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第三章連續(xù)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第三章連續(xù)函數(shù)§3.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§3.1連續(xù)函數(shù)

二、間斷點(diǎn)及其分類(lèi)

二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

一、連續(xù)函數(shù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的概念2、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等等，都是連續(xù)地變化著的，這些現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性。下面我們引入增量的概念然后用增量來(lái)描述連續(xù)性，并引出函數(shù)在點(diǎn)和區(qū)間上連續(xù)的定義。例如：就氣溫的變化來(lái)看，當(dāng)時(shí)間變動(dòng)微小時(shí),氣溫的變化也很微小，這種特點(diǎn)就是所謂的連續(xù)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如果變量從它的初值變到終值終值與初值之差就叫做變量增量，又叫做改變量，，即，則增量可以是正的，是零。當(dāng)時(shí)，是正的；時(shí)，的；的記作當(dāng)是負(fù)當(dāng)是零。時(shí)，也可以是負(fù)的，也可以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

注意：

是一個(gè)完整的記號(hào)，不能看作是符號(hào)和變量的乘積。可以是自變量，也可以是。的變量1、2、如果是，則稱(chēng)為自變量的改變量；如果是，則稱(chēng)為因變量的改變量。3、有時(shí)和，而直接寫(xiě)和的終值不寫(xiě)成成和。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如果函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有在處有一改變量的相應(yīng)改變量則為其幾何意義如圖所示。當(dāng)自變量數(shù)義，定時(shí)，函機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x0在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。X0+△xX0+△x△x△y△x△y?(x0)?(X0+△x)?(X0+△x)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x0.y0+⊿yy0X0+⊿x的絕對(duì)值可以無(wú)限變小

..在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。y0+⊿yX0+⊿x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

?！x0x0x△y1yy0xx0→△x→0ABCC→Byy0△y△y1→..→的絕對(duì)值是一個(gè)固定值

在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。0機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束假設(shè)在點(diǎn)處的某個(gè)鄰域內(nèi)趨于零時(shí)，的極限是零，即有定義。相應(yīng)的函數(shù)的改變量處連續(xù)。則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)△y

→

0定義1如果自變量的改變量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

說(shuō)明：處連續(xù)，可得根據(jù)定義1函數(shù)在點(diǎn)lim△y=0

△x→0lim△y=lim[f(x)–f(x0)]=0△x→0△x→0limf(x)–limf(x0)=0△x→0△x→0limf(x)–

f(x0)=0△x→0在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。limf(x)=

f(x0)△x→0因此，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義又可以敘述為：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如果函數(shù)在點(diǎn)處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定義2且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

條件函數(shù)存在存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)的極限。在點(diǎn)連續(xù)，那么求當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，只要求在點(diǎn)的在已知如果函數(shù)值就行了。說(shuō)明：1、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。2、3、用可以證明用可以求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

練習(xí)證：由定義2知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、求（3X2+2x+5）的值。解：y=3X2+2x+5在X0=3的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義∵?（x0+△x）=3×（3+△x）2+2（

3+△x)+5?（x0）=?（3）=3×32+2×3+5=38=3

△x2+20

△x+38，且∴△y=?（x0+△x）-?（x0）=3△x2+20△x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

根據(jù)連續(xù)函數(shù)定義1可知：由以上得：△y=（3△x2+20△x）=0y=3X2+2x+5在X0=3處連續(xù)。

根據(jù)連續(xù)函數(shù)定義2可得：

（3X2+2x+5）=3×32+2×3+5=38機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束·。x0xy0y△y在點(diǎn)處有1、若函數(shù)則稱(chēng)在點(diǎn)處是左連續(xù)。在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義.說(shuō)明：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2、若函數(shù)在點(diǎn)處有,則稱(chēng)在點(diǎn)處是右連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x0.y0+⊿yy0X0+⊿x..在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。y0+⊿yX0+⊿x●。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x0·xx在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)有定義。yyy0△x△x△y△y函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)

