則第8關(guān)需收稅金為x．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金．【解答】解：第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金：x，即x．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，如果f（x）同時滿足下列條件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x0﹣?，x0）單調(diào)遞增，在區(qū)問（x0，x0+?）單調(diào)遞減．則稱x0為f（x）的“上趨拐點(diǎn)”；如果f（x））同時滿足下列條件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x0﹣?，x0）單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，x0+?）單調(diào)遞增．則稱x0為f（x）的“下趨拐點(diǎn)”．給出以下命題，其中正確的是

（只寫出正確結(jié)論的序號）①0為f（x）=x3的“下趨拐點(diǎn)”；②f（x）=x2+ex在定義域內(nèi)存在“上趨拐點(diǎn)”；③f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趨拐點(diǎn)”，則a的取值范圍為（，+∞）；④f（x）=eaxx2（a≠0），x0是f（x）的“下趨拐點(diǎn)”，則x0＞1的必要條件是0＜a＜1．參考答案：①③④考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計算題；閱讀型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡易邏輯．分析：①求導(dǎo)f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判斷單調(diào)性從而可得0為f（x）=x3的“下趨拐點(diǎn)”；②求導(dǎo)f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函數(shù)，故f（x）=x2+ex在定義域內(nèi)不存在“上趨拐點(diǎn)”；③求導(dǎo)f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a，可判斷f″（x）=ex﹣2a在定義域上是增函數(shù)，從而問題轉(zhuǎn)化為f″（1）=e﹣2a＜0，從而解得；④求導(dǎo)f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；從而可得a?﹣1=0，即x0=；從而可得＞1，從而解得．解答： 解：①f（x）=x3，f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得，x=0；取?=1，則易知f′（x）=3x2在區(qū)間（﹣1，0）單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增．故0為f（x）=x3的“下趨拐點(diǎn)”，故①正確；②f（x）=x2+ex，f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函數(shù)，故f（x）=x2+ex在定義域內(nèi)不存在“上趨拐點(diǎn)”，故②是假命題；③f（x）=ex﹣ax2，f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a；易知f″（x）=ex﹣2a在定義域上是增函數(shù)，故f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趨拐點(diǎn)”可化為f″（1）=e﹣2a＜0，解得，a＞；故③正確；④f（x）=eaxx2，f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；∵x0是f（x）的“下趨拐點(diǎn)”，∴a?﹣1=0，∴x0=；∴＞1，∴0＜a＜1；故④正確；故答案為：①③④．點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生對新定義的理解與掌握，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題14分）已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點(diǎn).

（1）求該橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為，問拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.參考答案：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，…2分

∴

①

…3分又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，

∴

得上交點(diǎn)為，∴

②…4分由①代入②得，解得或（舍去），從而

…6分∴

該橢圓的方程為

…7分（2）∵傾斜角為的直線過點(diǎn)，∴直線的方程為，即，…8分由（1）知橢圓的另一個焦點(diǎn)為，設(shè)與關(guān)于直線對稱，…9分

則得

…10分解得，即

…11分又滿足，故點(diǎn)在拋物線上。

…13分所以拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱?！?4分略19.已知等差數(shù)列{an}，滿足a2=2，a4=4．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得，∴an=a1+（n﹣1）d=n，故an=n．（2），故==．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，已知a=,.(Ⅰ)若b=，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2,求邊b的長。參考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）4解析：（I）由正弦定理，得，解得..………2分由于為三角形內(nèi)角，，則，

………………4分所以，

...………5分（II）依題意，，即，整理得.…………7分又，所以.

………10分另解：由于,所以，解得,

……………7分由于，所以，

....………8分由，所以.由勾股定理，解得.

.………10分.

略21.（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）當(dāng)a=0時，，若f'（x）≥0，則x＜2，若f'（x）＜0，則x＞2．所以當(dāng)x=2時，函數(shù)取得即極大值即最大值f（2）=，因為f（1）=0，f（3）=＞0，所以最小組為0．（2）求導(dǎo)，得，令f'（x）=0，則（ax+1）（2﹣x）=0，當(dāng)a≠0時，方程二根為和2．因為，所以，由f'（x）＜0得，x或x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由f'（x）＞0，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增．（3）由f（x）+3≥0得ax2≥1﹣x﹣3ex，當(dāng)x=0時，f（x）+3≥0恒成立．當(dāng)x≠0時，若f（x）+3≥0恒成立，即恒成立，令，只需求其最大值即可．由，得x=2或x=﹣ln3．當(dāng)﹣ln3＜x＜0或0＜x＜2時，g'（x）＞0，當(dāng)x＜﹣ln3或x＞2時，g'（x）