第二章應用光學——高斯光學本章是本課程的理論基礎也是本課程的重點。2第二章應用光學——高斯光學大多數(shù)光學系統(tǒng)都是由折、反射球面或平面組成的共軸球面光學系統(tǒng)折射球面系統(tǒng)具有普遍意義所以首先討論單個折射球面折射的光路計算問題，再過渡到整個光學系統(tǒng)3第二章應用光學——高斯光學1.基本概念子午面：通過物點和光軸的截面一條光線，可以用兩個量來確定位置：截距和孔徑角物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′物方孔徑角:U，像方孔徑角：U′L′-Lnn′hAODC-UU′II′rE入射光線出射光線42.符號規(guī)則：線段:方向——自左向右為正,由下向上為正起點——沿軸:以頂點O為原點，－L，r，L′角度：方向——順時針為正起始軸——光線與光軸的夾角：光軸轉(zhuǎn)向光線-U，U′，光線與法線的夾角：光線轉(zhuǎn)向法線I，I′光軸與法線的夾角：光軸轉(zhuǎn)向法線

L′-Lnn′hAODC-UU′II′rE反射情況：P26注：幾何圖形上所有值標注絕對值5或

（2-1）

在E點，由折射定律得（2-2）

由圖可知在給定單個折射球面的結(jié)構(gòu)參量n、n和r時，由已知入射光線坐標L和U，計算折射后出射光線的坐標L和U

在ΔAEC中，應用正弦定理有二單個折射球面的光路計算A′EL′-Lnn′hAODC-UU′II′r6所以（2-3）

同樣，在三角形A'EC中應用正弦定理有化簡后得像方截距（2-4）

（2-1）～（2-4）式就是計算光線光路的基本公式。給出一組L、U，可計算L′、U′7由公式可知，L′是U的函數(shù)。不同

U的光線經(jīng)折射后不能相交于一點，點－》斑

∴單個折射球面對軸上物點成像是不完善的，這種成像缺陷稱為像差，是以后將會討論到的球差。

8第二章應用光學——高斯光學1.近軸光：如果限制U角在一個很小的范圍內(nèi)，即從A點發(fā)出的光線都離光軸很近，這樣的光線稱為近軸光

光軸附近的一個小區(qū)域稱為近軸區(qū)。研究近軸區(qū)的物象關(guān)系的光學稱為近軸光學。在近軸幾何光學中，經(jīng)常用到以下近似公式（一級泰勒展開）

9

l′和u無關(guān)（i、i′、u′和u成線性關(guān)系）

很小，cos1，光程和無關(guān)在近軸區(qū)內(nèi)，對一給定l值，不論u為何值，l′均為定值。表明由物點發(fā)出的一束細光束經(jīng)折射后仍交于一點，其像是完善的像，又稱為高斯像。通過高斯像點且垂直于光軸的像面，稱為高斯像面。

2.近軸光路計算公式L′-Lnn′hAODC-UU′II′rE(2-11)10

（2-12）

（2-14）

（1-13）

一個公式的三種不同表示形式，便于不同場合的應用3.近軸光線經(jīng)折射球面計算的其他形式

11第二章應用光學——高斯光學垂軸放大率B′BC對于該球面來說也是光軸，稱為輔軸AB＝y(tǒng)，AB=-y

?ABC和?ABC相似El′-lnn′AOC-UU′rA′B得

1）

當求得一對共軛點的截距l(xiāng)

和l

后，可求得通過該共軛點的一對共軛面上的垂軸放大率。

僅和共軛面位置有關(guān)。根據(jù)確定物體的成像特性(即像的正倒，虛實，放大縮小）：>0y′和y同號，正像l′和l同號，球面同側(cè)，虛實相反<0y′和y異號，倒像l′和l異號，球面兩側(cè)，虛實相同當>1，為放大像；當|<1，為縮小像

