第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)也是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具,我們將看到,一個(gè)函數(shù)的解析性與一個(gè)函數(shù)可否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題是等價(jià)的.這從另一個(gè)側(cè)面提示了解析函數(shù)的本質(zhì).以此出發(fā),我們又可以加深對(duì)解析函數(shù)的認(rèn)識(shí).

實(shí)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)是在高數(shù)里面學(xué)習(xí)的,我們已經(jīng)掌握了實(shí)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)的斂散性,冪級(jí)數(shù)收斂判據(jù)等知識(shí).冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)非常有用,比如常微分方程的解可以用冪級(jí)數(shù)的形式表示出來(lái).這章我們來(lái)研究復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的相關(guān)問(wèn)題.

基本要求：

理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)概念；了解冪級(jí)數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計(jì)算方法；會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)；了解解析延拓的含義*；會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單的函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)；熟悉孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型，了解極點(diǎn)的階；3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.定義:

每項(xiàng)均為復(fù)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中,2.部分和:

前n項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和3.級(jí)數(shù)收斂的定義和條件(必要條件和充要條件)a.定義:

有確定的極限

，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂,如果當(dāng)部分和有確定的極限

即級(jí)數(shù)和則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散稱(chēng)為級(jí)數(shù)和，反之，如果極限不存在，證明:b.收斂的必要條件：c.收斂的充要條件：任給，存在自然數(shù)，且當(dāng)，對(duì)任何自然數(shù)，如果有根據(jù)上式判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難.但是

根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法.即:級(jí)數(shù)收斂的充要條件是:級(jí)數(shù)的實(shí)部

和虛部都收斂例1.判斷級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)收斂斂散性進(jìn)一步檢驗(yàn)發(fā)散收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂收斂斂散性進(jìn)一步檢驗(yàn)發(fā)散4.絕對(duì)收斂的定義及判別方法A.定義B.判別法5.絕對(duì)收斂的性質(zhì)

1.絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù),可重新排序,不改變其絕對(duì)收斂性與和

2.兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相乘,所得級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂定理

4.1.8

注意：一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)并不一定絕對(duì)收斂，但絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂3)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂

a.定義

如果在區(qū)域B(或者曲線(xiàn)L)上所有的點(diǎn),

級(jí)數(shù)都收斂,則稱(chēng)為在區(qū)域B(或者L)上收斂2)部分和1.概念:1)定義稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其中為復(fù)數(shù)，為復(fù)變函數(shù)二.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在B上給定點(diǎn)z，則復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在B上給定無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)z，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)限多個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Bb.收斂的充要條件

對(duì)對(duì)于不同的點(diǎn),自然數(shù)可能不同B4)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂

a.定義

對(duì)于復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),如果在區(qū)域B(或者曲線(xiàn)L)上存在一個(gè)函數(shù),對(duì)于任意給定的,存在與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí),對(duì)一切的z點(diǎn),均滿(mǎn)足

則級(jí)數(shù)在區(qū)域B上(或者曲線(xiàn)L)一致收斂于,其中,稱(chēng)為和函數(shù)注意:一致收斂的概念是和一定的區(qū)域聯(lián)系在一起級(jí)數(shù)在B或L上一致收斂b.一致收斂的充要條件對(duì)于B上(或L)上的點(diǎn)z，，存在自然數(shù)已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂,在B1)一致收斂級(jí)數(shù)的判別方法M判別法2.級(jí)數(shù)一致收斂,均有在B（或L）上的所有點(diǎn)在B（或L）上絕對(duì)且一致收斂實(shí)質(zhì)：1.找一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)（收斂性比較容易判斷）2.將與比較則級(jí)數(shù)性質(zhì)1.連續(xù)性

若級(jí)數(shù)在區(qū)域B內(nèi)一致收斂于,且其各項(xiàng)均為B內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則和函數(shù)也在該區(qū)域B內(nèi)連續(xù)