函數(shù)在處左、右連續(xù)。

3、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)，在處右不連續(xù)則函數(shù)在處不連續(xù)。

4、左連續(xù)右不連續(xù)不連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例:如圖函數(shù)在（即在的右側(cè)）,函數(shù)時(shí)，的絕對(duì)值不能值有一個(gè)突然的改變，無(wú)限變小。函數(shù)即：當(dāng)夠點(diǎn)處不連續(xù)的絕對(duì)值能無(wú)限變小。﹨○●x0y0+⊿yy0X0+⊿x△y1顯然當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)，在處左不連續(xù)則函數(shù)在處不連續(xù)。

5、左不連續(xù)右連續(xù)不連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例:如圖函數(shù)在（即在的左側(cè)），函數(shù)值時(shí)，的絕對(duì)值不能有一個(gè)突然的改變，無(wú)限變小。函數(shù)即：當(dāng)夠點(diǎn)處不連續(xù)的絕對(duì)值能無(wú)限變小。﹨○●x0y0+⊿yy0X0+⊿x△y1△x＜0顯然當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

函數(shù)在點(diǎn)處左不連續(xù)，在處左不則函數(shù)在處不連續(xù)。

6、左不連續(xù)右不連續(xù)不連續(xù)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如圖函數(shù)在的左右側(cè)），時(shí)，的絕對(duì)值不能夠有一個(gè)突然函數(shù)值的改變，無(wú)限變小。函數(shù)即：當(dāng)點(diǎn)處不連續(xù)。的絕對(duì)值能無(wú)限變小。﹨○。x0y0+⊿yy0X0+⊿x△y1·X0+⊿xy0+⊿y△y1△x＜0（在或顯然當(dāng)例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1、若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的各點(diǎn)均在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

則稱(chēng)2、若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在處右連續(xù)且在處左連續(xù)，間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)，在閉區(qū)則稱(chēng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

3、函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的全體所構(gòu)成的區(qū)間，

稱(chēng)為函數(shù)續(xù)區(qū)間。在連續(xù)區(qū)間上,連續(xù)函數(shù)的圖形不斷的曲線。的連是一條連綿4、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

證明：～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

右連續(xù)但不左連續(xù),證：例討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

二、間斷點(diǎn)及其分類(lèi)1.第一類(lèi)間斷點(diǎn)

2.第二類(lèi)間斷點(diǎn)

假設(shè)在點(diǎn)處的某個(gè)鄰域內(nèi)趨于零時(shí)，也趨于零，有定義。相應(yīng)的函數(shù)的改變量處連續(xù)。則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束復(fù)習(xí)定義1如果自變量的改變量即△y

→

0機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如果函數(shù)在點(diǎn)處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定義2且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

說(shuō)明：在點(diǎn)處有1、若函數(shù)則稱(chēng)在點(diǎn)處是左連續(xù)

。2、若函數(shù)在點(diǎn)處有則稱(chēng)在點(diǎn)處是右連續(xù)。

3、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)

函數(shù)在處左、右連續(xù)。

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

4、函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)（或右連續(xù)），在處右不連續(xù)（或左不連續(xù)）函數(shù)在處不連續(xù)。

5、函數(shù)在點(diǎn)處左不連續(xù)，在處右不函數(shù)在處不連續(xù)。

不連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

由函數(shù)在點(diǎn)0處連續(xù)的定義，可知函數(shù)在點(diǎn)0處連續(xù)，必須同時(shí)滿足下列三個(gè)在0處有定義；存在；=

．條件：（1）函數(shù)（2）（3）如果上述三個(gè)條件至少有一個(gè)不滿足，就有函在0點(diǎn)不連續(xù)，則點(diǎn)0就是函數(shù)的間數(shù)斷點(diǎn)．機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1.第一類(lèi)間斷點(diǎn)

例：討論函數(shù)符號(hào)函數(shù)

