第4章自動控制系統(tǒng)的時域分析主講教師：朱高偉自動控制原理第4章自動控制系統(tǒng)的時域分析主講教師：朱高偉自動控制原1第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析主要內(nèi)容自動控制系統(tǒng)的時域指標一階系統(tǒng)的階躍響應二階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的階躍響應自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析主要內(nèi)容2學習重點了解典型信號和自動控制系統(tǒng)時域指標的定義；

掌握一階和二階系統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標計算方法；

建立系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)暫態(tài)響應之間的對應關(guān)系；了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的影響，能夠定性分析高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應過程；理解和掌握線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，會用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析學習重點第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析3第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析1.分析方法

時域、頻域2.時域分析的目的

設(shè)法從微分方程判斷出系統(tǒng)運動的主要特征而不必準確地把微分方程解出來，從工程角度分析系統(tǒng)運動規(guī)律。第4章

自動控制系統(tǒng)的時域分析1.分析方法44.1自動控制系統(tǒng)的時域指標1.對控制性能的要求(1)系統(tǒng)應是穩(wěn)定的；(2)系統(tǒng)達到穩(wěn)定時，應滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；(3)系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標1.對控制性能的要求54.1自動控制系統(tǒng)的時域指標2.自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號（1）階躍函數(shù)A=1時稱為單位階躍函數(shù)，

4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標2.自動控制系統(tǒng)的典型輸入64.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（2）斜坡函數(shù)A=1時稱為單位斜坡函數(shù)4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（2）斜坡函數(shù)A=1時稱為74.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（3）拋物函數(shù)當A=1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)

4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（3）拋物函數(shù)當A=1/284.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（4）脈沖函數(shù)當A=1時，稱為單位脈沖函數(shù)（t）4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（4）脈沖函數(shù)當A=1時，94.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（5）正弦函數(shù)

用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標（5）正弦函數(shù)104.1自動控制系統(tǒng)的時域指標本章主要以單位階躍函數(shù)作為系統(tǒng)的輸入量來分析系統(tǒng)的暫態(tài)響應。在工程上，許多高階系統(tǒng)常常具有近似一、二階系統(tǒng)的時間響應。因此，深入研究一、二階系統(tǒng)的性能指標，有著廣泛的實際意義。4.1自動控制系統(tǒng)的時域指標本章主要以單114.2一階系統(tǒng)的階躍響應

1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型4.2一階系統(tǒng)的階躍響應1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型124.2一階系統(tǒng)的階躍響應

2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應4.2一階系統(tǒng)的階躍響應2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應134.2一階系統(tǒng)的階躍響應

ts=3T(s)，

（對應5%誤差帶）

ts=4T(s)，

（對應2%誤差帶）系統(tǒng)的時間常數(shù)T越小，調(diào)節(jié)時間ts越小，響應過程的快速性也越好。4.2一階系統(tǒng)的階躍響應ts=3T(s)，（對應5%144.2一階系統(tǒng)的階躍響應

例3-1一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間ts；如果要求ts(5%)0.1(秒)，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應取何值？4.2一階系統(tǒng)的階躍響應例3-1一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下154.2一階系統(tǒng)的階躍響應

解：（1）首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)得T=0.1（s）因此得調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3(s)，（取5%誤差帶）

4.2一階系統(tǒng)的階躍響應解：得T=0.1（s）164.2一階系統(tǒng)的階躍響應

(2)求滿足ts(5%)

0.1（s）的反饋系數(shù)值。假設(shè)反饋系數(shù)Kt(Kt>0)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得T=0.01/Kt根據(jù)題意要求ts(5%)

0.1（s）則ts=3T=0.03/Kt0.1(s)所以Kt0.34.2一階系統(tǒng)的階躍響應(2)求滿足ts(5%)174.3二階系統(tǒng)的階躍響應1.典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性

假設(shè)初始條件為零，當輸入量為單位階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應1.典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性假184.3二階系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)的特征根為過阻尼4.3二階系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根194.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的拉氏變換：

