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課時學案自助餐031.2

集合間的基本關系任意一個元素(2)子集的性質(zhì)①A?A.②若A?B，B?C，則A?C，即子集具有傳遞性．③??A，即空集是任何集合的子集．要點2

集合相等(1)若A B，且B A，則A＝B.(2)證明A＝B，只要證A?B，且

B?A

．??要點3

真子集B，且xA，就稱集合A是集合B的(1)如果集合A?B，但存在元素x

∈真子集，記作A B(或B

A)．(2)性質(zhì)：若A

B，B C，則A

C.要點4

空集一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?.如{x∈R|x2－x＋1＝0}＝?，{x∈N|x＋2＝0}＝?.空集是

任何非空

集合的真子集，即?

A(A非空)．?答：不一樣．“?”表示集合間的關系；“≤”表示代數(shù)式間的關系．2．若A?B，則A的元素一定是B的元素的一部分，對嗎？答：不對．A的元素是B的一部分或是B的全部．3．集合A＝{x|x≤1}與集合B＝{1，0}之間有包含關系嗎？答：有．因為B中的元素1，0都滿足小于或等于1，故滿足包含關系，即B?A.4．(1)0＝?嗎？

(2)0∈?嗎？

(3)?與{0}是什么關系？答：(1)0≠?，0是數(shù)，?是集合．0??，?不含任何元素．?

{0}．課時學案題型一

子集與真子集的概念例1

填寫下表，并回答問題．原集合子集子集的個數(shù)?{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想，含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少？真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢？【答案】原集合子集子集的個數(shù)??

1

{a}?，{a}

2

{a，b}?，{a}，，{a，b}

4

{a，b，c}?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}

8

猜想：含n個元素的集合的子集共有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．探究1

熟練寫出給定集合的子集是學生必須掌握的基本功．思考題1

已知集合M滿足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，寫出集合M.【解析】集合M可為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．例2

判斷下列關系是否正確．(1){1，2}

{1，2，3}；

(2){1，2，3}?{1，2，4}；(3){a}?{a};

(4)?＝{0}；(5)?

{0};

(6)???.【解析】(1)集合{1，2}中的元素1，2都是集合{1，2，3}中的元素，而集合{1，2，3}中的元素3不是集合{1，2}中的元素，故{1，2} {1，2，3}正確．(2)∵3?{1，2，4}，∴{1，2，3}?{1，2，4}錯誤．任何一個集合是它本身的子集，因此{a}?{a}正確．?中沒有任何元素，而{0}中有一個元素，兩者不相等，故?＝{0}錯誤．空集是任何非空集合的真子集，因此?

{0}正確．空集是任何集合的子集，因此???正確．探究2

要注意區(qū)分“∈與?”“?與

”．“∈”表示元素與集合之間的從屬關系，而“?”表示集合之間的包含關系．“?”與“ ”均表示集合間的包含關系，但后者是前者“≠”情形時的包含情況．10}，給出下列關系：①a?M；思考題2

設a＝

2＋

3，M＝{x|x≤②M?{a}；③{a}∈M；④{?}∈{a}；⑤2a?M.其中正確的關系式有

②⑤

．【解析】

∵a2＝5＋2 6＝5＋

24<5＋5＝(

10)2，∴a＝

2＋3< 10.∴a是集合M中的一個元素．又∵2a>

10

，∴2a不是集合M中的元素．而元素與集合之間的關系應由“屬于或不屬于”來描述，∴①是錯誤的，⑤是正確的．再由{a}是以a為元素的集合，{?}表示的是以?為元素的集合，且集合與集合之間的關系由“包含或不包含”來描述，從而可以斷定③④錯誤，②正確．題型二

集合關系的判斷例3

指出下列各對集合之間的關系．(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．思考題3

判斷下列各組中集合之間的關系．(1)A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{0，1，2}；(2)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(3)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；21

1(4)A＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝

k，k∈Z}．(4)方法一(列舉法)：對于集合A，取k＝…，0，1，2，3，…，得1

3

5

7A＝{…，2，2，2，2，…}．對于集合B，取k＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B＝{…，0，1，1，3，2，5，…}．故A

B.2

2

2方法二(特征性質(zhì)法)：集合A，x＝2k＋12(k∈Z)，分子為奇數(shù)．2集合B，x＝k(k∈Z)，分子為整數(shù)．∴A

B.題型三

由集合的包含關系求參數(shù)范圍例4

已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是

1<m≤4

．探究4

由集合間的包含關系求參數(shù)范圍的方法：當集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論．當集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關系求解，應注意端點處是實心點還是空心圓．注意：①不能忽略集合為?的情形．②當集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論．思考題4

(1)本例若將集合“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改為“B＝{x|1<x<m}”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍又是什么？(2)本例若將集合“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改為“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍又是什么？【解析】(1)若m≤1，則B＝?，滿足B?A.若m>1，則由例題解析可知1<m≤4.綜上可知m≤4.(2)因為B?A，①當B＝?時，m＋1≤2m－1，解得m≥2.－3≤2m－1，②當B≠?時，有m＋1≤4，2m－1<m＋1，解得－1≤m<2，綜上得m≥－1.例5

若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A.求由m的取值組成的集合．【解析】A＝{－3，2}，當m＝0時，B＝?，有B?A.m當m≠0時，方程mx＋1＝0的解為x＝－1

，又∵B?A，1

1

1

1∴－m＝－3或－m＝2，即m＝3或m＝－2.112故所求集合為0，3，－.【誤區(qū)警示】本題易漏掉m＝0這種情況，原因是忽略對空集的討論．探究5

(1)解決集合問題時，若遇到“B?A，B A(A為非空集合)”這些條件時，要首先考慮B＝?這種情況．(2)在解決有關分類討論的問題時，根據(jù)實際問題分類要恰當、合理，做到不重復、不遺漏，克服分類討論問題中的主觀性和盲目性．思考題5

在本例中，若B A，其他條件不變，求由m的取值組成的集合．【解析】A＝{－3，2}，而B中至多有一個元素，若BA，則必有B?A.故

11求解過程與例2相同，所求集合為0，3，－2.課后鞏固1．下列命題中正確的是(

D

)A．空集沒有子集

B．空集是任何一個集合的真子集

C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集

D．設集合B?A，那么，若x?A，則x?B2．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，則()A．P∈QC．Q?PB．P?QD．Q∈PC3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，則()A．B

A

B．A

BC．B<A

D．A<BA4．設2021∈{x，x2

，x2}，則滿足條件的所有x組成的集合的真子集的個B．4D．82

021，所以集合{－2

021，－2021}數(shù)為(

A

)A．3C．7解析

由題意得x＝－2

021或x＝－的真子集有22－1＝3(個)．{小說} {文學作品}解析

由Venn圖可得A

B，C

D{敘事散文} {散文}B，A與D之間無包含關系，A與C之間無包含關系．由“文學作品”“散文”“小說”“敘事散文”四個文學概念之間的關系，可得A為{小說}，B為{文學作品}，C為{敘事散文}，D為{散文}．6．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在實數(shù)x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B；若不存在，說明理由．解析

∵B?A，∴當x＋2＝3，即x＝1時，A＝{1，3，1}，不滿足集合元素的互異性．當x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1時，若x＝2，則A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，滿足B?A.若x＝－1，則A＝{1，3，1}，不滿足集合元素的互異性．綜上，存在x＝2使得B?A.此時，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}．自助餐集合相等例

(1