3.1.2

函數(shù)的表示法課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握函數(shù)的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.2.了解分段函數(shù)的概念,會(huì)用分段函數(shù)表示函數(shù)關(guān)系.3.理解函數(shù)圖象的作用,掌握函數(shù)圖象的作法.4.感悟數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,體會(huì)直觀想象在研究函數(shù)中的作用.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑規(guī)范解答隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、函數(shù)的表示方法【問(wèn)題思考】1.給出下列三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系:①x,y∈R,y=4x-1;②③它們分別是用什么形式表達(dá)兩個(gè)變量x,y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的?它們是否都是函數(shù)關(guān)系?提示:分別用解析法、列表法、圖象法表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,它們都是函數(shù)關(guān)系.2.填空:函數(shù)的三種表示方法:(1)解析法,就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)列表法,就是列出表格表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(3)圖象法,就是用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.函數(shù)三種表示方法的比較

二、分段函數(shù)【問(wèn)題思考】1.某商店銷售一種商品,當(dāng)銷售量x不超過(guò)20件時(shí),單價(jià)為100元;當(dāng)銷售量超過(guò)20件時(shí),超出部分按原件的90%計(jì)算,那么銷售收入y與銷售量x的函數(shù)關(guān)系應(yīng)怎么表達(dá)?提示:當(dāng)0≤x≤20時(shí),y=100x;當(dāng)x>20時(shí),y=100×20+(x-20)×90.2.填空:在函數(shù)定義域內(nèi),對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).A.①② B.①④ C.②④ D.③④答案:B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)任何函數(shù)都可用解析式表示.(×)(2)函數(shù)y=x2+1不能用列表法表示.(√)(3)函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線.(×)(4)分段函數(shù)是由幾個(gè)函數(shù)組合而成的.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

函數(shù)的表示方法【例1】

某商店新進(jìn)了10部手機(jī),每部售價(jià)3000元,試分別用列表法、圖象法、解析法表示售出部數(shù)x與銷售額y之間的函數(shù)關(guān)系.解:(1)列表法:如下表.(2)圖象法:如圖.

(3)解析法:y=3

000x,x∈{1,2,3,…,10}.反思感悟1.列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法,無(wú)論用哪種方式表示函數(shù),都必須滿足函數(shù)的概念.2.判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義.3.函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充,許多函數(shù)是可以用三種方法表示的,但在實(shí)際操作中,仍以解析法為主.【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:(1)求f(g(1)),g(f(3))的值;(2)求滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值.解:(1)f(g(1))=f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3.(2)當(dāng)x=1時(shí),f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不合題意;當(dāng)x=2時(shí),f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合題意;當(dāng)x=3時(shí),f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不合題意;綜上,x的值等于2.探究二

函數(shù)的圖象及其畫(huà)法解:(1)選擇容易計(jì)算的幾個(gè)數(shù)值,列表如下:根據(jù)表中數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線,得到函數(shù)圖象如圖所示.(2)圖象為一次函數(shù)y=1-x所對(duì)應(yīng)的直線上的一些離散的點(diǎn).(4)該函數(shù)為分段函數(shù),其圖象由兩部分組成,當(dāng)0≤x≤1時(shí),為拋物線y=x2上的一段;當(dāng)-1≤x<0時(shí),為直線y=x+1上的一段.反思感悟作函數(shù)圖象的常用方法:(1)描點(diǎn)作圖法:這是作函數(shù)圖象的基本方法,其步驟是列表、描點(diǎn)、連線.(2)基本函數(shù)法:對(duì)于我們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,可直接根據(jù)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)作出圖象.(3)分段函數(shù)分段法:對(duì)于分段函數(shù),應(yīng)分段作圖,將每一段區(qū)間上對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象作出,即得該分段函數(shù)的圖象.【變式訓(xùn)練2】

