例如圖所示，AB和CD為兩均勻金屬棒，各長為1m，電阻為4歐，放在B＝2T垂直紙面向里的均勻磁場中，

AB和CD可以在導(dǎo)軌上自由滑動，當(dāng)兩棒在導(dǎo)軌上分別以V1＝4m/s，V2＝8m/s向右勻速運(yùn)動（忽略導(dǎo)軌電阻）求（1）二棒上的動生電動勢的大小及方向。（2）AB棒、CD棒兩端的電勢差各為多少？（3)二棒中點(diǎn)O1

和O2之間的電勢差。CABV1V2O1O2DB

fi

AD

fi

C=

v Bl

=

4VCD

2（1）

eeBA

=

v1Bl

=

8V=

0.5AI

=

eBA

-eDCRBA

+

RDCI方向?yàn)槟鏁r針。由含源電路的歐姆定律UAB

=

eBA

-

IRAB

=

6VUCD

=

eDC

+

IRCD

=

6V(2)由歐姆定律得：=

0(3)UO1O

2

=

UO1B

+U

DO

2

=

UO1B

-UO

2

D=

[(eBO1

-

IR

AB

/

2)

-(eDO

2

+

IRCD

/

2)]引起磁通量變化的原因穩(wěn)恒磁場中的導(dǎo)體運(yùn)動

,

或者回路面積變化、取向變化等 動生電動勢導(dǎo)體不動，磁場變化 感生電動勢電動勢+-kEI+-

Ek

dle

=e

=

l

E

k

d

l閉合電路的總電動勢Ek

:非靜電的電場強(qiáng)度.產(chǎn)生感生電動勢的非靜電場 感生電場麥克斯韋爾假設(shè)

變化的磁場在其周圍空間激發(fā)一種電場,這個電場叫感生電場

Ek

.閉合回路中的感生電動勢dΦ

ei

=

L

E

k

dl

=

-

dtsΦ

=

B

dss

d

dl

=

-

B

dsdtL

EksdB

dl

=

-

dt

dsei

=

L

E

k7.4、感生電動勢一、感生電動勢渦旋電場 渦電流渦旋電場dΦdl

=

- ?

0dtL

Ek感生電場是非保守場感生電場和靜電場的對比E靜和Ek

均對電荷有力的作用.LEdl

=

0靜靜電場是保守場靜電場由電荷產(chǎn)生；感生電場是由變化的磁場產(chǎn)生.二、 渦電流感應(yīng)電流不僅能在導(dǎo)電回路內(nèi)出現(xiàn)，而且當(dāng)大塊導(dǎo)體處在變化的磁場中時，在這塊導(dǎo)體中也會激起感應(yīng)電流.這種在大塊導(dǎo)體內(nèi)流動的感應(yīng)電流,叫做渦電流,簡稱渦流，此時的電場叫做渦旋電場。N2

線圈的總電阻是R，產(chǎn)生的電流為：N

2N1例1、用感應(yīng)電動勢測鐵磁質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度沖擊電流計(jì)的最大偏轉(zhuǎn)與通過它的電量成正比鐵磁樣品做的環(huán)S表示環(huán)的截面積dt

dt

dt2

2dF

=

N S

dB|

e

|=

dY

=

NdB\

i

=

e

=

N

2

SR

R

dt當(dāng)合上N1線圈的開關(guān)，電流增大，它在鐵環(huán)中的磁場增強(qiáng)，在N2線圈中有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生。N

SBR

dt

RN

S

dBoo22dt

=i dt

=q

=ttqRN

2

S\

B

=N1線圈電流增大到I所需時間為，則在同一時間內(nèi)通過N2回路的電量為:N

2N1用沖擊電流計(jì)測量q就可算出磁感應(yīng)強(qiáng)度。\

i

=e

N

S

dBR=

2

R

dt這是一種測量磁介質(zhì)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方法。例2、一半徑為R的長直螺線管，dB/dt>0，且為常數(shù)。在其內(nèi)放一導(dǎo)線ab，長為l.求：1）管內(nèi)外的渦旋電場；2）ab上的感應(yīng)電動勢；3）當(dāng)ab=bc=R時，ac上的感應(yīng)電動勢。ab·