2）

3）

球面反射鏡在折射面的公式中，只要使n=n，便可直接得到反射球面的相應公式。

1．球面反射鏡的物象位置公式將n=

n代入（2-13）式，可得AOA′-L′-L-r-U-U′i-i′C143．球面反射鏡的放大率公式將n=

n

代入下式可得152.軸向放大率指光軸上一對共軛點沿軸移動量之間的關(guān)系物點沿軸移動一微小量dl，相應的像移動dl由（1-20）式微分得到：討論：

①

恒為正，當物點沿軸向移動時，像點沿軸同向移動②一般，，即空間物體成像后要變形。如正方體③只有在dl很小時才適用16如果物點沿軸移動有限距離，如圖所示，此距離顯然可以用物點移動的始末兩點A1和A2的截距差l2－l1來表示，相應于像點移動的距離應為l2

l117對A1和A2點分別用（1-20）可得移項整理得即

其中1和2分別為物在A1和A2兩點的垂軸放大率3.角放大率共軛光線與光軸夾角u

和u的比值，稱為角放大率

4.三個放大率之間的關(guān)系5.拉亥不變量J在公式y(tǒng)y=nlnl中，利用公式=ll=uu，此式稱為拉格朗日－亥姆霍茲恒等式，簡稱拉亥公式。其表示為不變量形式，用J表示，簡稱拉亥不變量。J表征了這個光學系統(tǒng)的性能，即能以多高的物、多大孔徑角的光線入射成像。J值大，表明系統(tǒng)能對物體成像的范圍大，成像的孔徑角大，傳輸光能多。同時，孔徑角還與光學系統(tǒng)分辨微細結(jié)構(gòu)的能力有關(guān)。所以J大的系統(tǒng)具有高的性能。

三共軸球面系統(tǒng)§2.2球面光學成像系統(tǒng)

已知（1）各球面曲率半徑

r1,r2,……rk

（2）各表面頂點的間隔d1,d2,…..,dk-1（3）折射率n1,n2,……,nk+1討論經(jīng)共軸球面系統(tǒng)成像的幾個光路計算問題。211.由入射光線求出射光線

對一個面的操作+過渡

上面討論的單個折、反射球面的光路計算及成像特性，對構(gòu)成光學系統(tǒng)的每個球面都適用。只要找到相鄰兩個球面之間的光路關(guān)系（過渡公式），就可以解決整個光學系統(tǒng)的光路計算問題，并分析成像特性。22單面公式（1-33）

各面截距的過渡公式（1-34）

公式（1-33）和（1-34）對近軸光適用，對遠軸光也同樣適用23光線在折射面上入射高度h的過渡公式。利用（1-33）式的第二式和（1-34）式的對應項相乘（1-35）

（1-35）

2.共軸球面系統(tǒng)的拉亥公式（1-42）

拉亥不變量J不僅對一個折射面的兩個空間是不變量，而且對整個光學系統(tǒng)的每一個面的每一個空間都是不變量。J是光學系統(tǒng)的一個重要特征量。和單個折射球面的相同，J

值越大，光學系統(tǒng)就具有更高的功能。25第二章應用光學——高斯光學總的放大率為各折射球面放大率的乘積例如照相機的變焦鏡頭通常是由四部分組成：前固定組、變倍組、補償組和后固定組。變焦鏡頭的放大率就等于四部分放大率之積。三個放大率之間的關(guān)系與單個折射球面的完全一致261.理想光學系統(tǒng)定義球面系統(tǒng)只有在近軸區(qū)范圍時，才能夠成完善像（J）實際使用的光學儀器把光學系統(tǒng)在近軸區(qū)成完善像的理論認為推廣到任意大的空間，即任意寬的光束成完善像的光學系統(tǒng)稱理想光學系統(tǒng)第二章應用光學——高斯光學具有一定大小的物寬光束27第二章應用光學——高斯光學①點——>共軛點②直線——>共軛直線，平面——>共軛面③主光軸上任一點的共軛點仍在主光軸上。任何垂直于主光軸的平面，其共軛面仍與主光軸垂直。④對垂直于光軸的共軛平面，橫向放大率為常量只有垂直于光軸的平面才具有物像相似的性質(zhì)⑤一個共軸理想光學系統(tǒng)，如果已知兩對共軛面的位置和放大率，或者一對共軛面的位置和放大率，以及軸上的兩對共軛點的位置，則其他一切物點的像點都可以根據(jù)這些已知的共軛面和共軛點來表示28第二章應用光學——高斯光學理想光學系統(tǒng)是一種假設用作實際光學系統(tǒng)設計的初步計算，用它近似地表示實際光學系統(tǒng)所成像的位置和大小理想光學系統(tǒng)的像可作為衡量光學系統(tǒng)成像質(zhì)量的標準把理想光學系統(tǒng)計算公式計算出來的像，稱為實際光學系統(tǒng)的理想像，實際像與理想像的差別就是像差29第二章應用光學——高斯光學只要知道了兩對共軛面的位置和放大率，或者一對共軛面的位置和放大率以及軸上兩對共軛點的位置，則任意物點的像點就可以根據(jù)這些已知的共軛面和共軛點求得因此，該光學系統(tǒng)的成像性質(zhì)就可以用這些已知的共軛面和共軛點來表示，稱為共軸系統(tǒng)的基點和基面一般選擇特殊的面和共軛點作為基面和基點30F'及F'面的性質(zhì)平行于光軸入射的任一條光線，經(jīng)系統(tǒng)出射后必通過F'點斜平行光束，經(jīng)系統(tǒng)出射后，交于F'面上一點F及F面的性質(zhì)過F點入射的任一光線，經(jīng)系統(tǒng)后平行于光軸出射過F面上任一點發(fā)出的光線，經(jīng)系統(tǒng)后為一斜平行光束出射注意：F和F'彼此之間不共軛，F(xiàn)面和F'面之間不共軛第二章應用光學——高斯光學31物、像方主面是一對β=1的物像共軛面