下列圖形中,能夠作為某個(gè)函數(shù)圖象的是(

)解析:由函數(shù)的定義可知,對(duì)于x的每一個(gè)值,都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng),亦即垂直于x軸的直線與函數(shù)圖象最多有一個(gè)交點(diǎn),因此只有D項(xiàng)符合.答案:D探究三

分段函數(shù)的求值問(wèn)題解:依題意有f(-7)=f(-7+2)=f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=2×1-3=-1.反思感悟求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法:(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間;(2)代入相應(yīng)段的解析式求值,直到求出值為止;(3)當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))形式的求值問(wèn)題時(shí),應(yīng)由內(nèi)到外依次求值.規(guī)范解答分段函數(shù)的解析式問(wèn)題【典例】

已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定義函數(shù)h(x):當(dāng)f(x)≥g(x)時(shí),h(x)=f(x)-2g(x);當(dāng)f(x)<g(x)時(shí),h(x)=2f(x)-g(x).(1)寫(xiě)出h(x)的解析式;(2)求h(h(g(-2)))的值.審題策略:(1)由給出的h(x)的定義,通過(guò)解不等式得出自變量的兩個(gè)不同取值區(qū)間,按照分段函數(shù)的形式寫(xiě)出解析式;(2)由內(nèi)向外逐步求值.規(guī)范展示:(1)當(dāng)f(x)≥g(x),即x2+1≥2x+4時(shí),解得x≤-1或x≥3,此時(shí)h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7;當(dāng)f(x)<g(x),即x2+1<2x+4時(shí),解得-1<x<3,此時(shí)h(x)=2f(x)-g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2.(2)因?yàn)間(-2)=2×(-2)+4=0,所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),而h(0)=2×02-2×0-2=-2,所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.答題模板:第1步:由f(x)≥g(x)求得x的取值范圍,并寫(xiě)出此時(shí)h(x)的解析式.?第2步:由f(x)<g(x)求得x的取值范圍,并寫(xiě)出此時(shí)h(x)的解析式.?第3步:根據(jù)分段函數(shù)的形式寫(xiě)出h(x)的解析式.?第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2))的值,最后求得h(h(g(-2)))的值.失誤展示造成失分的原因主要如下:(1)解錯(cuò)不等式,導(dǎo)致分段函數(shù)的分段范圍錯(cuò)誤;(2)計(jì)算化簡(jiǎn)錯(cuò)誤,導(dǎo)致h(x)的解析式錯(cuò)誤;(3)h(x)的結(jié)果不符合分段函數(shù)的要求;(4)計(jì)算出錯(cuò),導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】

我國(guó)是水資源相對(duì)匱乏的國(guó)家,為鼓勵(lì)節(jié)約用水,某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策措施,規(guī)定每季度每人用水量不超過(guò)5噸時(shí),每噸水費(fèi)收基本價(jià)1.3元,當(dāng)超過(guò)5噸而不超過(guò)6噸時(shí),超過(guò)部分的水費(fèi)加收200%,當(dāng)超過(guò)6噸而不超過(guò)7噸時(shí),超過(guò)部分的水費(fèi)加收400%.如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x≤7)噸,試計(jì)算,本季度他應(yīng)繳多少水費(fèi)?解:用y表示本季度應(yīng)繳水費(fèi)(單位:元).當(dāng)0<x≤5時(shí),y1=1.3x.當(dāng)5<x≤6時(shí),應(yīng)把x分成兩部分:5與(x-5)分別計(jì)算,第一部分收基本水費(fèi)1.3×5(元),第二部分由基本水費(fèi)與加價(jià)水費(fèi)組成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%),則y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.當(dāng)6<x≤7時(shí),同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6.隨

堂

練

習(xí)答案:B2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f(x)的定義域是(

)B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)解析:由題中圖象可知,函數(shù)自變量不能取x=0,故定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).答案:C解析:由分段函數(shù)的圖象知C項(xiàng)正確.答案:C