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的拉氏變換：204.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的時間函數(shù)：結(jié)論：后一項的衰減指數(shù)遠比前一項大得多。這時，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應就類似于一階系統(tǒng)的響應。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的時間函數(shù)：結(jié)論：后一214.3二階系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的特征根為輸出量的拉氏變換：（2）臨界阻尼4.3二階系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的特征根為輸出量的拉氏變換224.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的時間函數(shù)：4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的時間函數(shù)：234.3二階系統(tǒng)的階躍響應（3）欠阻尼（）系統(tǒng)的特征根為4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（3）欠阻尼（）244.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的拉氏變換：4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的拉氏變換：25式中：阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率

阻尼角

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的時間函數(shù)：式中：阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率4.264.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：在的情況下，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應的暫態(tài)分量為一按指數(shù)衰減的簡諧振動時間函數(shù)；振蕩程度與

有關(guān)：

越小，振蕩越劇烈。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：在的情況下，274.3二階系統(tǒng)的階躍響應（4）無阻尼（

=0）

系統(tǒng)的特征根為

輸出量的拉氏變換為

二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（4）無阻尼（=0）284.3二階系統(tǒng)的階躍響應綜上所述，在不同的阻尼比時，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應有很大的區(qū)別，因此阻尼比

是二階系統(tǒng)的重要參量。當

=0時，系統(tǒng)不能正常工作，而在

=1時，系統(tǒng)暫態(tài)響應進行的又太慢。所以，對二階系統(tǒng)來說，欠阻尼情況（）是最有實際意義的。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應綜上所述，在不同的阻尼294.3二階系統(tǒng)的階躍響應2.二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標當時，典型二階系統(tǒng)的輸出響應為快速性指標：上升時間tr

，調(diào)節(jié)時間ts平穩(wěn)性指標：最大超調(diào)量

%，振蕩次數(shù)

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應2.二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標快速304.3二階系統(tǒng)的階躍響應2.二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標（1）上升時間tr：

系統(tǒng)的輸出第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間。令t=tr時，xc（t）=1得4.3二階系統(tǒng)的階躍響應2.二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標令t314.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：當n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當一定時，n越大，則tr越短。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：當n一定時，阻尼比越大324.3二階系統(tǒng)的階躍響應（2）最大超調(diào)量

%

輸出最大值相對于輸出穩(wěn)態(tài)值的誤差。用公式表示為最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t=tm

時刻。令

得4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（2）最大超調(diào)量%最大超調(diào)334.3二階系統(tǒng)的階躍響應因此即因為在n=1時出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有。峰值時間為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應因此344.3二階系統(tǒng)的階躍響應將代入得最大值為因為所以4.3二階系統(tǒng)的階躍響應將代354.3二階系統(tǒng)的階躍響應根據(jù)超調(diào)量的定義在單位階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)值，因此得最大超調(diào)量為結(jié)論：二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應根據(jù)超調(diào)量的定義結(jié)論：二階系統(tǒng)364.3二階系統(tǒng)的階躍響應（3）調(diào)節(jié)時間ts與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍（一般取5%～2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間。在暫態(tài)過程中的偏差為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（3）調(diào)節(jié)時間ts374.3二階系統(tǒng)的階躍響應當或0.02時，得忽略正弦函數(shù)的影響，認為指數(shù)項衰減到0.05或0.02時，過渡過程即進行完畢。這樣得到

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應當或0.02時384.3二階系統(tǒng)的階躍響應由此求得調(diào)節(jié)時間為結(jié)論：調(diào)節(jié)時間ts近似與成反比關(guān)系。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應由此求得調(diào)節(jié)時間為結(jié)論：394.3二階系統(tǒng)的階躍響應（4）振蕩次數(shù)

