5.5.2簡單的三角恒等變換(二)【情境探究】問題1.利用和差角的正弦公式,如何化簡三角函數(shù)式sinα+cosα?必備知識(shí)生成提示:逆用兩角和與差的正弦、余弦公式,即或問題2.asinx+bcosx的化簡結(jié)果是什么?提示:asinx+bcosx=若令cosα=,sinα=,則原式可化為:asinx+bcosx=(cosαsinx+sinαcosx)=·sin(x+α).若令sinθ=,cosθ=,則原式可化為:asinx+bcosx=(sinθsinx+cosθcosx)=·cos(x-θ).【知識(shí)生成】sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].sinθ+sinφ=2sinsinθ-sinφ=2coscosθ+cosφ=2coscosθ-cosφ=-2sin3.結(jié)論:輔助角公式的兩種形式關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用【典例1】(1)求證:sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β).(2)計(jì)算:=________.

【思維導(dǎo)引】(1)利用兩角和與差的正弦公式,從右向左證明.(2)可以利用證明的公式計(jì)算,也可以利用和差化積公式或二倍角公式計(jì)算.【解析】(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.所以sin(α+β)sin(α-β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-cos2αsin2β=sin2α-sin2αsin2β-cos2αsin2β=sin2α-(sin2α+cos2α)sin2β=sin2α-sin2β.所以原式得證.(2)方法一:由公式sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)得

方法二:

方法三:答案:

【類題通法】兩角和與差的正弦、余弦公式的綜合應(yīng)用(1)由公式S(α±β),兩式相加減,可以推出積化和差公式,通過代換法,又可以得到和差化積公式.由公式S(α±β),兩式相乘,可以進(jìn)一步推出三角函數(shù)的平方差正弦公式:sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β).(2)由公式C(α±β),兩式相加減,可以推出積化和差公式,通過代換法,又可以得到和差化積公式.由公式C(α±β),兩式相乘,可以進(jìn)一步推出三角函數(shù)的平方差余弦公式:sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β).【定向訓(xùn)練】1.求證:cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β).【證明】因?yàn)閏os(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.所以cos(α+β)cos(α-β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β.=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β=cos2α-sin2β.2.計(jì)算:cos237.5°-sin27.5°.【解析】方法一:cos2°-sin2°°°°°)=cos45°cos30°=.方法二:cos2°-sin2°==(cos75°+cos15°)

=(cos45°cos30°-sin45°sin30°+cos45°cos30°+sin45°sin30°)=cos45°cos30°=.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

計(jì)算:tan20°-4sin200°.【解析】方法一:tan20°-4sin200°=tan20°+4sin20°=

方法二:tan20°-4sin200°=tan20°+4sin20°

探究點(diǎn)二利用輔助角公式研究函數(shù)的性質(zhì)【典例2】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinsin.(1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.【思維導(dǎo)引】先利用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再討論相關(guān)性質(zhì).【解析】(1)函數(shù)f(x)=sin2x+2sinsin=sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=sin2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=2sin,由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=(k∈Z).(2)因?yàn)閤∈又因?yàn)閒(x)=2sin在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值2.又故函數(shù)的最小值為-,故函數(shù)的值域?yàn)閇-,2].

【類題通法】關(guān)于應(yīng)用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)的注意事項(xiàng)(1)輔助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ)輔助角公式可以由兩角和的正弦公式證明.(2)確定輔助角:輔助角公式中,tanφ=,且φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(a,b),一般地,輔助角φ的范圍是(0,2π).(3)輔助角公式的作用:形如f(x)=asinωx+bcosωx(ab≠0)的函數(shù),都可以化為f(x)=sin(ωx+φ)的形式.若|φ|>,可以用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式再化簡.【定向訓(xùn)練】(1)函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期為________.

(2)函數(shù)y=sinxcosx+cos2x-的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是________.

