三角形全章復(fù)習(xí)（第一課時(shí)）

如圖1，在△ABC中，（1）若AB=5，AC=3，則BC

的取值范圍是

.解：由三角形的三邊關(guān)系可知：AB-AC<BC<AB+AC，即2<BC<8.2<BC<8圖1

如圖2，在△ABC中，（2）若BN⊥AC

，則線段BN是△ABC

的

.高線圖2三角形的高線：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線.銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn).

如圖3，在△ABC中，（2）若BD=DC，則線段AD是△ABC

的

.中線圖3三角形的中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.三角形的中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.

如圖4，在△ABC中，（3）若∠ACM=∠MCB，則線段CM是△ABC

的

.角平分線圖4三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).這三條線段為我們以后找直角、找線段相等找角相等提供了方法.圖4例

已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3，則三角形的周長(zhǎng)是

.解：若等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為3，若等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為5，所以三角形的周長(zhǎng)為11或13.11或13此時(shí)周長(zhǎng)為5×2+3=13

；滿足三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為3×2+5=11；（1）在求等腰三角形邊長(zhǎng)時(shí)，要注意使用分類討論思想分析和解決問(wèn)題，同時(shí)三邊關(guān)系是判斷三角形是否存在的關(guān)鍵，也不能忽略.（2）對(duì)于等腰三角形，由于有兩條邊相等，在驗(yàn)證是否滿足三邊關(guān)系時(shí)，只需要驗(yàn)證兩腰之和是否大于底邊即可.對(duì)于此題，如果兩邊長(zhǎng)分別為5和2，則當(dāng)腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為5時(shí)就不能構(gòu)成三角形，因?yàn)?+2<5，不滿足三邊關(guān)系.解后反思

如圖5，在△ABC中，BN⊥AC

，BD=DC，∠ACM=∠MCB，BN、CM相交于點(diǎn)F，若∠BAC=80°，

∠ACB=60°，則∠ABC=

，∠ACM=

，

∠BMC=

，

∠ABN=

.圖5三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，可以通過(guò)測(cè)量、裁剪、翻折、理論證明四種方法說(shuō)明.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.三角形的外角：三角形的一條邊的延長(zhǎng)線和另一條相鄰的邊組成的角.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖5，在△ABC中，BN⊥AC

，BD=DC，∠ACM=∠MCB，BN、CM相交于點(diǎn)F，若∠BAC=80°，

∠ACB=60°，則∠ABC=

，∠ACM=

，

∠BMC=

，

∠ABN=

.圖540°30°110°10°變式

由前面的結(jié)論可知，∠1=80°，

∠2=110°，

∠4=10°，

∠5=30°，如圖6所示，那么：（1）則∠6=

.（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)∠1，

∠4，

∠5，

∠6之間有什么關(guān)系嗎？你能說(shuō)明為什么嗎？圖6變式

由前面的結(jié)論可知，∠1=80°，

∠2=110°，

∠4=10°，

∠5=30°，如圖6所示，那么：（1）則∠6=

.（3）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)∠2+∠4與∠3+∠5有什么關(guān)系嗎？你能說(shuō)明為什么嗎？圖6變式

由前面的結(jié)論可知，∠1=80°，

∠2=110°，

∠4=10°，

∠5=30°，如圖6所示，那么：（1）則∠6=

.120°解：∵

∠6是△BMF的外角，∴∠6=∠2+∠4即∠6=110°+10°=120°.圖6變式

由前面的結(jié)論可知，∠1=80°，

∠2=110°，

∠4=10°，

∠5=30°，如圖6所示，那么：（2）發(fā)現(xiàn)∠6=∠1+

∠4+

∠5.（2）利用三角形外角的性質(zhì)可得：∠2=∠1+

∠5，所以∠6=∠1+

∠4+

∠5.圖6∠6=∠2+

∠4，變式

由前面的結(jié)論可知，∠1=80°，

∠2=110°，

∠4=10°，

∠5=30°，如圖6所示，那么：（3）發(fā)現(xiàn)∠2+∠4

=∠3+∠5.（3）通過(guò)圖形可知，∠6還是△CNF的外角，所以∠2+∠4

=∠3+∠5.圖6所以∠6=∠3+∠5.三角形中求角的度數(shù)問(wèn)題，要把角放在三角形中考慮，利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角解決.解后反思