在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)，波動的次數(shù)。式中：

為阻尼振蕩的周期時間。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（4）振蕩次數(shù)式中：404.3二階系統(tǒng)的階躍響應3.二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標之間的關(guān)系4.3二階系統(tǒng)的階躍響應3.二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能414.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：（1）阻尼比是二階系統(tǒng)的一個重要參量，由值的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。在過阻尼（）情況下，暫態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時間較長，系統(tǒng)反應遲緩。當，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。（2）一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（）情況下工作。但是過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，暫態(tài)特性品質(zhì)差。應注意到，最大超調(diào)量只和阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。因此，通?？梢愿鶕?jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應結(jié)論：42（3）調(diào)節(jié)時間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個特征參數(shù)的乘積成反比。在阻尼比一定時，可以通過改變自然振蕩角頻率來改變暫態(tài)響應的持續(xù)時間。越大，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越短。（4）為了限制超調(diào)量，并使調(diào)節(jié)時間較短，阻尼比一般應在0.4～0.8之間，這時階躍響應的超調(diào)量將在1.5%～25%之間。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（3）調(diào)節(jié)時間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個特征參數(shù)的乘434.3二階系統(tǒng)的階躍響應4.二階工程最佳參數(shù)令4.3二階系統(tǒng)的階躍響應4.二階工程最佳參數(shù)令444.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-2有一位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中Kk

=4。求該系統(tǒng)的：1）自然振蕩角頻率；2）系統(tǒng)的阻尼比；3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；4）如果要求，應怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk值。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-2有一位置隨動系統(tǒng)，454.3二階系統(tǒng)的階躍響應解

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫成標準形式由此得（1）自然振蕩角頻率

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為464.3二階系統(tǒng)的階躍響應（2）阻尼比（4）當要求時，（3）超調(diào)量調(diào)節(jié)時間4.3二階系統(tǒng)的階躍響應（2）阻尼比（4）當要求474.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-3為了改善例3-2系統(tǒng)的暫態(tài)響應性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負反饋，如下圖所示。求微分時間常數(shù)。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-3為了改善例3-2系484.3二階系統(tǒng)的階躍響應解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為494.3二階系統(tǒng)的階躍響應為了使，令。由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為4.3二階系統(tǒng)的階躍響應為了使504.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-3說明：當系統(tǒng)加入局部微分負反饋時，相當于增加了系統(tǒng)的阻尼比，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但同時也降低了系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應例3-3說明：514.3二階系統(tǒng)的階躍響應5.零、極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響(1)具有零點的二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析

具有零點的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中：——時間常數(shù)。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應5.零、極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能524.3二階系統(tǒng)的階躍響應令，則將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖等效成下圖所示的結(jié)構(gòu)。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應令，則將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)534.3二階系統(tǒng)的階躍響應由之得在初始條件為零時，取拉氏反變換為4.3二階系統(tǒng)的階躍響應由之得在初始條件為零時，取拉544.3二階系統(tǒng)的階躍響應得即式中，l為極點與零點間的距離，可由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點在復平面上所在的位置確定。

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應得即式中，l為極點與零點554.3二階系統(tǒng)的階躍響應零極點在s平面上的分布如下圖所示由左圖知4.3二階系統(tǒng)的階躍響應零極點在s平面上的分布如下圖所564.3二階系統(tǒng)的階躍響應所以式中4.3二階系統(tǒng)的階躍響應所以式中574.3二階系統(tǒng)的階躍響應令，為閉環(huán)傳遞函數(shù)的復數(shù)極點的實部與零點的實部之比，則得所以結(jié)論：由于閉環(huán)傳遞函數(shù)零點的存在，振蕩性增強。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應令，為閉環(huán)傳584.3二階系統(tǒng)的階躍響應(2)二階系統(tǒng)加極點的暫態(tài)響應系統(tǒng)傳遞函數(shù)當時，特征方程式的三個根為

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應(2)二階系統(tǒng)加極點的暫態(tài)594.3二階系統(tǒng)的階躍響應因此得上式中各項的待定系數(shù)為

式中是負實數(shù)極點與共軛復數(shù)極點的負實部之比4.3二階系統(tǒng)的階躍響應因此得上式中各項的待定系數(shù)為604.3二階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的極點分布如下圖所示4.3二階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的極點分布如下圖所示614.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的暫態(tài)響應為或

式中

4.3二階系統(tǒng)的階躍響應輸出量的暫態(tài)響應為或式中624.3二階系統(tǒng)的階躍響應，以為參變量時三階系統(tǒng)的單位階躍響應如下圖所示結(jié)論：具有負實數(shù)極點的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，而上升時間和調(diào)節(jié)時間增長，超調(diào)量減小，也就是相當于系統(tǒng)的慣性增強了。4.3二階系統(tǒng)的階躍響應，以為參變量634.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式：將分子和分母分解成因式：

