第八章節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征目的與要求：掌握數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間安排3學(xué)時(shí)教學(xué)方法：講授與提問(wèn)結(jié)合教學(xué)手段：多媒體PPT軟件重點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望、方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算難點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望、方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望假如甲、乙兩選手各向目標(biāo)靶射擊十槍?zhuān)嗣邪凶拥那闆r分別為：（單位：環(huán)）甲乙9810899898967910109108910現(xiàn)問(wèn)，甲、乙二人哪一個(gè)命中率更高點(diǎn)？很顯然，通過(guò)某一槍的命中情況比較二人命中率是不合適的，比較容易理解的是通過(guò)二人各自命中環(huán)數(shù)的平均值來(lái)比較。對(duì)于甲選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為對(duì)于乙選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為從平均值來(lái)看，乙選手比甲選手命中率更高些。如果我們用隨機(jī)變量的取值表示兩選手命中的環(huán)數(shù)，則比較二人的命中率實(shí)際上是比較兩隨機(jī)變量平均值的大小。例1設(shè)某離散型隨機(jī)變量X的分布列為如果對(duì)隨機(jī)變量連續(xù)進(jìn)行N次取值，問(wèn)這N個(gè)值的平均值應(yīng)是多少？（假設(shè)N相當(dāng)大）由于X是隨機(jī)取值的，N個(gè)值分別是多少無(wú)法確定，但由分布列的定義，從理解X123論上講N次取之中有次取到1，次取到2，次取到3，從而所求平均值應(yīng)為：可以看到，平均值實(shí)際上是以分布概率為權(quán)重的加權(quán)平均。定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即收斂，則和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為，即通過(guò)前面的例子可以看到，隨機(jī)變量的均值反映了變量取值的平均水平。如果級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，即不收斂，則稱(chēng)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。下面我們舉例來(lái)說(shuō)明。例2對(duì)服從（0—1）分布的隨機(jī)變量X，其分布列為：求X的數(shù)學(xué)期望。由數(shù)學(xué)期望定義解例3設(shè)，求。已知二項(xiàng)分布的分布列為解則X的數(shù)學(xué)期望為例4設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，求。已知泊松分布列為：解從而例5設(shè)隨機(jī)變量X取值為的概率為，求X

的數(shù)學(xué)期望。例6某種獎(jiǎng)券銷(xiāo)售單位為提高大眾購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券的興趣，采用當(dāng)眾開(kāi)獎(jiǎng)的辦法，每張獎(jiǎng)券面值1元，每500萬(wàn)張?jiān)O(shè)若干獎(jiǎng)項(xiàng)如下：但是發(fā)散的，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在。無(wú)窮級(jí)數(shù)解獎(jiǎng)別個(gè)數(shù)獎(jiǎng)品價(jià)值（元）特等一等二等三等紀(jì)念1101001000100001500500703０.5試計(jì)算每購(gòu)一張獎(jiǎng)券平均能取多少獎(jiǎng)金？設(shè)某購(gòu)買(mǎi)者得到的獎(jiǎng)金數(shù)為X，則X為一隨機(jī)變量，其分布列為50從而X的數(shù)學(xué)期望為解即平均每購(gòu)一張獎(jiǎng)券可能得到的獎(jiǎng)金不到半分錢(qián)，但在實(shí)際生活中吸引力還是相當(dāng)大的。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，如果積分絕對(duì)收斂，即收斂，則稱(chēng)積分的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為。即反之，如果積分發(fā)散，則稱(chēng)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。例7設(shè)X服從區(qū)間上的均勻分布，求X的數(shù)學(xué)期望。已知X的概率密度為其它。，從而正好是區(qū)間的中點(diǎn)。解例8設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求X的數(shù)學(xué)期望。已知X的概率密度為從而所求數(shù)學(xué)期望為解例9對(duì)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，求其數(shù)學(xué)期望。已知X的概率密度為則所求數(shù)學(xué)期望為解作變換，得到即正態(tài)分布的第一個(gè)參數(shù)就是隨機(jī)變量X的均值。三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為如果級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)的和為的數(shù)學(xué)期望，記為即例10設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X-1023試計(jì)算：和。由數(shù)學(xué)期望的定義可得解已知X的分布列為：例11設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，試計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。從而解2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的概率密度為則Y仍是一隨機(jī)變量，如果收斂，則稱(chēng)積分的值為的數(shù)學(xué)期望，記為即已知X的概率密度為例12已知X服從上的均勻分布，計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。解則所求的數(shù)學(xué)期望為：如果是二維隨機(jī)變量，是關(guān)于X和Y的二元函數(shù)，則同樣可定義隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望如下：3.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）如果是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布列為則的數(shù)學(xué)期望為（2）如果是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為，則的數(shù)學(xué)期望為例13設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為試計(jì)算和。由定義，解四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，C為任意常數(shù)，且都存在，則數(shù)學(xué)期望有以下四條常見(jiàn)的性質(zhì)。如果X與Y相互獨(dú)立，則證明數(shù)學(xué)期望的四條性質(zhì)中，前兩條比較直觀(guān)，容易理解和證明，我們只證明第（3）和第（4）條。（3）設(shè)是離散型隨機(jī)變量，分布列為則由數(shù)學(xué)期望的定義，如果為連續(xù)型隨機(jī)變量，類(lèi)似可以證明。（4）設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為，則由X、Y的獨(dú)立性可得其中分別為X與Y的邊緣概率密度，從而性質(zhì)（3）和性質(zhì)（4）可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量上，即成立：推論1設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在，則推論2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望都存在，則例14設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從同一個(gè)（0—1）分布：試證服從二項(xiàng)分布并求。證明由于每個(gè)可能取值為0或1，則可能取值為0，1，2，…，n.

