8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表1.分類變量如何利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)判斷一對(duì)分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢?對(duì)于這樣的統(tǒng)計(jì)問題，有時(shí)可以利用普查數(shù)據(jù)，通過比較相關(guān)的比率給出問題的準(zhǔn)確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點(diǎn)和方法.我們先看下面的具體問題.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問題.最直接的解答方法是，比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率.由已知數(shù)據(jù)，可得該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.上面的問題還可以通過建立一個(gè)古典概型，使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法.用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對(duì)分類變量X和Y如下:對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令下面我們利用已知數(shù)據(jù)分別來計(jì)算這兩個(gè)條件概率.若從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示.性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)192331523男生(X＝1)128473601合計(jì)3208041124∴在該校的學(xué)生中，性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.2.列聯(lián)表在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計(jì)A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d解：將所給數(shù)據(jù)整理成如下2×2列聯(lián)表.學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計(jì)711788學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計(jì)711788由等高堆積條形圖可知，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.由2×2列聯(lián)表可得，甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為作出等高堆積條形圖如圖示.甲校乙校1.00.80.60.40.00.2優(yōu)秀不優(yōu)秀思考你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的?事實(shí)上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒有差別的.這就是說，樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致了兩個(gè)頻率間出現(xiàn)較大差異.在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯(cuò)誤的.后面我們將討論犯這種錯(cuò)誤的概率大小問題.解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：成績(jī)上網(wǎng)合計(jì)經(jīng)常上網(wǎng)不經(jīng)常上網(wǎng)不及格80120200及格120680800合計(jì)2008001000由此可得得到等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)期末考試不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)期末考試及格的頻率，因此可以認(rèn)為經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)．課本127頁(yè)1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即老師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語嗎?解：例如水漲船高、登高望遠(yuǎn)等.課本127頁(yè)2.例1中的隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因?yàn)殡S機(jī)抽樣得到的樣本具有隨機(jī)性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的頻率也具有隨機(jī)性.在統(tǒng)計(jì)推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機(jī)性，這種推斷可能犯錯(cuò)誤.因此，隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率.課本127頁(yè)3.根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.那么(1)吸煙是否對(duì)每位煙民一定會(huì)引發(fā)健康問題?(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙.這種說法對(duì)嗎?解：(1)從已掌握的知識(shí)來看，吸煙會(huì)損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機(jī)因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果.吸煙導(dǎo)致患病的案例非常普遍，但也可以找到長(zhǎng)壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計(jì)意義上講，吸煙會(huì)損害健康，但不一定會(huì)對(duì)每位煙民都引起健康問題.(2)這種說法不正確.雖然吸煙不一定會(huì)對(duì)每個(gè)人都引起健康問題，但根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對(duì)的.課本127頁(yè)4.假設(shè)在本小節(jié)“問題”中，只是隨機(jī)抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計(jì)113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.課本127頁(yè)性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)51520男生(X＝1)61824合計(jì)113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響.(2)推斷可能犯錯(cuò)誤.因?yàn)闃颖臼峭ㄟ^隨機(jī)抽樣得到的，頻率具有隨機(jī)性，因此推斷可能犯錯(cuò)誤.小結(jié)：1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級(jí)可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等．2.列聯(lián)表將形