·

·

·

·

·O·

·

·

·

·

··

·

·

·

·

·c解：（1）如圖，因dB/dt>0，所以渦旋電場的方向?yàn)槟鏁r針。dS=

-

dB

由

E

dldt在管內(nèi)取半徑為r的同心環(huán)路，管內(nèi)則有dt

2

dt\E

=

dB

E

=

r

dBpr

22pr管外則有R

dBdt2r

dtE

=

dBpR

2

\

E

=2pr方向沿逆時針。（2）如圖，選閉合回路oab

三角形，oaSoabdtdBdt=

-

dBab

E

dl

+

E

dl

+

E

dlbodS得

由

E

dldB2

dtSoab1

dBdt=

lh即：eab

==

E

dl

=

eab

=ab另解：babba

ar

dB

h

1

dBdx

=

lhr

2

dt=

2

dteab

=

E

dl

=

E

cosqdx

a·BOh

qEdx

bxcabcO·Bd12dt

4dBeac3

R

2

+

p

R

2

)=

dB

(=

(Soab

+

Sobd

)dt

=

E

dl

=

E

dla(3)同c

理R1R2例3、在均勻磁場的平面內(nèi)放入由兩種不同材料得半園環(huán)組成的半徑為r得金屬園環(huán)，圓心在O點(diǎn)，兩部分電阻分別為R1和R2，比較A、M的電勢高低。MAe兩個半園環(huán)的感生電動勢相等，即e1＝e2＝e

/

2環(huán)內(nèi)電流為逆時針方向dtR1

+

R2I

=e

=

pr

2

dB根據(jù)不均勻電路歐姆定律，對R1兩邊MApr

2

dB2(R1

+

R2

)

dt=e

R1

+

eR1

+

R2

2R2

-

R1U

-U

=

e1

-

IR1

=

-當(dāng)R2>R1時，UA－UB>0，在A處有正電荷累積，M處有負(fù)電荷。當(dāng)R2<R1時，UA－UB<0，A處有負(fù)電荷，B有正電荷，這是由于導(dǎo)線圓環(huán)電阻不均造成凈電荷的累積，此時，圓環(huán)內(nèi)既有感生電場，也有靜電場，若電阻均勻，只

有感應(yīng)電場，無靜電場。7.8

麥克斯韋方程組一、位移電流在穩(wěn)恒條件下，磁場滿足安培環(huán)路定理：在非穩(wěn)恒條件下，考察電容器充電或放電的過程，在此過程中導(dǎo)線內(nèi)的電流隨時間發(fā)生變化，是一個非穩(wěn)恒過程。如圖：以同一邊界曲線L所作的不同曲面

S1和S2上的傳導(dǎo)電流不同，上式所表示的安培環(huán)路定理不再適用。L

B

dl

=

m0

I

L

H

dl

=

I

電荷積累在電容器極板表面，將S1和S2合在一起看成是一個閉合面S，由高斯定理：穿過S1的電流I0沒有穿過S2，自由電荷就在S1、S2之間積累下來。由電流的連續(xù)原理(即電荷守恒定律)，所積累的自由電荷q0與I0的關(guān)系為:I0=dq0/dtSSF

D

=

D

dS

=

q0

在導(dǎo)體內(nèi)E=0，D=0，故通過S1的電位移通量為0：F

D

=

D dS

=

q0S2

即：穿過S1的傳導(dǎo)電流I0與穿過S2的電位移通量的時間變化率dΦD/dt相等，麥克斯韋把這個量叫做位移電流，用ID表示。而將傳導(dǎo)電流與位移電流之和

I0+ID稱為全電流，用Ir表示。這樣一來，在電容器極板表面中斷的傳導(dǎo)電流I0被位移電流ID=dΦD/dt接替下去，二者合在一起保持著電流的連續(xù)性。由此可以寫出非穩(wěn)恒情況下的廣義安培環(huán)路定理：由此可知：=0S2=

dF

D

d

dtdt

dt=

dq0I

D

dSSdL

H dL

=

I

r

=

I

0

+

I

D

=

I

0

+

dt

D

dS

廣義安培環(huán)路定理說明，位移電流激發(fā)的磁場可以直接看作是變化的電場所激發(fā)的，所以麥克斯韋位移電流假說的中心思想是：變化著的電場激發(fā)渦旋磁場。另外變化的磁場可以產(chǎn)生渦旋電場，因此麥克斯韋在理論上預(yù)言，交變的電場和磁場將相互激勵，以光速向外傳播，形成電磁波。7.9

