第四章扭轉（Torsion)2021/7/231贈言子曰：“學而不思則罔，思而不學則殆?！薄墩撜Z·

學而第一》注：罔——蒙蔽，欺騙殆——疑惑一、回顧2021/7/232已經學習了——拉、壓剪切擠壓（受力物體接觸問題，外部關系；因注意內部， 不研究它了）目前剪切還是近似計算，值得深入研究二、如何深化對剪切的認識？沿面內作用的力——剪切力作用結果——把截面剪斷：可作為深化認識的出發(fā)點、3給你一個火腿腸，如何在中間截為兩段？（1）刀切開（2）剪子剪（3）電鋸（輪或平）截——以上用工具，空手呢？（4）掰（彎）（5）拉（6）扭分析一下：（1）、（3）是動載，因研究靜載，故不講了（4）屬于彎曲，以后講（5）拉斷的位置不確定，也不講（6）斷開面兩側相互錯動，實際上沿面內有力作用2021/7/23

——剪力：扭矩轉化過來（2）（剪子剪）（6）（扭）的共同點

——

剪力作用（2）（剪子剪）（6）（扭）的不同點——（2）的剪切面相鄰兩側平行錯動（6）的剪切面相鄰兩側轉動錯動可見扭轉現象同剪切相關，本章專門研究它三、常見的扭轉現象扭水龍頭用鑰匙扭轉開門酒瓶軟木塞的開瓶器小轎車的方向盤工作自行車的腳蹬工作機器軸的轉動4202改1/7/2錐3上螺絲釘扭轉的例子2021/7/235本章主要內容2021/7/2364.1

外力偶矩、扭矩和扭矩圖4.2

純剪切、切應力互等定理、剪切胡克定律4.3

圓軸扭轉橫截面應力和強度條件4.4

圓軸扭轉時的變形和剛度條件4.5

圓軸扭轉斜截面上的應力4.1

外力偶矩、扭矩和扭矩圖2021/7/237外力偶矩(Torsioncouple)力偶（

Force

couple)作用下產生的力矩(

Force

moment)扭矩(Torsion

torque)使桿繞軸線發(fā)生扭轉變形的外力偶矩扭矩圖(Torsion

torquegraph)8nT

=60000N

=9549

N

(牛頓米）2pn電機傳遞扭矩

轉動機器勻速轉速—n轉/分鐘輸出功率—N千瓦求扭矩T（圖中T是機器對于電機扭矩的反作用力矩）《出發(fā)點——計算一分鐘的功W

》W

=

N

(千瓦）·6（0

秒）=N

(1000牛頓米）·6（0

秒）W

=T

(牛頓米）·f（弧度）=T

(牛頓米）·

2pn（弧度）從扭矩看解:從電機看兩式得扭矩2021/7/232021/7/23注意：第2個公式不需要記，因為1

H.

P.(馬力,horsepower)=0.7355

kW(千瓦特,k-watt)所以nnNT

=

7024T

=

9549

NkW

（N

m)H

.

P.（N

m)扭矩當N為千瓦當N為馬力

扭矩例4.1[P90]

（1）算出外力偶矩（2）外力偶矩要平衡（3）雙箭頭矢量做，同軸力圖類似NH

.P

.(

H

.P

.)

=

0.7355NH

.P

.(

kW

)代入第1式，得n9n7024

N

H

.P

.T

=

9549

0.7355NH

.P

.

=2021/7/234.2

純剪切Pure

shear切應力互等定理Reciprocal

theorem

of

shearstresses鄭玄—胡克剪切定律Zhengxuan—Hooke’slaw

in

shear純剪切:只有切應力的應力狀態(tài)切應力互等定10理切應力互等定理單元體上兩個互垂面上剪應力的大小相等、方向相反（共同指向交線或背離交線）證明：以d

軸取矩，得上面剪力和右面剪力平衡方程(tabab

·

t)·bc

=

(tbcbc

·

t)·ab故得

tab

=tbc類似可證明——每兩個鄰近邊切應力值相等注意：不僅純剪切，而且任何平衡力作用，都成立切應力互等定理(Reciprocal

theorem

of

shear

stresses2021/7/23或Theorem

of

conjugate

shearing

stress)11圖（c）中最大切應力對應于圖（b）哪一個切應力？答：圖（c）最大切應力對應于圖（b）右邊切應力。12注意：圖（c）切應力按線性分布，原因再講g

=

d(dy)

/

dx

=

bb'

