第1頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)定積分及其計算

一.定積分的概念與性質二.微積分基本公式本節(jié)主要內容:三.定積分的積分法四.反常積分第2頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月一.積分的概念與性質(一)定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.第3頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積.觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.第4頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系.播幻燈片75放第5頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解決步驟:1)分割2)取近似

3)求和

4)取極限

第6頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解決步驟:1)分割

在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點

用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)取近似

在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得第7頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月3)求和

4)取極限

令則曲邊梯形面積第8頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月2.變速直線運動的路程

解決步驟:1)分割

2)取近似

3)求和

4)取極限

設某物體作直線運動,上連續(xù),的路程s.已知速度在求在運動時間內物體所經過第9頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解決步驟:1)分割

將它分成在每個小段上物體經2)近似

得n

個小段過的路程為2.變速直線運動的路程

設某物體作直線運動,上連續(xù),的路程s.已知速度在求在運動時間內物體所經過第10頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月3)求和

4)取極限第11頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限第12頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)定積分的概念定義5.1.1

設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,分割:任取分點把區(qū)間[a,b]分割成n個小區(qū)間[xi-1,xi],第i個小區(qū)間的長度為，記．近似:

在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點i

(i=1,2…n)求和：作和式第13頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月取極限：當0時,若極限存在(這個極限值與區(qū)間[a,b]的分法及點i

的取法無關)，則稱函數f(x)在[a,b]上可積,并稱這個極限為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作,即

第14頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和第15頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數是可積的;閉區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數也是可積的．2.定積分是一個確定的常數，它取決于被積函數f(x)和積分區(qū)間[a,b]，而與積分變量使用的字母的選取無關，即有3.在定積分的定義中,有a<b

,為了今后計算方便，我們規(guī)定:第16頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)定積分的幾何意義

:介于曲線f(x)

,x軸及兩條直線x=a,x=b之間的各部分面積的代數和設A為曲邊梯形面積,則各部分面積的代數和第17頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

利用定積分的幾何意義,證明令，顯然則由和直線x=-1,x=1,y=0所圍成的曲邊梯形是單位圓位于x軸上方的半圓.因為單位圓的面積，所以半圓的面積為/2

.第18頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月思考第19頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(四)定積分的性質

性質1

性質2此性質可推廣到有限多個函數之和的情況第20頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質3(積分區(qū)間的可加性):

對任意的點c，有不論a,b,c的相對位置如何,上式總成立.

性質4

如果被積函數f(x)=C(C為常數)，則特別地,當c=1時，有第21頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月性質5(積分的保序性):如果在區(qū)間[a,b]上,恒有f(x)g(x),則例2比較定積分與的大小.因為在區(qū)間[0,1]上,有x2x3由定積分保序性質得第22頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月性質6(積分估值定理)如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上有最大值

M和最小值m,則MM(ba)m

y=f(x)

f(x)dxm(ba)Ox

y

a

b第23頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月則

f(x)在[-1,1]上的最小值為m=1/e,最大值為M=1，由定積分的估值性質，例3估計定積分的值.設令得駐點

x=0，比較

x=0及區(qū)間端點

x=±1的函數值，有第24頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月性質7(積分中值定理)如果函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點x，使下式成立:第25頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月exit第26頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月性質8(對稱區(qū)間上奇偶函數的積分性質)設f(x)在對稱區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，①如果f(x)為奇函數，則;②如果f(x)為偶函數，則.第27頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例如

第28頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月exit第29頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月二.微積分基本公式在變速直線運動中,已知位置函數s(t)與速度函數之間有關系:考慮時間間隔實際問題變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為這種積分與原函數的關系在一定條件下具有普遍性.第30頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(一)積分上限函數

積分上限函數:函數f(x)在[a,b]上的定積分(1)積分上限函數的自變量是上限x,與積分變量無關.(2)第31頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.1.1

如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則變上限積分函數在[a,b]上可導，且它的導數是f(x),即第32頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月思考以下積分上限函數求導問題:第33頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例4計算例5計算例6計算第34頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例4計算例5計算例6計算第35頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：1.解決了原函數的存在性問題:[a,b]上的連續(xù)函數一定存在原函數,且(x)是f(x)的一個原函數這一基本結論.為尋找定積分的計算方法提供了理論依據,第36頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)

微積分基本公式(牛頓—萊布尼茲公式)定理5.1.2

設

f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)原函數,則在計算定積分時,我們只要先求出被積函數的一個原函數,再求這個原函數在積分上、下限的函數值之差即可.第37頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例11計算例7計算例8

計算例9計算例10設求

第38頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例7計算例8

計算第39頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例9計算第40頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例10設求第41頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例11計算第42頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月練一練第43頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月三.定積分的積分法(一)定積分的換元積分法

定理5.1.2

設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),并且滿足下列條件:(1)x=(t),其值域含于[a,b],且a=(),b=();(2)(t)在區(qū)間[,

]或[,

]上有連續(xù)的導數(t);則有第44頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：第45頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例12計算例13計算例14計算例15計算例16計算例17計算第46頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例12計算法一設t=cosx,則dt=-sinxdx法二第47頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例13計算例14計算設

,則x=t2-1,dx=2tdt第48頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例15計算第49頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例16計算第50頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例17計算原式第51頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例18設f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù),證明:(1)如果f(x)為奇函數,則;(2)如果f(x)為偶函數,則第52頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例19

設函數f(x)在[0,1]上連續(xù),證明:設第54頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例20求下列定積分:(1)第55頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例21求定積分:奇函數原式偶函數單位圓的面積第56頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月練一練第57頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)分部積分法定理5.1.4

設函數u=u(x)和v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導數,則有:第58頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例26求

例22求

例23求

例24求

例25求

第59頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例22求

第60頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例23求

第61頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例24求

令則第62頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例25求第63頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例26求

第64頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例27

證明第65頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解得In的遞推公式,,繼續(xù)使用遞推公式知道I1和I0,得第66頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例28求

例29求

第67頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月四.廣義積分(一)無窮區(qū)間上的廣義積分——無窮積分

定義5.1.2

設函數f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),取b>a，若極限存在,則稱此極限為函數f(x)在[a,+)上的廣義積分,記作，即此時也稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱發(fā)散.第68頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月類似可定義:只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.第69頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月引入記號則有類似N–L公式的計算表達式:第70頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例30求

例31

討論

的斂散性.例32

求例33

求第71頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例30求

第72頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例31

討論

的斂散性.第73頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例32

求第74頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例33

求第75頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)無界函數的廣義積分——瑕積分定義5.1.3

設函數

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)且.取A>a,如果極限

存在,則稱此極限為函數

f(x)在

(a,b]上的廣義積分,記作即此時也稱廣義積分收斂,否則就稱廣義積分

發(fā)散.A稱為瑕點

.第76頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月類似可定義:（1）x=b為f(x)的無窮間斷點時:（2）無窮間斷點x=c位于區(qū)間(a,b)內:第77頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月若瑕點的計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若b

為瑕點,則若a

為瑕點,則若a,b

都為瑕點,則則當上式右邊兩個廣義積分都收斂,稱廣義積分收斂.第78頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例34

求所以廣義積分發(fā)散.第79頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例35

討論