山西省太原市第六十二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若銳角滿(mǎn)足，則的值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.(

)A.i B.－i C.0 D.1參考答案：B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即得解.【詳解】化簡(jiǎn)：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若角的終邊在直線(xiàn)上，且，則和的值分別為A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．C2【答案解析】D

解析：∵角α的終邊在直線(xiàn)y=﹣2x上，且sinα＞0，∴α為第二象限角，則tanα=﹣2，cosα=﹣=﹣．故選：D．【思路點(diǎn)撥】由角α的終邊在直線(xiàn)y=﹣2x上，且sinα＞0，得到α為第二象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα和tana的值即可．4.若函數(shù)，則的最大值為（）A．1

B．2

C．D．參考答案：C5.已知向量、滿(mǎn)足，且，，則向量、的關(guān)系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角參考答案：C【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，即，得，，.因此，向量、方向相反.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩向量位置關(guān)系的判斷，根據(jù)向量的數(shù)量積求出兩向量的夾角是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.在△ABC中，，．若點(diǎn)D滿(mǎn)足，則=(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．分析：把向量用一組向量來(lái)表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點(diǎn)，把整個(gè)過(guò)程寫(xiě)下來(lái)，即為所求．本題也可以根據(jù)D點(diǎn)把BC分成一比二的兩部分入手．解答： 解：∵由，∴，∴．故選A點(diǎn)評(píng)：用一組向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的7.cos（﹣φ）=，且|φ|＜，則tanφ為（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：C【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．8.若點(diǎn)（a，4）在函數(shù)y=2x的圖象上，則tan的值為(

)A．0 B． C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意得2a=4，解得a=2，由此能求出．【解答】解：由題意得2a=4，解得a=2，∴=tan=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為=

(

)A．18

B．20

C．21

D．22參考答案：B10.如圖，已知橢圓C1：+y2=1，曲線(xiàn)C2：y=x2﹣1與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C2相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB分別與C1相交于D，E兩點(diǎn)，則的值是（）A．正數(shù) B．0 C．負(fù)數(shù) D．皆有可能參考答案：B【分析】由題意設(shè)出A，B的坐標(biāo)，再設(shè)出過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再結(jié)合，得答案．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=tx，聯(lián)立，得x2﹣tx﹣1=0．則x1+x2=t，x1x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．而，，∴=．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到曲線(xiàn)ρcos＝2上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)______參考答案：212.某單位安排5個(gè)人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有

種不同值班方案.（用數(shù)字作答）參考答案：1800

13.對(duì)于二次函數(shù)，有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則.其中一定正確的命題是______________.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）參考答案：②③14.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系中，的方程為，則與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____________.參考答案：115.已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐P﹣ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高PD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問(wèn)題．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形設(shè)球心為O，球的半徑r．過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是邊長(zhǎng)為4正三角形，∴S△ABC==4∴V三棱錐P﹣ABC=×4×2=，∴r2=．則球O的表面積為4πr2=．故答案為．16.已知

.參考答案：

17.已知，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_______________．參考答案：3

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分15分）已知拋物線(xiàn)().拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2(1)求拋物線(xiàn)的方程和的值；(2)如圖，是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)交軸于兩點(diǎn)，若的面積為,求點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)定義易得拋物線(xiàn)方程為…5分(2)設(shè)點(diǎn),當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在,,設(shè)切線(xiàn),圓心到切線(xiàn)距離為半徑1,不符合題意同理當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在,,當(dāng)切線(xiàn),斜率都存在.即,設(shè)切線(xiàn)方程為：圓心到切線(xiàn)距離為半徑1,即,兩邊平方整理得:韋達(dá)定理得:則切線(xiàn),切線(xiàn),得……15分19.已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)C在第二象限，的夾角為=2．（I）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（II）當(dāng)m為何值時(shí)，垂直．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；平面向量及應(yīng)用．【分析】（I）設(shè)C（x，y），D（m，n）．=（x+1，y﹣2），利用向量夾角公式可得（x+1）2+（y﹣2）2=1．①又=2（x+1）+2（y﹣2）=2，聯(lián)立解出C坐標(biāo)．又，可得（m+1，n﹣3）=（﹣2，2），解得m，n．（II）由（I）可知：=（0，1），由于垂直．可得（=0，解出即可．【解答】解：（I）設(shè)C（x，y），D（m，n）．=（x+1，y﹣2），∵與的夾角為=2．∴==，化為（x+1）2+（y﹣2）2=1．①又=2（x+1）+2（y﹣2）=2，化為x+y=2．②聯(lián)立①②解得或．又點(diǎn)C在第二象限，∴C（﹣1，3）．又，∴（m+1，n﹣3）=（﹣2，2），解得m=﹣3，n=1．∴D（﹣3，1）．（II）由（I）可知：=（0，1），∴=（2m，2m+1），=﹣=（﹣2，﹣1）．∵垂直．∴（=﹣4m﹣（2m+1）=0，解得m=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析．試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線(xiàn)的斜率,再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（Ⅱ）由,通過(guò)討論確定的單調(diào)性,再由單調(diào)性確定極值.試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，即.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值也無(wú)極小值.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是；當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.21.（本小題滿(mǎn)分12分）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意∈D，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說(shuō)明理由；（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式對(duì)一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值．參考答案：解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)或時(shí)，恒成立，故是“平底型”函數(shù)．

…2分對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,所以不存在閉區(qū)間，使當(dāng)時(shí)，恒成立．故不是“平底型”函數(shù)．

…4分（Ⅱ）若對(duì)一切R恒成立，則．因?yàn)椋裕?，則．

因?yàn)?，則，解得．故實(shí)數(shù)的范圍是．

…7分（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．

…9分當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．此時(shí)，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)．