麥克斯韋方程組麥克斯韋給出四個基本方程（即兩個高斯定理和兩個安培環(huán)路定理）全面地論述了電磁學(xué)的規(guī)律理論，稱為麥克斯韋方程組。此式中的電場強(qiáng)度既包括了靜電場的場強(qiáng)，也包含了渦旋電場的場強(qiáng)，但由于靜電場為保守力場，其環(huán)路積分等于零。1、電場的高斯定理：電場的高斯定理不僅適用S

于靜電場，也適用

D dS

=

q0于非靜電場。

2、電場的安培環(huán)路定理：SLdS

?t

E

dl

=

-

?B3、磁場的高斯定理：S

B dS

=

0

4、磁場的安培環(huán)路定理：Sd

L

H

dl

=

I0

+

dt

D

dS練習(xí)題(A)O(B)(D)(C)?

BO

?

BO?

BO?

B1、用導(dǎo)線圍成的回路(兩個以O(shè)點(diǎn)為心半徑不同的同心圓，在一處用導(dǎo)線沿半徑方向相連)，放在軸線通過O點(diǎn)的圓柱形均勻磁場中，回路平面垂直于柱軸，如圖所示．如磁場方向垂直圖面向里，其大小隨時間減小，則(A)→(D)各圖中哪個圖上正確表示了感應(yīng)電流的流向？答案：Baa’bb’l0?

BO2、在圓柱形空間內(nèi)有一磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場，如圖所示，B的大小以速率dB/dt變化．有一長度為l0的金屬棒先后放在磁場的兩個不同位置1(ab)和2(a＇b＇)，則金屬棒在這兩個位置時棒內(nèi)的感應(yīng)電動勢的大小關(guān)系為(A)

e2＝e1≠0．

(B)

e2>e1．(C)

e2<

e1．

(D)

e2＝e1＝0．答案：B3、反映電磁場基本性質(zhì)和規(guī)律的積分形式的麥克斯韋方程組為

D

d

S

=

r

dV（1）L

S?BSV

E

d

l

=

-

?t

d

S（2）

B

d

S

=

0

（3）

?D?t) d

S

H

d

l

=

(J

+L

SS（4）試判斷下列結(jié)論是包含于或等效于哪一個麥克斯韋方程式的．將你確定的方程式用代號填在相應(yīng)結(jié)論后的空白處．變化的磁場一定伴隨有電場；

2

磁感線是無頭無尾的；

3

電荷總伴隨有電場．

1

例3、一球形電容器,內(nèi)導(dǎo)體半徑為R1，外導(dǎo)體半徑為

R2．兩球間充有相對介電常數(shù)為er的介質(zhì).在電容器上加電壓，內(nèi)球?qū)ν馇虻碾妷簽閁=U0sinwt．假設(shè)w不太大，以致電容器電場分布與靜態(tài)場情形近似相同，求介質(zhì)中各處的位移電流密度，再計(jì)算通過半徑為r(R1

<r

<R2)的球面的總位移電流．解：由靜電學(xué)計(jì)算：r0

代表r方向單位矢量02rq(t)0

r4pe

e

rE

=(

1

-

1

)R1

R24pe0erR1

R24pe0er

R1

R2U

=

q(t)

(

1

-

1

)

=

q(t)(R2

-

R1

)0rUR1

R2r

2

(R

-

R

)2

1E

=0

0

1

2

R

Rr

2(R

-

R

)2

1=U

sin

w

t

r位移電流密度為?t?E?D?tJ

==

e

e0

r00

0

r

1

2

r

2

(R

-

R

)2

1=U

w

cosw

t

re

e

R

R過球面的總位移電流I

=

Jd

S

=

J

4pr

2U

w

cosw

t020

rR2

-

R14pe

e

R1

R=例4、一電荷為q的點(diǎn)電荷，以勻角速度w

作圓周運(yùn)動，圓周的半徑為R．設(shè)t

=0時q所在點(diǎn)的坐標(biāo)為x0

=R，y0

=0，求圓心處的位移電流密度。解：設(shè)坐標(biāo)如圖所示，f

=

wtt時刻點(diǎn)電荷q在圓心處產(chǎn)生的電位移為XYOqr0-

frwq4pRq4pRD

=

2

(-r0

)

=

-

2

(cosf

i

+sinf

j)q4pR

2D

=

-

(coswt

i

+

sinwt j