【解析】(1)因?yàn)閥=sin2x+cos2x,所以y=sin2x+cos2x+,所以y=sin其中tanφ=,因?yàn)門=,所以T=π.答案:π(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=sinxcosx+所以y=所以周期T=π,它的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離恰為答案:

探究點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用【典例3】一根長為L的鐵棒AB欲通過如圖所示的直角走廊,已知走廊的寬AC=BD=1米.(1)設(shè)∠BOD=θ,試將L表示為θ的函數(shù).(2)求L的最小值,并說明此最小值的實(shí)際意義.【思維導(dǎo)引】(1)在直角三角形中,利用銳角的三角函數(shù)定義求AO,BO即可求得函數(shù)解析式.(2)利用輔助角公式,通過換元法求函數(shù)的值域.【解析】(1)AO=,BO=,L=AO+BO=(2)設(shè)x=sinθ+cosθ=則x∈(1,],所以sinθcosθ=此時(shí)L(x)=.任取x1,x2∈(1,],且x1<x2,L(x1)-L(x2)=因?yàn)閤1,x2∈(1,],且x1<x2,所以(-1)(-1)>0,(x2-x1)(x1x2+1)>0,故L(x1)-L(x2)>0,即L(x)在x∈(1,]時(shí)是減函數(shù),所以Lmin=2.L最小值的實(shí)際意義是:在拐彎時(shí),鐵棒的長度不能超過2米,否則,鐵棒無法通過,也就是說,能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的最大長度為2米.

【類題通法】應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用多與最值有關(guān),解決這類問題的一般步驟如下:(1)審讀題意,合理地選取“角”為自變量,建立三角函數(shù)關(guān)系式.(2)利用和、差、倍、半角公式進(jìn)行化簡整理,通常要整理為y=Asin(ωx+φ)+b的形式.(3)在符合實(shí)際問題意義的情形下求目標(biāo)式的最值.【定向訓(xùn)練】如圖所示,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,B,C兩點(diǎn)在圓弧上,OE是∠POQ的平分線,E在上,連接OC,記∠COE=α,則角α為何值時(shí)矩形ABCD的面積最大?并求最大面積.【解題指南】首先明確S矩形ABCD=AB·BC,其次將AB,BC統(tǒng)一用角α表示出來,然后根據(jù)角α的范圍求面積的最大值.【解析】如圖所示,設(shè)OE交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,顯然矩形ABCD關(guān)于OE對(duì)稱,而M,N均為AD,BC的中點(diǎn),在Rt△ONC中,CN=sinα,ON=cosα,

所以MN=ON-OM=cosα-sinα,即AB=cosα-sinα,而BC=2CN=2sinα,故S矩形ABCD=AB·BC=(cosα-sinα)·2sinα=2sinαcosα-2sin2α=sin2α-(1-cos2α)=sin2α+cos2α-

因?yàn)?<α<,所以0<2α<故當(dāng)2α+即α=時(shí),S矩形ABCD取得最大值,此時(shí)S矩形ABCD=2-.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某房地產(chǎn)開發(fā)商為吸引更多消費(fèi)者購房,決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園.如圖,已知扇形AOB的圓心角∠AOB=,半徑為200米,現(xiàn)欲修建的花園為平行四邊形OMNH,其中M,H分別在OA,OB上,N在上.設(shè)∠MON=θ,平行四邊形OMNH的面積為S.(1)將S表示為關(guān)于θ的函數(shù).(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ值.【解析】(1)如圖,過N作NP⊥OA于點(diǎn)P,過H作HE⊥OA于點(diǎn)E,因?yàn)椤螦OB=,所以O(shè)E=EH=NP=200sinθ米,OP=200cosθ米,所以HN=EP=OP-OE=200米,所以S=HN·NP=40000sinθ,

θ∈(2)S=40000=40000=20000=20000因?yàn)棣取?所以2θ+所以當(dāng)2θ+即θ=時(shí),S取得最大值,且最大值為20000平方米.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知?jiǎng)t的值為 ()

【解析】選C.由輔助角公式得

2.已知函數(shù)f(x)=3cos2x-sin2x+3,則函數(shù) ()A.f(x)的最小正周期為π,最大值為5B.f(x)的最小正周期為π,最大值為6C.f(x)的最小正周期為2π,最大值