/

ba切應2021變/7/23的定義鄭玄—虎克剪切定律t

=

GgaG

=

tgas

=

EesaE

=

tga2(1+n)2021/7/2313EG

=說明3個性能只有2個獨立此式在第9章給出證明鄭玄—虎克剪切定律只是彈性階段本構關系全程本構關系如何？要做純剪切實驗（如薄壁圓管扭轉）得到-g圖tp

——剪切比例極限應力（線彈性階段）ts

——剪切屈服極限應力（進入塑性階段）tb

——剪切強度極限應力（破壞階段）其中g2021/7/2314tbtstp4.3

圓軸扭轉橫截面應力和強度條件受扭圓軸截面上切應力分布021/7/23215rrdA2021/7/2316dM

=

rtdAT

=

dM

=

rtdAA

A因切應力是個未知函數——無窮個未知數而方程只有一個，故為超靜定問題靜力平衡微元dA

對軸心產生的力矩2021/7/2317變形協調平衡不足變形補——先實驗，后（推廣得）假定2021/7/231819圖(b)是實驗結果：1、圓周線保持形狀、大小、間距不變，僅繞軸轉動2、母線仍是直線，僅繞軸轉動圖(c)是由表及里的想象——假定：1、橫截面保持為平面，形狀、大小、間距不變2021/7/232、半徑保持為直線20g

dx

=

r

dfg

=

r

dfdx切應變沿半徑線性變化，雖然函數解出了，但2021是/7/23系數尚不知2021/7/2321上面求出了代入平衡公式本構關系T

=

rtdAdxg

=

r

dfA因變量不統(tǒng)一，還是解不出如何把切應變 切應力？根據本構關系（鄭玄—胡克定律）dxt

=

Gg

=

Gr

dfpdxdxT

=

G

dfAr

2

dA

=

G

df

I2021/7/23其中ApI

=r2dA對圓截面3232(1

-a

4

)=p

(D4

-

d

4

)

pD4D

/

2d

/

2I

p

=

2p

r

dr

=3p代入應變公式dfdf

=

Tdx

GIg

=r

dx

得GI

pg

=

r

T還是通過靜力、變形、本構三方面解決了問題I

p22t

=

r

TdA

=

2prdr于是最大切應力在截面邊緣其中2021/7/23rIptW

=軸半徑r

=

D/2r圓軸扭轉的強度條件I

pt

=

r

Tt23p

pmaxI

I

/

r

W=

Tmax=

r

Tmax

=

Tmaxtmaxt

￡

[t]t2021/7/2324Wmax=

TmaxttmaxTmax2、對塑性材料[t]

=

(0.5

-

0.6)[s

t

]注意1、對階段軸，要選大的3、軸類零件考慮到動荷因素，許用切應力值比靜荷下的值小不是看例4.2

[P99]例4.3

[P99]2021/7/2325最好會推出抗扭模量的公式有沒有更好的解法？不用切應力相等，用抗扭模量相等去求解,可否？注意重量的增加，為什么？習題：[P122]

4.1,

4.2,

4.44.4

圓軸扭轉時的變形和剛度條件1、強度問題解決了，必然要解決剛度（變形）問題2、拉壓變形——伸縮，扭轉變形？——轉角320、21/7如/23

何解決？仿拉壓，從應變著手2627s最后得扭轉角I

pt

=

Tr*若為等扭矩、等截面Dl拉壓扭轉g

=

t

=

Tr同式dxg

=

r

dfG

GIp比較得df

=

T

dx

GIplpT0f

=

GI*若為階梯扭矩、階梯截面2021/7/23GIpTlf

=lpiGITilii=1f

=dx（rad)2021/7/2328圓軸扭轉的剛度條件化為單位長度上的扭轉角（rad/m)p=

l

=

GIf

Tj為保證剛度，要求——單位扭轉角的最大值小于許用值jmax

￡

[j

]許用值根據重要性確定見[P102]2021/7/2329例題提示例4.4

[P102]

分別按強度、剛度設計直徑，然后呢？例4.5

[P103]

1、變截面：直徑函數

——

極慣性矩函數2、扭矩函數3、變截面、變扭矩，怎么求轉角？在微分長度上

——

視它們?yōu)槌等缓?/p>

——

積分4、怎么

積分

？

——

變量變換例4.6

[P104]

1、共同工作，變形相同2、三方面——平衡、協調、本構2021/7/234.5

圓軸扭轉斜面上的應力扭轉軸的破壞（想一想：為什么這樣？）30為什么研究斜截面應力？☆ 邏輯上，正截面——斜截面☆

實際上，見下面的實驗結果，原因？2021/7/23途徑：1、仿正截面過程；2、用正截面推導斜截面應力312021/7/2332tq

,

sq為計算斜面上應力列出

sq

tq和 兩個方向的平衡方程：sq

A0

+(tA0

sinq

)cosq

+(tA0

cosq

)

sinq

=

0sq

=

-2t

sinq

cosq

=

-t

sin

2qtq

A0

+(tA0

sinq

)

sinq

-(tA0

cosq

)cosq

=

0qt

=t(cos2

q

-sin

2

q)

=t

cos

2q第九章《應力狀態(tài)理論》對于切應力方向規(guī)定

——

使單元體順時針轉動的切應力為正方位角方向規(guī)定——以x軸為起點逆時針轉到斜面外法線的角為正tqqtA0x’y’qtsqxsq

=

-t

sin

2q′=

tmax2021/7/2333s

0

=

0 ,

t0s

45=

t=

s

mi