主平面的性質(zhì)物空間任一條光線與物方主平面的交點為Q，則它的共軛出射光線和像方主平面交于Qˊ，且Q與Qˊ距光軸同側(cè)等高像方焦距物方焦距焦距f、f'的正負是以相應的主點為原點來確定的第二章應用光學——高斯光學HH′QQ′F′FE1EkG1GkOkO1hh32一個光學系統(tǒng)不管什么結(jié)構(gòu)，只要知道了一對主點和一對焦點的位置，其物像關(guān)系特性也就確定了，不同的光學系統(tǒng)，只表現(xiàn)為這些基點的相對位置不同而已。它們構(gòu)成了一個光學系統(tǒng)的基本模型?？偸怯靡粚χ髌矫婧蛢蓚€焦點的位置來代表一個光學系統(tǒng)單個折射球面球面鏡薄透鏡為什么討論基點與基面？33可供選擇的典型光線平行于光軸的光線過物方焦點的光線傾斜于光軸入射的平行光束自物方焦平面上一點共軛光線在主平面上的投射高度相等第二章應用光學——高斯光學341.軸外物點B或一垂軸線段AB的圖解法求像過B點作兩條入射光線：2.軸上點A發(fā)出的任意光線①認為是由無限遠軸外物點發(fā)出的傾斜光束平行光束中的一條②認為光線是由物方焦平面上的點B發(fā)出的平行于光軸過物方焦點第二章應用光學——高斯光學35第二章應用光學——高斯光學1.牛頓公式以F、F′為原點MM′362.高斯公式以H、H′為原點代入牛頓公式37第二章應用光學——高斯光學上節(jié)回顧38理想光學系統(tǒng)理想光學系統(tǒng)的基點與基面例：實際光學系統(tǒng)的基點位置和焦距的計算，P19長60mm,折射率為1.5的玻璃棒，在其兩端磨成曲率半徑為10mm的凸球面，試球其焦距及基點位置HH′QQ′F′FE1EkG1GkOkO1hh-lH’lHlF’-lF39第二章應用光學——高斯光學作圖法軸外點B或者垂軸線段軸上點A發(fā)出的任意光線HFH’F`BABF‘FHH‘例①H’在H前②③H‘FHF`A40HFBH`F`B`ABB`KK`HH`A`F`F41解析法1.牛頓公式422.高斯公式以H、H′為原點代入牛頓公式后面會看到和單折射球面公式的聯(lián)系？43第二章應用光學——高斯光學把x=-yfy

，

x=-yfy代入上式得

44近軸區(qū)若n‘=n,則f=-f’，如空氣中折射系統(tǒng)

若n'=-n,則f=f',如反射球面

若包括k個反射面

理想光學系統(tǒng)的拉赫公式與薄透鏡公式同45第二章應用光學——高斯光學光焦度等于像方光束會聚度與物方光束會聚度之差它表征光學系統(tǒng)偏折光線的能力。