4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式：644.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且全部的極點和零點都互不相同，而極點中包含有共軛復數(shù)極點，則當輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為式中：；q為實數(shù)極點的個數(shù)，r為共軛極點的對數(shù)。4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且全部的極點654.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應用部分分式展開得單位階躍響應為4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應用部分分式展開得664.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結(jié)論（1）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應各分量衰減得快慢，系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越小，即在S平面左側(cè)離虛軸越近，則相應的分量衰減越慢，對暫態(tài)影響越大。（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應各分量的系數(shù)不僅和極點在S平面中的位置有關(guān)，并且與零點的位置有關(guān)。4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結(jié)論674.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果某極點-pj靠近一個閉環(huán)零點，遠離原點及其它極點，則相應項的系數(shù)Aj比較小，該暫態(tài)分量的影響也就越小。如果極點和零點靠得很近（稱為偶極子），則該極點對暫態(tài)響應幾乎沒有影響。如果某極點-pj遠離閉環(huán)零點，但與原點相距較近，則相應的系數(shù)Aj將比較大。因此離原點很近并且附近沒有閉環(huán)零點的極點，其暫態(tài)分量項不僅幅值大，而且衰減慢，對系統(tǒng)暫態(tài)響應的影響很大。4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果某極點-pj靠近一個閉環(huán)零684.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應（3）主導極點：如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部小于其它極點的實部的1/5，并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的暫態(tài)響應主要由這一極點決定。如果找到一對共軛復數(shù)主導極點，那么，高階系統(tǒng)就可以近似地當作二階系統(tǒng)來分析，并可以用二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標來估計系統(tǒng)的暫態(tài)特性。

在設(shè)計一個高階控制系統(tǒng)時，我們常常利用主導極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)主導極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標來設(shè)計系統(tǒng)。4.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應（3）主導極點：如果高階系統(tǒng)中694.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是穩(wěn)定的。用代數(shù)的方法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介紹的內(nèi)容。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一個線性系統(tǒng)正常工704.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)1.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件

系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）全部負實數(shù)或具有負實部的共軛復數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根分布在S平面虛軸的左側(cè)。

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)1.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概714.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2.勞斯判據(jù)系統(tǒng)的特征方程式的標準形式：列勞斯表4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2.勞斯判據(jù)列勞斯表724.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)：

系統(tǒng)特征方程的全部根都在S左半平面的充分必要條件是勞斯表的第一列系數(shù)全部是正數(shù)。

方程在右半平面根的個數(shù)等于勞斯表中第一列各元改變符號的次數(shù)。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)：734.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-4系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個根在S右半平面

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-4系統(tǒng)的特征方程如744.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)建立勞斯表過程中的兩種特殊情況把“0”用一個小的正數(shù)代替，繼續(xù)計算。若上下符號相同，則處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（1）勞斯表中第一列出現(xiàn)“0”4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)建立勞斯表過程中的兩種特殊754.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-5系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表第1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號不變，故有一對虛根。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。將特征方程式分解，有解得根為4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-5系統(tǒng)的特征方程如764.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-6系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個根具有正實部。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-6系統(tǒng)的特征方程如774.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（2）勞斯表的某一行中，所有元都等于零這表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一個輔助多項式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個全0行，然后繼續(xù)計算。

若第一列無變號則系統(tǒng)只有虛根，臨界穩(wěn)定；若第一列有變號則系統(tǒng)右側(cè)有根，不穩(wěn)定；4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（2）勞斯表的某一行中，所784.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-7系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3～s0各項，用s4行的各元構(gòu)成輔助方程式

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-7系統(tǒng)的特征方程如794.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結(jié)論：在新得到的勞斯表中第1列沒有變號，因此可以確定在S右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

它的導函數(shù)為用導函數(shù)的系數(shù)4和12代替行相應的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結(jié)論：在新得到的勞斯表中第804.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)這些虛根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是由輔助方程求得虛根為4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)這些虛根可由輔助方程式求出814.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)3.胡爾維茨判據(jù)系統(tǒng)的特征方程式的標準形式：構(gòu)造胡爾維茨行列式D

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)3.胡爾維茨判據(jù)824.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復平面的充分必要條件是上述行列式D的各階主子式均大于0，即

