數(shù)值分析樣條插值第1頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例.sinx

在區(qū)間[0，

]上的插值逼近

1.二次插值

2.兩點(diǎn)埃爾米特插值3.分段埃爾米特插值x 0 /2

Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0

Sinx 0 0Cosx 1 –12/18第2頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,'o')x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')被插值函數(shù):-5≤x≤53/18第3頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,'o')4/18第4頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義

5.4

給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)分劃:a=x0<x1<…<xn=b已知

f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果滿足:(1)

S(x)在

[xj，xj+1]上為三次多項(xiàng)式;

(2)

S”(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù);

(3)

S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).則稱

S(x)為三次樣條插值函數(shù).5/18第5頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)x∈[xj,xj+1](j=0,1,…n-1)時(shí)

Sj(x)=aj+bjx+cjx2+djx3插值條件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)連續(xù)性條件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S’(xj+0)=S’(xj-0)

(j=1,···,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)

(j=1,···,n-1)由樣條定義,可建立方程(4n-2)個(gè)！！

n個(gè)三次多項(xiàng)式,待定系數(shù)共4n個(gè)??！方程數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)？？6/18第6頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)自然邊界條件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例

5.7已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]

上的三次自然樣條(滿足自然邊界條件).解設(shè)

則有:–a1+b1–c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1d1=d2,c1=c2,b1=b2

(2)周期邊界條件:S’(x0)=S’(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定邊界條件:S’(x0)=f’(x0),S’(xn)=f’(xn)7/18第7頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由自然邊界條件:–6a1+2b1=0,6a2+2b2=0解方程組,得

a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0問(wèn)題的解

x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2');f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2');t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x28/18第8頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用分段Hermite兩點(diǎn)插值推導(dǎo)樣條已知函數(shù)表xx0

x1······xnf(x)y0

y1······yn設(shè)

f(x)在各插值節(jié)點(diǎn)

xj處的一階導(dǎo)數(shù)為

mj取

xj+1–xj=h，(j=0,1,2,···,n).當(dāng)

x∈[xj,xj+1]時(shí),

分段Hermite插值9/18第9頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由S”(x)連續(xù),有等式:S”(xj+0)=S”(xj–0)考慮

S”(x)在區(qū)間[xj,xj+1]和[xj-1,xj]上表達(dá)式.當(dāng)

x∈[xj,xj+1]時(shí),

S(x)由基函數(shù)組合而成10/18第10頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11/18第11頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理,有聯(lián)立兩式,得(J=1,2,······,n-1)自然邊界條件:S”(x0)=0,S”(xn)=012/18第12頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5.7已知函數(shù)表x

–101f(x)

101

m0=-3/2

m1=0

m2=3/2

x

–101H(x)

101H’(x)-3/203/2求

[–1，1]上的三次自然樣條(滿足自然邊界條件).

13/18第13頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x∈[-1,0]x∈[0,1]第1個(gè)小區(qū)間曲率計(jì)算公式第2個(gè)小區(qū)間14/18第14頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月樣條插值函數(shù)的極性設(shè)f(x)∈C2[a,b],對(duì)于a=x0<x1<…<xn=b,有f(xj)=yj(j=0,1,···,n).S(x)是滿足S(xj)=yj(j=0,1,···,n)的三次自然樣條.則有

||S”(x)||≤||f”(x)||證明:15/18第15頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以即樣條函數(shù)S(x)在[a,b]上的總曲率最小.16/18第16頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一維插值:yi=interp1(x,y,xi,

‘method

’)

methodnearest

最近點(diǎn)插值

linear線性插值

spline樣條插值

cubic立方插值

x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10;yi=