第七章

偶然中蘊含必然的問題

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概率統(tǒng)計初步

廣州：陰轉(zhuǎn)小雨

偏北風4-5級

氣溫：12－19C

降水概率：30％什么含義？南京:12號夜間

由雨夾雪轉(zhuǎn)雪

13號白天

全天大雪

降雪概率90%

生活中的概率

而在不同的學科中有不同的稱呼，如產(chǎn)品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等.Probable意指可能；后綴-ility

意指程度(或大或小)；因此，probability可認為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率.概率與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展歷史

概率作為一門數(shù)學學科，誕生于17世紀中葉，它來源于對機會游戲和賭博的研究.1654年，德莫爾爵士向帕斯卡提出了有趣的賭博問題——“

合理分配賭注問題”

(即得分問題).帕斯卡與費馬在通信中討論了這些問題.

由此而引發(fā)的這一段的工作稱為古典概率時期，計算概率的工具主要是排列組合.

概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支學科.

此后，德國數(shù)學家棣莫弗由二項式公式推出了正態(tài)分布曲線，1812年拉普拉斯出版了《解析概率論》，以微積分為工具來研究概率，這一時期為分析概率階段.1933年前蘇聯(lián)數(shù)學家科爾莫戈羅夫出版了《概率論的基本概念》，給出了概率的公理化定義，從而使概率論體系進一步完善，使之納入到現(xiàn)代數(shù)學的范疇.

統(tǒng)計學的基本形成是從英國的皮爾遜和高爾登的描述統(tǒng)計學開始的.現(xiàn)代統(tǒng)計學的基礎(chǔ)是推斷統(tǒng)計學，它以英國戈塞特和費希爾發(fā)表的論文為起點.

統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的一種應用.但是它們是兩個并列的數(shù)學分支學科，并無從屬關(guān)系.概率與數(shù)理統(tǒng)計的應用

隨著信息化時代的到來，概率統(tǒng)計的理論和方法已廣泛應用于經(jīng)濟、管理、工程、技術(shù)、物理、化學、生物、環(huán)境、天文、地理、衛(wèi)生、教育、語言、國防等領(lǐng)域，特別是隨著計算機的普及，概率統(tǒng)計已成為處理信息、制定決策、實驗設(shè)計的重要理論和方法.第一節(jié)

主要內(nèi)容：一、隨機現(xiàn)象及其描述二、事件的關(guān)系及運算

研究偶然事件的基本元素

隨機事件一、隨機現(xiàn)象及其描述1、隨機現(xiàn)象的定義

在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象叫必然現(xiàn)象.

在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，這種現(xiàn)象叫隨機現(xiàn)象，或稱為偶然現(xiàn)象.每天早晨，太陽從東方升起；(2)小王最近分娩,是四胞胎；(3)公雞下蛋；(4)張先生買了50張彩票，中頭彩.例1

下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？必然會發(fā)生必然現(xiàn)象可能會發(fā)生隨機現(xiàn)象必然不會發(fā)生必然現(xiàn)象可能會發(fā)生隨機現(xiàn)象不可能事件?隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?不是.

在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.統(tǒng)計規(guī)律性例如：研究一對雙胞胎出生的可能性但經(jīng)過大量觀察，雙胞胎出生可能性為1.16%.

雙胞胎的出生是偶然的,

概率

平均每100個新生兒中，大概有1.16對雙胞胎.2、隨機試驗和隨機事件

為了研究隨機現(xiàn)象,就要對客觀現(xiàn)象進行觀察.觀察的過程稱為試驗.

如果一個試驗可以在相同的條件下可以重復進行，而且每次試驗的結(jié)果事前不可預言，則稱此試驗為隨機試驗，也簡稱為試驗，記為E.例2

隨機試驗舉例.1、擲一顆骰子，所擲的點數(shù)；

2、劉翔每次百米跨欄的成績紀錄；

3、任意抽取同型號手機一部,觀察電池使用壽命；

4、預測明天的天氣.可重復擲骰子，且每擲一次，點數(shù)都不可預言.

劉翔可重復跨欄，且每跨欄一次，所用時間都不可預言.

可重復抽取手機，且每抽取一部手機，電池使用壽命都不可預言.

不能重復預測，但預測的結(jié)果事先不可預言.

隨機試驗E的某些結(jié)果所構(gòu)成的集合稱為隨機事件,簡稱事件.隨機試驗E的某一可能結(jié)果稱為樣本點.用A,B,C,…表示如：對于擲骰子隨機試驗而言，擲得偶數(shù)點隨機事件用ω表示擲得奇數(shù)點=B樣本點ω,ω∈Ω.

Ωω如：拋擲一枚硬幣，有兩種結(jié)果.