性質(zhì)2.逐項(xiàng)可積性

若級(jí)數(shù)在曲線(xiàn)L上一致收斂于,則各項(xiàng)連續(xù),則級(jí)數(shù)可沿著該曲線(xiàn)L逐項(xiàng)積分2.一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)該級(jí)數(shù)叫作以z0為中心的冪級(jí)數(shù)其中ak,z0都是復(fù)常數(shù),z0為級(jí)數(shù)的中心由于發(fā)散的冪級(jí)數(shù)沒(méi)有多大用處,故先研究?jī)缂?jí)數(shù)的斂散性?xún)缂?jí)數(shù)的斂散性3.2冪級(jí)數(shù)常用的一種級(jí)數(shù)，實(shí)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)的推廣

冪級(jí)數(shù)的一般形式：一.阿貝爾定理若級(jí)數(shù)在某點(diǎn)z=b收斂,則它在z0以為圓心,以|b-z0|為半徑的圓內(nèi)絕對(duì)收斂,而且在任何一個(gè)較小的閉圓|z-z0|≤(<|b-z0|)上一致收斂而級(jí)數(shù)在|z-z0|≤(<|b-z0|)絕對(duì)且一致收斂證明:可知必定存

級(jí)數(shù)在b點(diǎn)收斂,則2.推論證明:用反證法設(shè)級(jí)數(shù)在圓外的某點(diǎn)收斂,則由阿貝爾定理可知,該級(jí)數(shù)必在圓內(nèi)收斂,級(jí)數(shù)必在收斂,與推論中的條件矛盾,故級(jí)數(shù)必在點(diǎn)發(fā)散有:綜合阿貝爾定理和推論，對(duì)于冪級(jí)數(shù)：結(jié)論：必然存在一個(gè)以展開(kāi)中心為圓心的園，在圓內(nèi)級(jí)數(shù)收斂，而在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散。這個(gè)圓稱(chēng)該冪級(jí)數(shù)的收斂圓，圓的半徑R稱(chēng)為收斂半徑若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)發(fā)散，則必在距離展開(kāi)中心更遠(yuǎn)的點(diǎn)發(fā)散-----冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域和發(fā)散區(qū)域不會(huì)交錯(cuò)出現(xiàn)若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)收斂，則必在距離展開(kāi)中心更近的點(diǎn)收斂當(dāng)當(dāng)絕對(duì)收斂是指收斂,后者為正項(xiàng)級(jí)數(shù),因此可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法和根式判別法確定R

絕對(duì)收斂發(fā)散時(shí),絕對(duì)收斂時(shí),發(fā)散1.比值判別法二求收斂圓半徑R的公式所以絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散絕對(duì)收斂（2）根式判別法注(1)收斂圓周上，對(duì)于不同的級(jí)數(shù)，其收斂性也不同

(2)R為有限值(包括零)、無(wú)窮大時(shí)，有R=0，冪級(jí)數(shù)在Z=收斂R=冪級(jí)數(shù)在z平面內(nèi)收斂∞，例1：求的收斂半徑解：級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂=例2.求冪級(jí)數(shù)的收斂圓,z為復(fù)變數(shù)解:把記作,則級(jí)數(shù)為,t面上的收斂半徑

則z面上的收斂半徑為=1本例為幾何級(jí)數(shù),公比為-z2,在|z|<1的條件下,該幾何級(jí)數(shù)的和是:

證明:取比收斂圓稍稍縮小的圓周CR1,為其上的任一點(diǎn),級(jí)數(shù)的和記作取CR1內(nèi)任一點(diǎn)z,用有界函數(shù)遍乘上式由于級(jí)數(shù)在CR1上一致收斂,由一致收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積分性質(zhì)得:(3.2.9)性質(zhì)1.三.冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)利用柯西公式,得:上式左邊對(duì)任意點(diǎn)z可求導(dǎo)=>級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析沿回路逐項(xiàng)積分并應(yīng)用柯西公式得:證明:性質(zhì)2.