如圖7，（1）△ABC三角形的內(nèi)角和為

，外角和為

；（2）四邊形ABDC的內(nèi)角和為

，外角和為

，對(duì)角線的條數(shù)為

；（3）五邊形ABEDC的內(nèi)角和為

，外角和為

；對(duì)角線的條數(shù)為

.圖7利用多邊形由一頂點(diǎn)引對(duì)角線，進(jìn)而對(duì)角線分多邊形為若干個(gè)三角形,利用三角形內(nèi)角和研究多邊形內(nèi)角和.

類比三角形外角和的研究方法，研究了多邊形的外角和，多邊形的外角和為360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān).如圖7，（1）△ABC三角形的內(nèi)角和為

，外角和為

；（2）四邊形ABDC的內(nèi)角和為

，外角和為

，對(duì)角線的條數(shù)為

；（3）五邊形ABEDC的內(nèi)角和為

，外角和為

；對(duì)角線的條數(shù)為

.180°360°360°360°360°540°2條5條圖7例

一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的內(nèi)角和為(n-2)·

180°,外角和為360°，根據(jù)題意可得：(n-2)·

180=3×360.解得：n=8.答：這個(gè)多邊形是八邊形.多邊形問(wèn)題有一些隱含的條件，比如多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，為(n-2)·

180°,

即為180°的整數(shù)倍，外角和為360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān)。每個(gè)內(nèi)角和外角都在0°到180°之間，多邊形的邊數(shù)是大于或等于3的正整數(shù)等.求多邊形的邊數(shù)，一般可通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程的方法解決.解后反思

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

本節(jié)課在回顧基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中，建立了本章的知識(shí)框架圖，進(jìn)一步理解了知識(shí)之間的聯(lián)系.在典型問(wèn)題的解決過(guò)程中，提高了識(shí)圖能力，體會(huì)了分類討論思想和方程思想的應(yīng)用.課堂小結(jié)

課后作業(yè)

1.小明用一條長(zhǎng)20cm的細(xì)繩圍成了一個(gè)等腰三角形，他想使這個(gè)三角形的一邊是另一邊的2倍，那么這個(gè)三角形的各邊分別是多少？2.在△ABC中，AB=AC

，DB為△ABC的中線，且DB將△ABC周長(zhǎng)分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長(zhǎng).

同學(xué)們，再見(jiàn)！例如圖8，△ABC中，BD平分∠ABC，∠1

=∠2，∠3

=∠C

，求∠1的度數(shù).備用圖8條件①：BD平分∠ABC；條件②：∠1

=∠2；條件③：∠3

=∠C

；條件④：三角形的內(nèi)角和為180°.分析：∠4=∠2∠4=∠2=∠1備用圖8條件②∠3是△ABD的外角∠3=2∠2條件①條件②∠ABC=2∠2條件③∠C=2∠2條件②條件⑤∠1條件①：BD平分∠ABC；條件②：∠1

=∠2；條件③：∠3

=∠C

；條件④：三角形的內(nèi)角和為180°.分析：例如圖8，△ABC中，BD平分∠ABC，∠1

=∠2，∠3

=∠C

，求∠1的度數(shù).備用解：設(shè)∠1=x°，則∠2

=∠1=x°.∵BD平分∠ABC，∴∠4=∠2

=x°，∠ABC=2∠2

=2x°.圖8∵∠C=∠3，∴∠C=∠3=2∠2

=2x°.

∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+∠2，即∠3=2∠2

=2x°.

圖8例如圖8，△ABC中，BD平分∠ABC，∠1

=∠2，∠3

=∠C

，求∠1的度數(shù).備用解得