X取值為k，則要求中有k個(gè)取值為1，而其余個(gè)取值為0，至于是哪k個(gè)變量取值為1，共有種不同方式，而且這些方式兩兩互斥，由相互獨(dú)立性可知每種方式出現(xiàn)的概率為即X服從二項(xiàng)分布。從而對(duì)服從（0—1）分布的任一已知?jiǎng)t作業(yè)題：第119頁(yè)

第1，2，3題第二節(jié)方差由第一節(jié)我們知道，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可以反映變量取值的平均程度，但僅用數(shù)學(xué)期望描述一個(gè)變量的取值情況是遠(yuǎn)不夠的。我們?nèi)杂妙?lèi)似于第一節(jié)中的例子來(lái)說(shuō)明。假設(shè)甲乙兩射手各發(fā)十槍?zhuān)瑩糁心繕?biāo)靶的環(huán)數(shù)分別為容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是8.8環(huán)，現(xiàn)問(wèn)，甲、乙二人哪一個(gè)水平發(fā)揮的更穩(wěn)定？甲981089889109乙67910109108910直觀(guān)的理解，二選手中哪一個(gè)擊中的環(huán)數(shù)偏離平均值越少，這個(gè)選手發(fā)揮的更穩(wěn)定一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距平均值的偏差的均值來(lái)比較。為了防止偏差和的計(jì)算中出現(xiàn)正、負(fù)偏差相抵的情況，應(yīng)由偏差的絕對(duì)值之和求平均更合適。對(duì)于甲選手，偏差絕對(duì)值之和為：對(duì)乙選手，容易算得偏差絕對(duì)值之和為10.8環(huán)，所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為0.64環(huán)和1.08環(huán)，因而可以說(shuō)，甲選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定些。類(lèi)似的，為了避免運(yùn)算式中出現(xiàn)絕對(duì)值符號(hào)。我們也可以采用偏差平方的平均值進(jìn)行比較。為此我們引入以下定義：定義對(duì)隨機(jī)變量X，如果數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望也存在，則稱(chēng)的值為隨機(jī)變量X

的方差，記為由前面的例子容易理解，方差反映了隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值的分散程度，即反映X取值的穩(wěn)定性。應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)隨機(jī)變量X而言，其數(shù)學(xué)期望是一常數(shù)，而與是隨機(jī)變量，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得即。這是方差運(yùn)算中一個(gè)常用的公式。為了保證變量量綱的一致性，我們稱(chēng)方差的平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為即：例1對(duì)服從（0—1）分布的隨機(jī)變量X，分布列為求X的方差。已知而且則X的方差為解例2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，求在本章第一節(jié)的例11中我們已經(jīng)知道從而解例3對(duì)服從[a，b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量X，計(jì)算已知，且解從而例4已知求由方差的定義可得解作代換則推導(dǎo)由此可知，正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)和分別表示隨機(jī)變量X的均值和方差。關(guān)于方差的性質(zhì)，常見(jiàn)的有以下幾條：證明(4)若X與Y相互獨(dú)立,則已知從而因性質(zhì)（5）要用到復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)知識(shí)，略去證明過(guò)程。性質(zhì)（4）可以推廣到多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情形。例如，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，成立例5設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)式分布，試求