可沿收斂圓內(nèi)任意曲線(xiàn)逐項(xiàng)積分在比收斂圓稍小的閉圓上一致收斂在收斂圓內(nèi)任意曲線(xiàn)L上一致收斂級(jí)數(shù)每一項(xiàng)為在L上的連續(xù)函數(shù)，則由一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)2，命題成立性質(zhì)3.對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后，級(jí)數(shù)收斂半徑不變P461.,2.,

3.(1),(3),(5)P52.(3),(8)作業(yè):一.泰勒定理:3.4泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)Z0圓周CR1積分(1)證明:4.展開(kāi)式的唯一性(2)對(duì)z求導(dǎo)級(jí)數(shù)收斂圓半徑,級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)收斂解:3.4解析延拓1.定義解析函數(shù)定義域的擴(kuò)大()(z=±i除外)2.方法:泰勒級(jí)數(shù)是一般方法

選取區(qū)域b的任一內(nèi)點(diǎn)z0,在z0的鄰域上把解析函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).如果該泰勒級(jí)數(shù)的收斂圓有一部分超出區(qū)域b之外,解析函數(shù)的定義域就擴(kuò)大一步.這樣一步又一步,定義域逐步擴(kuò)大.3.解析延拓具有唯一性3.5洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)：在收斂圓域內(nèi)展開(kāi)，例如：在的區(qū)域內(nèi)函數(shù)是解析的，能否展開(kāi)成級(jí)數(shù)？一.洛朗定理（羅朗系數(shù)）在環(huán)形區(qū)域內(nèi)單值解析，可在環(huán)內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：則說(shuō)明：1.羅朗級(jí)數(shù)中的積分表達(dá)式與泰勒級(jí)數(shù)的的積分表達(dá)式相同，但羅朗級(jí)數(shù)中2.羅朗級(jí)數(shù)中有正冪部分在內(nèi)收斂，負(fù)冪部分是級(jí)數(shù)的主要部分，在內(nèi)收斂解析區(qū)域是收斂區(qū)域?。。。。?.羅朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)式是唯一的4.展開(kāi)中心不一定是函數(shù)的奇點(diǎn)5.3.二、將解析函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的常用方法解：（z≠0）（z=0）解：注意：首先根據(jù)指定的環(huán)域確定展開(kāi)中心展開(kāi)域是收斂域

展開(kāi)中心z0=0點(diǎn)不是函數(shù)的奇點(diǎn)解：可得練習(xí)：思考：泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的區(qū)別(發(fā)到郵箱zhufr@)作業(yè)：P60(2)(5)(8)以為中心，展開(kāi)冪級(jí)數(shù)以為中心，展開(kāi)冪級(jí)數(shù)3.6孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)重點(diǎn)討論:單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)函數(shù)的奇點(diǎn)以及關(guān)于函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)的討論在很多問(wèn)題（留數(shù)理論及其應(yīng)用、線(xiàn)性常微分方程的解析理論）中有重要的意義一.孤立奇點(diǎn)與非孤立奇點(diǎn)1.孤立奇點(diǎn)的定義在不解析(或者沒(méi)有定義)，而在的無(wú)心鄰域內(nèi)解析，則為的孤立奇點(diǎn)（強(qiáng)調(diào)鄰域內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)）例：是的孤立奇點(diǎn)2.非孤立奇點(diǎn)的定義若函數(shù)在任意小的鄰域內(nèi)總有除以外的孤立奇點(diǎn)，則是的非孤立奇點(diǎn)例如：是函數(shù)的非孤立奇點(diǎn)A:函數(shù)無(wú)定義B:是函數(shù)的奇點(diǎn)，二.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)和性質(zhì)孤立奇點(diǎn)可分為：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)根據(jù)：對(duì)于正冪項(xiàng)到底含有多少項(xiàng)，那是無(wú)關(guān)緊要的(解析)，本質(zhì)區(qū)別在于負(fù)冪項(xiàng)的個(gè)數(shù)(沒(méi)有、有限項(xiàng)、無(wú)限項(xiàng))，故負(fù)冪項(xiàng)部分稱(chēng)為級(jí)數(shù)的主要部分，它決定函數(shù)在奇點(diǎn)的性質(zhì)。1.可去奇點(diǎn)