與勞斯表中第1列的系數(shù)比較，存在如下關(guān)系：

若均為正，則D1，D2，…，Dn自然也都為正，反之亦然?？梢妱谒狗€(wěn)定判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)實質(zhì)是一致的。當n較大時，胡爾維茨判據(jù)計算量急劇增加，所以它通常只用于的系統(tǒng)。

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程834.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)4.謝緒愷判據(jù)系統(tǒng)的特征方程式：上式根全部具有負實部的必要條件為其根全部具有負實部的充分條件為1976年中國學者聶義勇進一步證明，可將此充分條件放寬為此判據(jù)被稱為謝緒愷判據(jù)。謝緒愷判據(jù)完全避免了除法，且節(jié)省了計算量。

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)4.謝緒愷判據(jù)844.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)5.參數(shù)對穩(wěn)定性的影響例3-8系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，Kk為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。解：系統(tǒng)特征方程為

4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)5.參數(shù)對穩(wěn)定性的影響854.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)解：列勞斯表若要系統(tǒng)穩(wěn)定，應有4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)解：列勞斯表若要系統(tǒng)穩(wěn)定，864.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)由此可見，將各時間常數(shù)的數(shù)值錯開，可以允許較大的開環(huán)放大系數(shù)。當時，若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則當時，若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)由此可見，將各時間常數(shù)的數(shù)874.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)6.相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量

應用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，即只解決了絕對穩(wěn)定性的問題。在處理實際問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因為，對于實際的系統(tǒng)，所得到參數(shù)值往往是近似的，并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量的問題。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)6.相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕884.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)方法：

利用代數(shù)判據(jù)，以代入系統(tǒng)特征方程式，寫出z

的多項式，然后用代數(shù)判據(jù)判定z

的多項式的根是否都在新的虛軸的左側(cè)。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)方法：894.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-9系統(tǒng)特征方程式為列勞斯表第一列中各項符號沒有改變，所以沒有根在S平面的右側(cè)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)例3-9系統(tǒng)特征方程式904.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)檢查上述系統(tǒng)是否有裕量。將代入原特征方程式，得新的特征方程為第一列無變號，說明系統(tǒng)至少有

的穩(wěn)定裕量。

列出勞斯表4.5自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)檢查上述系統(tǒng)是否有914.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

穩(wěn)態(tài)誤差

在穩(wěn)態(tài)條件下，輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間的差值。擾動穩(wěn)態(tài)誤差由外擾而引起的，常用這一誤差來衡量恒值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)。因為對于恒值系統(tǒng)，給定量是不變的。給定穩(wěn)態(tài)誤差衡量隨動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)品質(zhì)的指標。因為對于隨動系統(tǒng)，給定量是變化的，要求輸出量以一定的精度跟隨給定量的變化。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差924.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

1.

擾動穩(wěn)態(tài)誤差

擾動誤差的拉氏變換：

擾動誤差的傳遞函數(shù)：

4.6穩(wěn)態(tài)誤差1.擾動穩(wěn)態(tài)誤差擾動誤差的拉氏934.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為4.6穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動作用下944.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

例3-10速度負反饋系統(tǒng)

4.6穩(wěn)態(tài)誤差例3-10速度負反饋系統(tǒng)954.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

在負載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換為

式中：——系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。

當負載為階躍函數(shù)時，。則轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)誤差為

由于這一系統(tǒng)在負載擾動下存在穩(wěn)態(tài)誤差，所以稱為有差系統(tǒng)。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差在負載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換964.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

則速度誤差的拉氏變換為式中若將上述調(diào)速系統(tǒng)中的比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器4.6穩(wěn)態(tài)誤差則速度誤差的拉氏變換為式中若將上述974.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

該系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。在開環(huán)傳遞函數(shù)中，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍擾動的穩(wěn)定誤差。

當負載電流作階躍變化時，有4.6穩(wěn)態(tài)誤差該系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。在開環(huán)傳遞函數(shù)中984.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

2.給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)

誤差定義為

這個誤差是可以量測的，但是這個誤差并不一定反映輸出量的實際值與期望值之間的偏差。另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實際值與期望值的差，但這一誤差在實際系統(tǒng)中有時無法測量。