由上節(jié)中的例14知其中服從同一（0—1）分布：且相互獨(dú)立。又由本節(jié)例1有于是可得：解例6設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）和方差D（X）都存在，則稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，試求和注意到均為常數(shù)，再由期望及方差的性質(zhì)可得：解可見(jiàn)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的期望是0，方差是1。因此，把隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，可以使所討論的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單，這種處理問(wèn)題的方法在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中時(shí)有應(yīng)用。例如，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布把X標(biāo)準(zhǔn)化則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,于是要求X落入某一區(qū)間的概率，只需由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出落入相應(yīng)區(qū)間的概率即可，這一作法是我們?cè)缫咽熘⒁讯嗌賾?yīng)用過(guò)的。作業(yè)題：第119頁(yè)

第4題返回第三節(jié)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)前兩節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的兩個(gè)常見(jiàn)的數(shù)字特征，即數(shù)學(xué)期望與方差，它們分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平和隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值的分散程度，但有時(shí)還要考慮多個(gè)隨機(jī)變量之間的取值關(guān)系，為此我們引入?yún)f(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念。一、協(xié)方差定義設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，如果都存在且也存在，則稱(chēng)之為X與Y

的協(xié)方差，記為cov（X，Y）。顯然，即由協(xié)方差定義與方差性質(zhì)可以得到即由協(xié)方差定義可知協(xié)方差也是一隨機(jī)變量函數(shù)的期望值，且即這也是一個(gè)常用的計(jì)算協(xié)方差的公式。如果X

與Y相互獨(dú)立，則，從而但反過(guò)來(lái)不一定成立，即如果協(xié)方差為0，X與Y不一定相互獨(dú)立。例如，設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X3

-101X2101X-101，則容易算得X與Y顯然是不獨(dú)立的，因?yàn)閅的取值是由X來(lái)定的。例1設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布試求已知（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：類(lèi)似于一維隨機(jī)變量的正態(tài)分布，容易算得，解從而作變量代換可得上式內(nèi)層積分正好是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的期望值，所以?xún)?nèi)層積分為前面我們已經(jīng)知道，二維正態(tài)分布中X

與Y相互獨(dú)立等價(jià)于從而即對(duì)二維正態(tài)分布，X與Ｙ相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)于協(xié)方差，具有以下幾條性質(zhì)：證明（1）由協(xié)方差定義，而所以二、相關(guān)系數(shù)定義對(duì)二維隨機(jī)變量（X，Y），如果存在，則稱(chēng)之為X

與Y的相關(guān)系數(shù)，記為?？梢钥闯觯且粋€(gè)無(wú)量綱的數(shù)，而且由協(xié)方差定義可得即：X、Y的相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量與的協(xié)方差，因?yàn)閮蓸?biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量與的期望值都是0，相關(guān)系數(shù)具有以下性質(zhì)：的充分必要條件是存在常數(shù)a，b使當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)，證明（1）由協(xié)方差公式可知由方差非負(fù)性可得從而（2）必要性設(shè)則由（1）可知從而由方差性質(zhì)（5）可得即其中當(dāng)時(shí)，類(lèi)似可得Y與X有線(xiàn)性關(guān)系。充分性設(shè)為常數(shù)，從而所以所以（3）當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，從而則對(duì)于相關(guān)系數(shù)當(dāng)時(shí)，X與Y之間有線(xiàn)性關(guān)系，此時(shí)稱(chēng)X與Y是完全相關(guān)的，其中若稱(chēng)X，Y為正相關(guān)；若稱(chēng)X，Y為負(fù)相關(guān)；若稱(chēng)X，Y為不相關(guān)；一般情況下，的大小反映X與Y取值的相關(guān)程度。由性質(zhì)（3）知道，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定不相關(guān)，但反過(guò)來(lái)不一定成立。而對(duì)正態(tài)分布而言，獨(dú)立性與不相關(guān)性是一致的。例2設(shè)證明X

與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是例1中已知X、Y的協(xié)方差為：從而相關(guān)系數(shù)為：而時(shí)，X與Y是相互獨(dú)立的，也是不相關(guān)的。證明第八章習(xí)題課一、內(nèi)容概要1、數(shù)學(xué)期望（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為如果收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為即（2）設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，如果積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)積分的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即(3)設(shè)是隨機(jī)變量的函數(shù)：若是離散型隨機(jī)變量，其分布列為如果級(jí)數(shù)收斂，則若是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為如果收斂，則有（4）二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如果是二維隨機(jī)變量，是關(guān)于X和Y的二元函數(shù)，當(dāng)是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為則當(dāng)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，則（5）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，C為任意常數(shù)，且