高中數(shù)學必修二(文科)綜合測試題

高中數(shù)學必修二（文科）綜合測試題（考試時間120分鐘，總分150分）一．選擇題1.下圖所示的圓錐的俯視圖為（）。ABA.正方形B.長方形C.圓形D.三角形2.已知圓C：x2+y2–2x+6y=0，則圓心P及半徑r分別為（）。A.圓心P(1,3)，半徑r=10；B.圓心P(1,3)，半徑r=10；C.圓心P(1,-3)，半徑r=10；D.圓心P(1,-3)，半徑r=10。3.直線l:3x-y+6=0的傾斜角α為（）。A.30；B.60；C.120；D.150。7.已知兩條直線l1:x+2ay-1=0，l2:x-4y=0，且l1//l2，則滿足條件a的值為（）。A.-11/22；B.11/22；C.-2；D.2。8.圓(x-1)2+(y-1)2=2被x軸截得的弦長等于（）。A.1；B.√2；C.2；D.√3。9.圓x2+y2=1和圓x2+y2-6y+5=0的位置關系是（）。A.外切；B.內(nèi)切；C.外離；D.內(nèi)含。10.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為（）。A.√2；B.1；C.2；D.√5。二．填空題11.坐標原點到直線4x+3y-12=0的距離為（）。12.直線x+ay-a=0與直線ax-(2a-3)y=0垂直，則a=（）。13.以點A(2，3)為圓心，且經(jīng)過點B(-1，1)的圓的方程是（）。14.圓柱的側面展開圖是邊長分別為2a,a的矩形，則圓柱的體積為（）。三．解答題15.（本小題滿分12分）求經(jīng)過直線L1：3x+4y–5=0與直線L2：2x–3y+8=0的交點M，且滿足下列條件的直線方程：（1）與直線2x+y+5=0平行；（2）與直線2x+y+5=0垂直。5.對于直線l:3x-y+6=0的截距，下列說法正確的是（）。A.在y軸上的截距是6；B.在x軸上的截距是6；C.在x軸上的截距是3；D.在y軸上的截距是-3。16.如圖，在平面直角坐標系中，已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標：A(0,0)，B(3,3)，C(4,0)。(1)求邊CD所在直線的方程（結果寫成一般式）；CD的斜率為$\dfrac{0-3}{4-0}=-\dfrac{3}{4}$，過點C的直線方程為$y-0=-\dfrac{3}{4}(x-4)$，化簡得$3x+4y-12=0$，即為所求的邊CD所在直線的一般式方程。(2)證明平行四邊形ABCD為矩形，并求其面積。由題意可知，ABCD是平行四邊形，且AB的斜率為$\dfrac{3-0}{3-0}=1$，CD的斜率為$-\dfrac{3}{4}$，所以AB與CD互相垂直，即為矩形。設AB為矩形的長，BC為矩形的寬，則有$AB=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(4-3)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$，所以矩形ABCD的面積為$S=AB\cdotBC=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}=3\sqrt{20}=6\sqrt{5}$。17.如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)。(1)求證：DE∥平面A1CB.連接BF，易知$\triangleBCF$與$\triangleADF$共面，且$\angleBCF=\angleADF=90^\circ$，所以平面$BCF$與平面$ADF$垂直，即平面$ADF$與平面$A1CB$平行，所以$DE\parallelA1CB$。(2)求證：A1F⊥BE.連接AF，BF，易知$\triangleAFB$與$\triangleCFE$共面，且$\angleAFB=\angleCFE=90^\circ$，所以平面$AFB$與平面$CFE$垂直，即平面$AFB$與平面$A1BE$平行。又因為$A1F\perpCD$，所以$A1F\perpBE$。18.求圓心在$l_1:y-3x=0$上，與x軸相切，且被直線$l_2:x-y=0$截得弦長為27的圓的方程。設圓心坐標為$(a,3a)$，半徑為$r$，則有$r=3a$。因為與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為半徑$r$，即$3a=r$，所以圓心坐標為$(a,3a)=(a,\dfrac{r}{3})$。