拋硬幣隨機試驗的所有結(jié)果的集合.樣本空間用Ω表示Ω=

所有樣本點構(gòu)成的集合為E的樣本空間,或?qū)τ贓的必然事件.

如：對于任意抽取同型號手機一部,觀察電池使用壽命（小時）這一隨機試驗而言，有限樣本空間無限樣本空間事件：電池壽命大于3小時全體樣本點集合幾個特殊的事件:二、事件的關(guān)系及運算必然事件不可能事件太陽升起擲骰子，點數(shù)是7

一般的事件是由若干個樣本點構(gòu)成的，如，擲骰子，點數(shù)在3以上，A={ω4

，ω5，ω6}ωi為點數(shù)是i的樣本點.1、事件的包含

如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生,則稱事件B包含事件A或稱事件A含于事件B,

記作BA或AB，

如，擲骰子，點數(shù)是1，3，A={ω1

,

ω3}點數(shù)是奇數(shù)B={ω1,

ω3,

ω5}

,

ωi為點數(shù)是i的樣本點.ω1

,

ω32、事件的相等

如果事件AB且B

A,稱事件A與B相等.記為A=B.A與B的樣本點完全相同

如：對于擲骰子隨機試驗，用數(shù)字1，2，…，6來表示擲得的點數(shù).{擲得偶數(shù)點}3、事件的并

表示“兩個事件中至少有一個發(fā)生”的事件,稱為事件A與B的并.記作AB，簡單說就是“A或B發(fā)生”的事件是一個事件，它是屬于A或B的所有樣本點構(gòu)成的集合.

如，擲骰子，A={ω1

,

ω3

}，B={ω1

,ω2

,ω3

,ω5

}

,ωi為點數(shù)是i的樣本點，A∪

B={,,,}ω1ω1ω2ω3ω3ω5例1保險公司對于夫婦年齡的分布比較感興趣.用x代表妻子的年齡，y代表丈夫的年齡.事件A為“丈夫的年齡大于40歲”，B為“丈夫的年齡比妻子大”.試用集合表示A，B，A∪B.解ABA∪B丈夫的年齡比妻子大或丈夫年齡大于40歲推廣

表示“n個事件A1,A2,…,An中至少有一個發(fā)生”的一個事件,稱為事件的并,記作A1A2…An.

4、事件的交(或積)

表示“兩個事件A與B同時發(fā)生”,稱為事件A與B的交(或積),記作AB或AB.例如：從1,2,…,10這十個數(shù)中任取一個數(shù).A={取到3的倍數(shù)},B={取到2的倍數(shù)},

={取到6的倍數(shù)}

5、事件的差

表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件,稱為事件A與B的差.記作AB.

屬于A，但不屬于B的樣本點組成上例中：從1,2,…,10這十個數(shù)中任取一個數(shù).A={取到3的倍數(shù)},B={取到2的倍數(shù)},

={取到3的倍數(shù)，但非2的倍數(shù)}

39有限個事件6、互不相容事件

如果事件A與B不能同時發(fā)生,即AB=

，則稱A與B互不相容(或互斥).某事件的樣本點是兩兩互斥的.互斥事件沒有公共的樣本點任意多個事件如：預測新生兒的血型，A，B互不相容7、事件的逆

對于事件A，由所有不包含在A中的樣本點組成

的事件，稱為A的逆事件(或?qū)α⑹录?.記為若A，B互逆，則A，B一定互不相容；若A，B互不相容，但A，B未必互逆.如：拋擲一枚硬幣，有兩種結(jié)果.A，B互逆.8、事件的運算法則與集合的運算法則相同

上述運算性質(zhì)，可推廣到有限多個事件的情形：分配律對偶律對偶律例2考慮某教育局全體干部的集合，令A為女干部，B為已婚干部，C為具有碩士學歷的干部.解表示教育局里不具有碩士學歷的已婚女干部，男已婚非碩士表示教育局里不具有碩士學歷的干部，可以是男干部或者已婚干部.表示教育局里單身干部.分配律例2考慮某教育局全體干部的集合，令A為女干部，B為已婚干部，C為具有碩士學歷的干部.解“碩士學歷的單身女干部”“不是已婚碩士的干部”例3擲兩顆骰子.令A為點數(shù)的和是奇數(shù)的事件，B為至少出現(xiàn)一個幺點的事件，解表示兩顆骰子，一顆出現(xiàn)幺點，另一顆出現(xiàn)偶數(shù)點的事件.點數(shù)之和是奇數(shù)，或者至少出現(xiàn)一個幺點的事件.點數(shù)之和是奇數(shù)，且沒有一個出現(xiàn)幺點的事件.End

甲、乙兩人各出同樣的賭注，用擲硬幣作為博奕手段.每擲一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分.反之，乙得1分，甲不得分.誰先得到規(guī)定分數(shù)就贏得全部賭注.當進行到甲還差2分乙還差3分，就分