湖南省永州市塘家?guī)X鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，，若，則的最小值為A．

B．6

C．

D．參考答案：A2.有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．J1J2

解析：人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3．若是1，1，3，則有×=60種，若是1，2，2，則有×=90種所以共有150種不同的方法．故選：A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，分析可得人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3，分別計(jì)算兩種情況下的情況數(shù)目，相加可得答案．3.奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則A．-2

B．-1

C．0

D．1

參考答案：D4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.已知集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，則（?RA）∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】解不等式求出集合B，根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義寫出（?RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，則?RA={x|1＜x＜3}，所以（?RA）∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故選：C．6.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸的長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為

A．

B．

C．2

D．參考答案：D7.若點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足ln||=|x﹣1|，則點(diǎn)P的軌跡圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KE：曲線與方程．【分析】取特殊點(diǎn)代入進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：由題意，x=1時(shí)，y=1，故排除C，D；令x=2，則y=，排除A．故選B．8.數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，有(

)（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D9.設(shè)集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，則A∩B的元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解確定出A，找出A與B的交集，找出交集的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，則A∩B的元素的個(gè)數(shù)為5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．10.已知數(shù)列{an}滿足Sn=，則=

（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；②當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，．點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，．設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，．那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時(shí)與夾角為．∴②正確，①錯(cuò)誤．

12.已知向量與向量的夾角為120°，若且，則在上的投影為．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．

專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為120°，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求．解答： 解：因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為120°，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)?，故，所以在上的投影為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查在上的投影的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（4，0），Q（0，4），M，N分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以MN為直徑的圓C與直線PQ相切，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，在四邊形MPQN內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)落在圓C內(nèi)的概率為

▲

．參考答案： 14.已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，三棱柱的高為

.參考答案：如圖所示，設(shè)為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知，，，，，此時(shí)三棱柱的體積為，其中.令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)減.故當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，三棱柱的高為.15.在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，則_________。參考答案：16.已知＝有零點(diǎn)，則取值范圍為

參考答案：17.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，，則C的參數(shù)方程為

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖6，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，側(cè)棱⊥平面，、分別是、的中點(diǎn)．⑴求證：平面；⑵記，表示四棱錐的體積，求的表達(dá)式（不必討論的取值范圍）．參考答案：證明與求解：⑴取的中點(diǎn)，連接、，則，……2分，因?yàn)?，所以平面平面…?分，平面，所以平面……6分．⑵，⊥平面，所以⊥平面……8分，平面，……9分，，所以……10分，由⑴知……11分，所以……13分，……14分．略19.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若恒成立，求k的取值范圍；（3）對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（2m，22m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm．參考答案：解：（1）∵，∴，兩式相減得，整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1=2，n≥2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，又得a1=1，∴an=2n﹣1．（2）由題意得，∵，∴=…（8分）∴（3）對(duì)任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，則，而n∈N*，由題意可知，于是=，即．略20.某手機(jī)廠商在銷售200萬(wàn)臺(tái)某型號(hào)手機(jī)時(shí)開(kāi)展“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”活動(dòng)、活動(dòng)規(guī)則如下：用戶購(gòu)買該型號(hào)手機(jī)時(shí)可選購(gòu)“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”，保費(fèi)為x元，若在購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費(fèi)更換一次屏幕．該手機(jī)廠商將在這200萬(wàn)臺(tái)該型號(hào)手機(jī)全部銷售完畢一年后，在購(gòu)買碎屏險(xiǎn)且購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機(jī)抽取1000名，每名用戶贈(zèng)送1000元的紅包，為了合理確定保費(fèi)x的值，該手機(jī)廠商進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)后得到下表（其中y表示保費(fèi)為x元時(shí)愿意購(gòu)買該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”的用戶比例）；（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）通過(guò)大數(shù)據(jù)分析，在使用該型號(hào)手機(jī)的用戶中，購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為0.2%．已知更換一次該型號(hào)手機(jī)屏幕的費(fèi)用為2000元，若該手機(jī)廠商要求在這次活動(dòng)中因銷售該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”產(chǎn)生的利潤(rùn)不少于70萬(wàn)元，能否把保費(fèi)x定為5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，參考數(shù)據(jù)：表中的5個(gè)值從左到右分別記為，相應(yīng)的值分別記為，經(jīng)計(jì)算有，其中，．參考答案：（1）；（2）能【分析】（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)求得，進(jìn)而可得線性回歸方程；（2）求出保費(fèi)定為5元時(shí)，該手機(jī)廠商在這次活動(dòng)中，因銷售該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”產(chǎn)生的利潤(rùn)，與70萬(wàn)元比較，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由已知得，，，所以，，關(guān)于的回歸直線方程為；（2）能把保費(fèi)定為5元．理由如下：若保費(fèi)定為5元，則估計(jì)．估計(jì)該手機(jī)廠商在這次活動(dòng)中因銷售該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”產(chǎn)生的利潤(rùn)為元（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）.∴把保費(fèi)定為5元．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，熟記最小二乘法求即可，屬于?？碱}型.21.求證：對(duì)任意的有成立．參考答案：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)

＝∴當(dāng)時(shí)，不等式成立。由①②知對(duì)任意的,不等式成立．

略22.（本小題滿分12分）移動(dòng)公司在國(guó)慶期間推出4G套餐，對(duì)國(guó)慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元.國(guó)慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率.(1)求某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再?gòu)脑?人中隨機(jī)選出兩人，求這兩人獲得相等優(yōu)惠金額的概率.參考答案：【答案解析】(1)；(2)解析：（1）設(shè)事件=“某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，

……………1分則.

……………4分（2）設(shè)事件=“從這6人中選出兩人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，……………5分由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的1人，獲得優(yōu)惠500元的3人，獲得優(yōu)惠300元的2人，

……………6分分別記為，從中選出兩人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共1