對于左圖所示單位反饋系統(tǒng)，上述兩種誤差定義是相同的。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差2.給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)994.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

給定誤差的傳遞函數(shù)為

根據(jù)拉氏變換的終值定理，給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為4.6穩(wěn)態(tài)誤差給定誤差的傳遞函數(shù)為根據(jù)拉氏變換1004.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為式中：

N——開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的階次4.6穩(wěn)態(tài)誤差開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為式中：N—1014.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

N=0，0型系統(tǒng)；N=1，Ⅰ型系統(tǒng)；N=2，Ⅱ型系統(tǒng)。N越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差。一般采用的是0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差N=0，0型系統(tǒng)；1024.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

（1）典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析0型系統(tǒng)：令，稱為位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Ⅰ型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：①

單位階躍函數(shù)輸入4.6穩(wěn)態(tài)誤差（1）典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)1034.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

0型系統(tǒng)：令，稱為速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)②單位斜坡函數(shù)輸入Ⅰ型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：4.6穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)：令1044.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

0型系統(tǒng)：令，稱為加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)③單位拋物線函數(shù)輸入Ⅰ型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：4.6穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)：令1054.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

④誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系1t系統(tǒng)0型00型00型004.6穩(wěn)態(tài)誤差④誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系1064.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

（2）動態(tài)誤差系數(shù)既可求出穩(wěn)態(tài)值，又可以了解到進入穩(wěn)態(tài)后，誤差隨時間變化的規(guī)律。

誤差傳遞函數(shù)為如果將分子和分母中的冪次相同的各項合并，則可寫成

4.6穩(wěn)態(tài)誤差（2）動態(tài)誤差系數(shù)誤差傳遞函數(shù)為1074.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

用分母多項式除分子多項式，可把上式寫為如下的s的升冪級數(shù)由此可得誤差的拉氏變換為

式中k0——動態(tài)位置誤差系數(shù)；k1——動態(tài)速度誤差系數(shù)；k2——動態(tài)加速度誤差系數(shù)。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差用分母多項式除分子多項式，可把上式1084.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

穩(wěn)態(tài)誤差值進入穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)誤差為4.6穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差值進入穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)誤差為1094.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

例3-11有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算輸入量為和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其時間函數(shù)。解該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

展開成s的升冪級數(shù)，得

4.6穩(wěn)態(tài)誤差例3-11有一單位反饋系統(tǒng)，其1104.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

故動態(tài)誤差系數(shù)為當給定量為階躍函數(shù)時穩(wěn)態(tài)誤差為

穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為

4.6穩(wěn)態(tài)誤差故動態(tài)誤差系數(shù)為當給定量為階躍函1114.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

因為，（不計時間等于零時的脈沖值），故得當給定量為單位斜坡函數(shù)時穩(wěn)態(tài)誤差值為穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為4.6穩(wěn)態(tài)誤差因為1124.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

例3-12一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求輸入量為時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時間函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)給定誤差的傳遞函數(shù)為

用分子多項式除以分母多項式，可得s的升冪級數(shù)

4.6穩(wěn)態(tài)誤差例3-12一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)1134.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

故知。誤差的拉氏變換為已知給定輸入量為則4.6穩(wěn)態(tài)誤差故知1144.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為

4.6穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差1154.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

（3）減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法①增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)值不能任意增大，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。②提高開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的階次NN值一般不超過2。③采用補償?shù)姆椒ㄖ缸饔糜诳刂茖ο蟮目刂菩盘栔校似钚盘柾?，還引入與擾動或給定量有關(guān)的補償信號，以提高系統(tǒng)的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復合控制或前饋控制。4.6穩(wěn)態(tài)誤差（3）減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法①增大系1164.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

復合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一閉環(huán)傳遞函數(shù)為

4.6穩(wěn)態(tài)誤差復合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一閉環(huán)傳遞函數(shù)為1174.6穩(wěn)

態(tài)

誤

差

給定誤差的拉氏變換為

如果選補償校正裝置的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)補償后的誤差

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

即

這種將誤差完全補償?shù)淖饔梅Q為完全補償。式稱為按給定作用的不變性條件。

4.6穩(wěn)態(tài)誤差給定誤差的拉氏變換為如果選補