單位：屈光度——以米為單位的焦距的倒數(shù)。

眼鏡的度數(shù)=屈光度數(shù)×100折合物距折合像距倒數(shù)，會聚度VV’(-)表示發(fā)散光束(+)表示會聚光束折合焦距倒數(shù)，光焦度(-)表起發(fā)散作用(+)表其會聚作用回憶單個折射球面時講述的光焦度46第二章應用光學——高斯光學f’>0f’<047第二章應用光學——高斯光學1.垂軸放大率Lateralmagnification2.Longitudinal----像與物沿軸移動量之比

β與l，l'有關(guān)。當l一定時，β與

y的大小無關(guān)

立體物像不再相似

483.Angular---像方與物方傾角的正切之比角放大率只和物體的位置有關(guān)，而與孔徑角無關(guān)在同一對共軛面上，任一對共軛光線與光軸的夾角正切之比恒為常數(shù)HH’h-uU’AA’-ll’49第二章應用光學——高斯光學

依然成立三種放大率都與共軛面的位置有關(guān)，故對于同一光學系統(tǒng)來說，物（像）面位置的不同，對應的放大率是不同的n’=n時，，對某一共軛面，只要給定任意一個放大率，其它兩個放大率便隨之確定50第二章應用光學——高斯光學1.定義系統(tǒng)光軸上角放大率為1的一對共軛點JJ′51第二章應用光學——高斯光學n’=nHH’JJ’－fFxJ=f’-xJ’=-fF’f’52①當處于同一種介質(zhì)中時，節(jié)點和主點重合重合的該點同時具有主點和節(jié)點性質(zhì)

置于空氣中的薄透鏡有一條特殊光線，它通過光心不發(fā)生偏折②過物方節(jié)點入射的光線，從像方節(jié)點平行射出HH’JJ’53第二章應用光學——高斯光學①作圖求像過節(jié)點J入射的光線，出射光線過J點，且與入射光線平行②利用節(jié)點性質(zhì)測量系統(tǒng)的主點位置①作圖求像過節(jié)點J入射的光線，出射光線過J點，P‘H‘J‘HJ光學系統(tǒng)繞J’左右擺動J’P‘不動像點不會左右移動測量方法：一邊擺動光學系統(tǒng)，同時連續(xù)改變轉(zhuǎn)軸位置，并觀察像點，當像點不動時，轉(zhuǎn)軸的位置便是像方節(jié)點的位置54③轉(zhuǎn)機攝影只能使小部分A1B1成像于底片上的A1'B1‘物鏡的轉(zhuǎn)軸與J’不重合物鏡轉(zhuǎn)動時A點的像將在A1‘上移動照片模糊攝影方法：物鏡繞J’轉(zhuǎn)動，可把整個對象AB成像在底片A‘B’上55第二章應用光學——高斯光學H’在H前③H‘FHF‘A一、理想光學系統(tǒng)的物象關(guān)系1.作圖法①平行于光軸的入射光線②過物方焦點的入射光線③傾斜于光軸入射的平行光束④自物方焦平面上一點發(fā)出的光線⑤共軛光線在主平面上的投射高度相等⑥過節(jié)點的共軛光線方向相同562.解析法3.兩焦距間的關(guān)系與拉赫公式57第二章應用光學——高斯光學1.垂軸放大率Lateralmagnification2.Longitudinal----像與物沿軸移動量之比

583.Angular---像方與物方傾角的正切之比HH’h-uU’AA’-ll’59第二章應用光學——高斯光學JJ′1.過物方節(jié)點入射的光線，從像方節(jié)點平行射出2.當處于同一種介質(zhì)中時，節(jié)點和主點重合60④測定焦距用左圖，可得到F’,但f’=?必須用軸外平行光

61焦距測定必須提供一定角度的平行光——平行光管在平行光管物鏡的焦平面上設置一刻有幾對已知間隔線條的分劃板，用以產(chǎn)生平行光束62第二章應用光學——高斯光學⑥無限遠的軸外像點對應的物高注意：當節(jié)點與主點不重合時不能直接使用公式

是否所有光學系統(tǒng)對無限遠物體成像時，都適用呢？單折射球面，節(jié)點在球心63第二章應用光學——高斯光學一雙光組組合問題：已知F1,F1',H1,H1',F2,F2',H2,H2'以及d(△)（△光學間隔）,求總光組的F,F',H,H'