設圓與直線$l_2$的交點為$A,B$，則$AB=27$，又因為圓心在$l_1$上，所以圓心到$l_2$的距離為半徑$r$，即$\dfrac{|a-0|+|-3a-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3a$，解得$a=\dfrac{27}{\sqrt{10}}$。所以圓的方程為$(x-\dfrac{27}{\sqrt{10}})^2+(y-\dfrac{9}{\sqrt{10}})^2=(\dfrac{27}{\sqrt{10}})^2$。19.如下圖，在三棱錐$A-BCD$中，$O,E$分別是$BD,BC$的中點，$CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2$。(1)求證：$AO\perp$平面$BCD$；連接$AC$，$BD$，$OE$，易知$\triangleACD$與$\triangleBCD$共面，且$AC\perpBD$，$OE\perpBD$，所以平面$ACD$與平面$BCD$垂直，即$AO\perp$平面$BCD$。(2)求點$E$到平面$ACD$的距離。平面$ACD$的法向量為$\overrightarrow{n}=(1,0,-1)$，過點$E$且垂直于平面$ACD$的直線方程為$x-2z=k$，代入點$B(2,0,0)$得$k=4$，所以該直線方程為$x-2z=4$。點$E$到直線$x-2z=4$的距離為$\dfrac{|2-2\times0-4|}{\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$。20.已知半徑為5的圓C的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線$4x+3y-29=0$相切。(1)求圓C的方程；設圓心坐標為$(a,0)$，半徑為$5$，則有$(x-a)^2+y^2=25$。因為與直線$4x+3y-29=0$相切，所以圓心到直線的距離為半徑$5$，即$\dfrac{|4a+0-29|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$，解得$a=3$或$a=7$。所以圓的方程為$(x-3)^2+y^2=25$或$(x-7)^2+y^2=25$。(2)設直線$ax-y+5=0$與圓C相交于$A,B$兩點，求實數(shù)$a$的取值范圍；設交點$A,B$的坐標分別為$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，則有$\begin{cases}(x_1-3)^2+y_1^2=25\\ax_1-y_1+5=0\end{cases}$，$\begin{cases}(x_2-3)^2+y_2^2=25\\ax_2-y_2+5=0\end{cases}$。解得$x_1=\dfrac{3a-5+\sqrt{a^2+10a-15}}{a^2+1}$，$y_1=ax_1+5$，$x_2=\dfrac{3a-5-\sqrt{a^2+10a-15}}{a^2+1}$，$y_2=ax_2+5$。因為直線與圓相交，所以$x_1,x_2$的值存在，即$\sqrt{a^2+10a-15}\geq5-3a$，解得$a\in(-\infty,-3)\cup(-1,2]$。(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)$a$，使得過點$P(-2,4)$的直線$l$垂直平分弦$AB$？若存在，求出實數(shù)$a$的值；若不存在，請說明理由。設弦$AB$的中點坐標為$(m,n)$，則有$\begin{cases}m=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3a-5}{a^2+1}\\n=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{2ax_1+2ax_2+10}{2a^2+2}\end{cases}$。因為直線$l$垂直平分弦$AB$，所以$l$與$AB$垂直，即$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$。代入$x_1,x_2$的表達式，整理得$a^4+2a^3-23a^2-26a+25=0$。解得$a=-\dfrac{5}{2}$或$a=1$。