=sgn0，

=01，＞0

-1，＜0在=0點(diǎn)是否連續(xù)？

因?yàn)?/p>

=（－1）=－1，

=1=1，≠，所以

因函數(shù)在=0點(diǎn)不連續(xù)。

=解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

由函數(shù)符號(hào)函數(shù)

像這樣左右極限都存在但不≠，所以=0是=的間斷點(diǎn)．相等的間斷點(diǎn)，因?yàn)樗苑Q(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)．在它的圖形上總有個(gè)跳躍，。?！C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

討論函數(shù)=

≠3

１

=3

的連續(xù)性．

解：當(dāng)≠3時(shí)，

=（+3）=，≠3時(shí)函數(shù)當(dāng)=3時(shí)，

==（但＝１，所以≠，

故當(dāng)連續(xù)．+3）=6，因此，在＝3點(diǎn)函數(shù)不連續(xù)。例機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由于函數(shù)

≠。因此，在＝3是函數(shù)的間斷點(diǎn)。

．但如果重新定義

=6時(shí)，在連續(xù)，所以點(diǎn)=3為的可去間斷點(diǎn)．=3處說(shuō)明：第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可去、跳躍間斷點(diǎn)．633o

2.第二類(lèi)間斷點(diǎn)例:討論函數(shù)=tan在=

處的連續(xù)性．解:函數(shù)=tan在=

處沒(méi)有定義，=

是函數(shù)=tan的間斷點(diǎn)，tan=∞，所以，稱(chēng)這種間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)．機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因所以點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

說(shuō)明：的第二類(lèi)間斷點(diǎn)．因此，無(wú)窮間斷點(diǎn)是第二類(lèi)間斷點(diǎn)．除第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)都稱(chēng)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的,因此,由極限的運(yùn)算法則和連續(xù)的定義可得連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則：定理1：(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算)設(shè)函數(shù))(xf和)(xg則)()(xgxf)0)((01xg都在0x點(diǎn)連續(xù)。均在點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

二、連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

我們不證明，只給出幾何說(shuō)明。定理（有界性）若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在閉區(qū)間有界。

內(nèi)即：，有下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)，則函數(shù)“”表示“存在某個(gè)”或“能找到”

“”表示“任意”，或“任意一個(gè)”

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

一般來(lái)說(shuō)，開(kāi)區(qū)間（或半開(kāi)區(qū)間）的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)無(wú)界。說(shuō)明：例如，在半開(kāi)區(qū)間，不一定有界。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

若函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在閉區(qū)間能取到最與最大值小值。即：使

與且,有

abmM則函數(shù)定理（最值性）．．機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

說(shuō)明：間斷

定理的結(jié)論不一定成立。（1）對(duì)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)或閉區(qū)間上有點(diǎn)的函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)如：不存在最大值

,也不存在最小值。14。。。。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

也不存在最小值。-1+1.。。..機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

(2)函數(shù)的最大和最小值的點(diǎn)也可能是[a,b]的端點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

定理（介值性）ɑbmMξ1ξ2··機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

說(shuō)明：定理（介值性）指出：閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)可以取遍m和M之間的一切值。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

定理（零點(diǎn)定理）

幾何意義當(dāng)連續(xù)曲線的端點(diǎn)A、B在X軸的兩端時(shí)，曲線與X軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。bɑABξ1ξ2ξ3·····機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例：證明超越方程在內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根。證明：已知函數(shù)在連續(xù)，并且與根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)C，使即超越方程在內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

三、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或減少）的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)單調(diào)增且連續(xù)。單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的區(qū)間上是連續(xù)的.則它定理2：（反函數(shù)的連續(xù)性）即：且連續(xù)，增加（或減少）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

函數(shù)。例如：由定理2，所以在上是連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

則

設(shè)函數(shù)定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)處且，復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。處連續(xù)處連續(xù)復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù),

這表明極限符號(hào)與復(fù)合函數(shù)符號(hào)?可交換順序。說(shuō)明:且并有結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

求的極限函數(shù)處連續(xù)。則例：解：處連續(xù)，在在點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

解：例：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

四、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)