解決：①圖解組合②找出分光組與等效總光組之間的關(guān)系③求出f,f‘,確定H,H’,F,F‘的位置合成光組的像方參量xF‘,xH’,lF‘,lH’以F2'

，H2'為起始點合成光組的物方參量xF,xH,lF,lH，以F1、H1為起始點

641.作圖平行光軸入射的光線，出射光線與光軸的交點就是F’平行光軸的入射光線和出射光線的交點Q’，一定位于象方主平面上2.求F、F′的位置65

3.求焦距664.求主點5.求組合放大率對于兩個光組組合的系統(tǒng)，其垂軸放大率亦可由物點對應于第一光組的物距x1

直接求得675.組合光焦度當兩個系統(tǒng)位于同一種介質(zhì)中時，兩個有一定焦距的系統(tǒng)組合，系統(tǒng)的總焦距或光焦度除與各自的光焦度有關(guān)外，還與間隔d及介質(zhì)n有關(guān)68第二章應用光學——高斯光學為求組合系統(tǒng)的焦距，可以追跡一條投射高度為h的平行光軸的光線關(guān)鍵是求出hk、

Uk′69正切計算法通常取tgu1=0，h1=f1(計算方便)70第二章應用光學——高斯光學71第二章應用光學——高斯光學折射球面的兩個主點H、H’和球面頂點重合H、H’共軛72第二章應用光學——高斯光學已知r1,r2,d,nn1=1,n1=n2=n,n2=173由光組組合公式可得透鏡的焦距設=r，2=r2把上式寫成光焦度的形式7475第二章應用光學——高斯光學76可看成正透鏡＋平行平板77H、H’位于透鏡之外7879實際應用中的透鏡其厚度都是比較小的。80三薄透鏡透鏡厚度為零的透鏡稱為薄透鏡，實際中d<<r或d<<f’81作業(yè)：9，10，12，1582第二章應用光學——高斯光學一平移矩陣TranslationMatrix

子午光線－與光軸同處一平面的光線對子午光線，光線的狀態(tài)可用它與參考平面交點的坐標，和該光線與光軸的夾角來完全確定0zyQRP1y-αn考慮介質(zhì)折射率情況設光線所在平面為yz平面，光軸為z軸，參考面為RP,則y和α就決定了光線在面RP中的位置、方向。83光線由一個參考面射向另一個參考面，在后一個參考面上的坐標發(fā)生變化，可用平移矩陣（過渡矩陣）來表示0zyMQnn’=nyy’-α定義：為平移矩陣，也可寫為：傳遞矩陣表示出了光線在同一介質(zhì)內(nèi)直線傳播時的關(guān)系RP1RP2d設光從M點傳到Q點-α‘84二折射矩陣(RefractionMatrix)nn′y=y’AODC-αU′II′r-α’85折射矩陣表征了光線在介質(zhì)界面上的傳輸情況折射矩陣86三系統(tǒng)矩陣Systemmatrix設A系統(tǒng)矩陣當已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（r,d,n）即可求得矩陣元，他們是光學系統(tǒng)的r,d,n的常數(shù)。用這四個量可以表示光學系統(tǒng)的高斯光學性質(zhì)（基點位置、焦距等），矩陣元即為系統(tǒng)的高斯常數(shù)光線在光學系統(tǒng)中的傳播=介質(zhì)內(nèi)的直線傳播+界面上的折射如光在一個透鏡的傳播情況87則對一光學系統(tǒng)而言，系統(tǒng)矩陣是所有折射矩陣和傳遞矩陣的連乘積，且按光線的變換次序，從右到左相乘。系統(tǒng)定，則系統(tǒng)矩陣A就定8889四物象矩陣Object-imageMatrixF′G1GkOkO1BA-ll’A’B’nn’α’-α物像矩陣y-y’90y’與α有關(guān)，但按理想成像的關(guān)系，y’應與α無關(guān)∴S21＝091物象大小，垂軸放大率可由[S]直觀知曉∵S21＝0，det[S]=1∴92五用高斯常數(shù)表示系統(tǒng)的基點位置和焦距1.主點HH′F′FOkO1--lH’llHllF’--lF-ff’932.焦點焦點的截距——焦點到球面頂