組合(一）一、復習1、排列的定義：一般地說，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2、排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示。3、排列數(shù)公式：?···?3?2?1！規(guī)定0！=1)1()2(

)1(

+---=mnnnnAmn…1．全排列數(shù)（階乘）

2．階乘變形

補充提示(1)、從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題甲乙乙丙乙甲丙乙甲丙丙甲從3名同學中選出2名，不同的選法有3種：甲、乙乙、丙丙、甲所選出的2名同學之間與無順序關(guān)系，即甲、乙和乙、甲是同一種選法。(2)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？從不在同一條直線上的三點A、B、C中，每次取出兩個點作一條直線，問可以得到幾條不同的直線？根據(jù)直線的性質(zhì)，過任意兩點可以作一條直線，并且只能作一條直線，所以過兩點只能連成一條直線，因此可以得到三條直線：AB、BC、CA，直線AB與BA直線是一條直線，這也就是說，“把兩點連成直線”時，不考慮點的順序。以上兩個引例所研究的問題是不同的，但是它們有數(shù)量上的共同點，即它們的實質(zhì)都是：從3個不同的元素里每次取出2個元素，不管怎樣的順序并成一組，一共有多少不同的組？一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。一、組合定義排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它的根本區(qū)別。

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。組合定義思考:排列與組合的概念，它們有什么共同點、不同點？

共同點:都要“從n個不同元素中任取m個元素”

不同點:對于所取出的元素，排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不管怎樣的順序并成一組”．排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無關(guān)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。思考：ab和ba是幾個排列？幾個組合？組合定義如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如何，都是相同的組合．當兩個組合中的元素不完全相同（即使只有一個元素不同），就是不同的組合。判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?

有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分為人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組，共有多少種分法?組合問題組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題排列、組合是不同的兩個事件，區(qū)分的辦法是首先弄清楚事件是什么？區(qū)別的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的辦法是：把問題的一個選擇結(jié)果找出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，為組合問題練習：在4個不同元素a、b、c、d中取出2個，共有多少種不同的組合？請你寫出所有的組合。abacadbcbdcd從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號表示組合數(shù)定義注意：是一個數(shù)，應該把它與“組合”區(qū)別開來．

由前面練習知（1）從3個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)（2）從4個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)思考：從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)C43是多少？C32=3C42=6由于從4個不同元素中取出3個的排列數(shù)A43可以求得，我們可以考察一下C43和A43的關(guān)系。從4個不同元素a、b、c、d中取出3個元素的組合與排列的關(guān)系如下：組合排列abcabcacbbacbcacabcbaabdabdadbbadbdadabdbaacdbcdacdadccadcdadacdcabcdbdccbdcdbdbcdcb每一個組合都對應著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)A43，可以分為以下兩步：第一步，從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有C43（=4）個；第二步，對每一個組合中的3個不同元素作全排列，各有A33（=6）個。根據(jù)分步計數(shù)原理，得因此，一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)Anm，可分為以下2步：第一步，從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，共有Cnm個；第二步，對每一個組合中的m個不同元素作全排列，各有Amm個。根據(jù)分步計數(shù)原理，得因此，這里并且m≤n這個公式叫做組合數(shù)公式組合數(shù)公式例1、計算（1）C74；（2）C107證明：解：由題意可得：解得當x=2時，原式的值為4當x=3時，當x=4時，原式的值為7原式的值為11所求的值為4或7或11練習2、甲，乙，丙，丁4個足球隊舉行單循環(huán)賽：（1）共需比賽多少場？列出各場比賽的雙方；（2）冠亞軍共有多少種可能？列出所有冠亞軍情況。解（1）共需甲、乙、丙、丁乙、丙、丁丙、?。?）冠亞軍共有甲冠軍乙丙丁亞軍