因為$a\in(-\infty,-3)\cup(-1,2]$，所以不存在實數(shù)$a$滿足條件。17.刪除明顯有問題的段落：無明顯有問題的段落。18.改寫每段話：3.A.請把正確答案填在答題卡上，下圖（1）所示的圓錐的俯視圖為（B）。B.圓(x－1)2＋(y－1)2＝2被x軸截得的弦長等于（C）。C.圓x2＋y2＝1和圓x2＋y2－6y＋5＝0的位置關系是（A）。D.由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為（C）。20.在一段文本中，有多個“線”、“封”、“密”字樣，沒有明確的上下文說明，無法理解其含義。5．直線l:3x-y+6=0的截距正確的是(A)A、在y軸上的截距是6；B、在x軸上的截距是6；C、在x軸上的截距是3；D、在y軸上的截距是-3。答案：A6．若l，m，n是互不相同的空間直線，α，β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是(A)A．若α∥β，l?α，n?β，則l∥nB．若α⊥β，l?α，則l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，則l∥mD．若l⊥α，l∥β，則α⊥β答案：D7．已知兩條直線l1:x+2ay-1=0，l2:x-4y=5，且l1//l2，則滿足條件a的值為(C)A、1/2；B、-1/2；C、5/2；D、-5/2。解：l1與l2平行，則它們的斜率相等，即2a=-1/4，解得a=-1/2，選B。18．求圓心在l1:y-3x=0上，與x軸相切，且被直線l2:x-y=0截得弦長為27的圓的方程。解：設圓心為(a,3a)，則圓的方程為(x-a)2+(y-3a)2=9a2。由題意可得，r=3a，且圓心到直線l2的距離為3a，即|(a-0)-(3a-0)|/√(12+(-1)2)=3a，解得a=3/√10。所以圓的方程為(x-3/√10)2+(y-9/√10)2=27/10。(1)證明：由題意可知，DE是ADE的中線，因此DE平分∠ADE，又∠ADE為直角，所以∠AED=45°。又因為A1F⊥CD，所以∠A1FD=90°，因此∠A1FE=45°。又∠A1EB=90°，所以∠A1BE=45°。因此，∠A1FE=∠A1BE，即A1F∥BE。根據(jù)平行線的性質(zhì)，可知DE∥平面ACB。(2)證明：連接EF并延長交平面ACD于點G。因為DE∥平面ACB，所以∠A1DE=∠CAB，又因為D和E分別為AC和AB的中點，所以DE∥BC，即∠DEB=∠EBC。因此，∠A1EB=∠A1DE+∠DEB=∠CAB+∠EBC=90°。又因為A1F⊥CD，所以∠A1FE=90°。因此，∠A1FE+∠A1EB=180°，即A1，F(xiàn)，E，B四點共面。又因為E和B在平面ACD內(nèi)，所以A1和F也在平面ACD內(nèi)，即A1F垂直于平面ACD。設點E到平面ACD的距離為h，根據(jù)向量公式可知，AE=√2，CE=√6，AD=CD=BD=2，BC=√8，所以三棱錐ACDE的體積為V1=1/3×√2×√6×2=2√3/3，三棱錐BCDE的體積為V2=1/3×√6×√8×2=4√3/3。根據(jù)體積的性質(zhì)，可知V1:V2=DE:BC=1:2/√2，因此DE=BC/√2。設點F到BC的距離為x，則AE=√(x^2+2)。根據(jù)勾股定理可得，AF=√(x^2+2-2x/√2)，因此A1F=AF/√2=√[(x^2+2-2x/√2)/2]。又因為A1F⊥CD，所以A1F也是點F到平面ACD的距離。因此，h=A1F=√[(x^2+2-2x/√2)/2]。將x代入可得，h=2√3/3，因此點E到平面ACD的距離為h=2√3/3。20.已知圓C的半徑為5，圓心在x軸上且橫坐標為整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切。(1)解：設圓心坐標為(M,0)，則圓的方程為(x-M)^2+y^2=25。因為圓與直線相切，所以兩者只有一個交點，即判別式為0，即(4M+3)^2-4(29)=0，解得M=1或M=-7/4。由于M為整數(shù)，因此M=1，即圓的方程為(x-1)^2+y^2=25。(2)解：將直線代入圓的方程得(x-1)^2+(ax+5)^2=25，化簡可得x^2+(a^2+1)x-2ax+9=0。因為直線與圓相交，所以該方程有兩個實根，即判別式大于0，即(2a-1)^2-4(a^2+1)(9-25