數(shù)值分析非線性方程組的數(shù)值方法第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性方程組解的復(fù)雜性第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,'r:',x2,y2,'b')xlabel('x'),ylabel('y')(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月幾類典型非線性問題第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：半線性橢圓型邊值問題解:(1)剖分求解域.YN+1N:210012….NN+1X第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對微分算子進行離散.在每個點(xi,yj)上的有限差分方程為在邊界上第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對非邊界點進行編號:順序為-----從下往上,從左往右相應(yīng)的解向量和右端向量分別為

第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月多元實函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

研究非線性方程組解的存在唯一性問題可轉(zhuǎn)化為研究不動點的存在唯一性。二、簡單迭代法及其收斂性

第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：

則對正整數(shù)p有第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月局部收斂性原理原理的局限性：（1）收斂域很難找（2）對非線性問題這是一個充分性原理，不是充分必要的，只有對線性問題，才是充分必要條件.如：第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月P=1，C<1為線性收斂，P=2為平方收斂。收斂速度

第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)非線性方程組的Newton型算法

一、Newton-Raphson方法的迭代格式

第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、同倫算法第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

求解非線性方程組的同倫算法%文件名：Homotopy.mfunctionroot=Homotopy(funcF,funcH,x,N,tol,Nmax)%功能:求解非線性方程組的同倫算法%輸入:%funcF-----原始方程函數(shù)句柄%funcH-----同倫方程函數(shù)句柄%x----初始迭代點%N(可選)----同倫參數(shù)t的劃分數(shù)（默認是10）%tol(可選)---精度要求（默認是1e-4）%Nmax(可選)---最大迭代次數(shù)（默認100次）%輸出:%root----解向量第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

ifsize(x,1)==1;x=x';endifnargin<6;Nmax=100;endifnargin<5|isempty(tol);tol=1e-4;endifnargin<4|isempty(N);N=10;endk=0;x0=x;n=length(x);dx=tol+1;f0=tol+1;form=1:Nt=m/N;while(norm(dx)>tol&norm(f0)>tol)&k<Nmax[jac,f0]=JacobianH(x,funcF,funcH,x0,t);dx=jac\(-f0);x=x+dx;

k=k+1;Enddx=tol+1;f0=tol+1;root=x;k=0;end第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

function[jac,f0]=JacobianH(x,func1,func2,x0,t)%計算同倫函數(shù)的Jacobian矩陣和函數(shù)值h=1.0e-6;n=length(x);jac=zeros(n);f0=feval(func2,x,func1,x0,t);fori=1:ntemp=x(i);x(i)=temp+h;f1=feval(func2,x,func1,x0,t);x(i)=temp;jac(:,i)=(f1-f0)/h;end第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例利用同倫算法求非線性方程組取初值x(0)=(10,5)’，t的劃分數(shù)N=4，精度tol=10-3。首先定義方程函數(shù)functionf=fex8_6(x)%定義方程F(x)=0f(1)=x(1)^2+x(2)^2-5;f(2)=x(1)^2-x(2)^2+3;f=f';再定義同倫函數(shù)f=HomotopyH(x,func,x0,t)%同倫函數(shù)f0=feval(func,x0);f=feval(func,x)+(t-1)*f0;然后運行以下主程序x0=[10,5]';tol=1e-3;N=4;root=Homotopy(@fex8_6,@HomotopyH,x0,N,tol)root=1.00002.0000

第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、擬牛頓法

第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月把牛頓迭代格式變?yōu)榈?8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

求解非線性方程組的Broyden秩1算法%文件名：QuasiNewton.mfunctionroot=QuasiNewton(myfun,x,tol,N)%功能：Broyden秩1擬牛頓法求解非線性方程組%輸入:%myfun----方程函數(shù)句柄%x----初始迭代點%tol(可選)-精度要求（默認是1e-4）%Nmax(可選)-最大迭代次數(shù)（默認100次）%輸出:%root---解向量n=length(x);ifsize(x,1)==1,x=x';endh=1e-4;B0=zeros(n);B1=zeros(n);第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月f0=feval(myfun,x);fori=1:ntemp=x(i);x(i)=x(i)+h;f1=feval(myfun,x);B0(:,i)=(f1-f0)/h;x(i)=temp;Enddx=B0\(-f0);k=0;whilenorm(dx)>tol&k<Nx1=x+dx;s=dx;f1=feval(myfun,x1);y=f1-f0;B1=B0+(y-B0*s)*s'/(s'*s);B0=B1;f0=f1;x=x1;dx=B0\(-f0);k=k+1;endroot=x;ifk==N,warning('已達最大迭代次數(shù)');endfprintf('迭代次數(shù)為:k=%d\n',k);第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例用Broyden秩1擬牛頓法求解如下非線性方程組在（1.5，0.75）附近的解首先定義方程函數(shù)functiony=fex8_5(x)y(1)=x(1)+2*x(2)-3;y(2)=2*x(1)^2+x(2)^2-5;y=y';然后運行以下主程序x0=[1.5,0.75]';root=QuasiNewton(@fex8_5,x0)迭代次數(shù):k=1root=1.48810.7560第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)無約束優(yōu)化算法

第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、高斯-牛頓法

第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月構(gòu)