單跨梁的彎曲理論第二章§2-1梁的彎曲微分方程式及其積分基本概念：梁：單跨梁：基本假設：平斷面假設。（在純彎曲條件下嚴格滿足）符號法則：梁的撓度v——向下為正。梁的斷面轉角dv/dx——順時針方向為正。梁斷面的彎矩M——在左斷面逆時針方向為正，右斷面順時方向為正。梁端面的剪力N——在左斷面向下為正，在右斷面向上為正。本節(jié)尋求梁撓度曲線方程式的基本方法：初參數法僅在兩端有支座支持的梁，稱之為“單跨梁”。受橫向外載荷作用而發(fā)生彎曲變形的桿件。梁的彎曲微分方程式如下圖一單跨直梁。假定此梁有一對稱面xOy，并規(guī)定x軸在梁的中性層上，向右為正，ｙ軸向下為正，ｚ軸ｘ,ｙ與組成右手坐標系統(tǒng)。梁的外荷重限于在xOy平面內，于是梁將發(fā)生xOy平面內的彎曲。PqyxOdxxyzv彎曲時，x軸上點的垂向位移叫做梁的“撓度”，v(x)叫做梁的“撓曲線”，v的正向與y軸的正向相同oxy

根據平斷面假設，梁上原來相距為dx的兩個斷面變形后將相互轉動如圖(a)，(b)為梁的斷面。，并規(guī)定彎矩M正向如圖所示:ydxq(x)dxMNN+dNM+dM于是：(a)(b)

由微分學知識：彎曲正應力合力為于是得到：

列出微段靜力平衡方程式：及（1）變形分析（2）物理方程（3）梁斷面合力（4）微段上力的平衡條件梁的彎曲微分方程式的解

逐次積分分析Oblxyq(x)POblxyacxd現應用這個概念于在跨度中受集中力作用的梁。mPOxbcyad綜上所述，如圖對于一般荷重作用下的撓曲線方程式可表示如下：q(x)m由§2-2梁的支座及邊界條件自由支持在剛性支座上如圖：剛性固定在剛性支座上如圖:RR彈性支座vvAA左端斷面：右端斷面：彈性支座邊界條件為：自由支持在彈性支座上的邊界條件為：剛性固定在彈性支座上的邊界條件為：彈性固定端MM等價于節(jié)點受到的力梁受到的力大小相等方向相反MM柔度系數：單位彎矩引起的轉動角度。剛度系數：單位位移引起的力矩左端斷面：右端斷面：彈性固定端邊界條件為：梁端彈性固定在剛性支座上：彈性固定在彈性支座上：如果，表示是完全自由端qOylx例1如圖，求兩端自由支持在剛性支座上，受均布荷重作用的梁的撓曲線解：邊界條件：該題特點：靜定結構，可直接得到節(jié)點上的約束反力：討論：本梁約束的特點、位移的特點、內力分布的特點若梁兩端為自由支持在彈性支座的邊界，撓曲線及內力分布如何？若改變梁兩端彈性支座的剛度系數或柔度系數，撓曲線及內力分布如何？PAxy

例2

如圖，求受集中力作用的單跨梁的撓曲線方程式。梁的左端為彈性固定端，柔性系數為；梁的右端為彈性支座，柔性系數為解：x=0處的邊界條件為:x=l處的邊界條件為:=0討論：梁為超靜定結構，彈性固定端及彈性支座的柔度系數變化對位移及梁內力分布會產生什么影響？xyl例3如圖，兩端剛性固定的梁，不受外荷重，當其由支座發(fā)生位移時，求其撓曲線與斷面彎矩與剪力。因左端為剛性固定，故所以：當x=L時，故解得：撓曲線方程式為：梁兩端剪力均為：梁兩端彎矩均為：討論彎矩圖與剪力圖的分布特點§2-3梁的彎曲要素表及應力計算單跨梁的彎曲要素表由于目前梁的彎曲公式是在小變形與材料符合胡克定律的前提下導得的，所以梁的彎曲要素與梁上的外載荷成正比，或梁的彎曲要素與外力成線性關系。這樣，如果梁上受到幾種不同的外力作用時，就可以用“疊加原理”（Principleofsuperposition)來進行計算。PvM例1如圖，求梁中點撓度、端點轉角并畫出梁的彎矩圖、剪力圖。梁上所受的外力為集中外彎矩m及集中力P,并已知m=0.2Pl。解：將此梁分為一個僅受外彎矩m的梁及一個僅受集中力P的梁，疊加起來得：Pvmv1v2m0.15Pl0.2Pl0.2Pl0.25Pl0.7P0.3P0.2P0.5P0.5PPQ例2

如圖，計算一端剛性固定另一端自由支持梁的中點撓度，右端轉角并畫出梁的彎矩、剪力圖。解：PPQMPQPQM彎矩圖剪力圖m例3計算如圖兩端剛性固定梁的彎曲要素解：mM1M2AP例4計算如圖一端彈性固定，另一端彈性支座梁的中點撓度、端點轉角并畫出彎矩、剪力圖。v1Pm已知解：先求出彈性固定段彎矩：梁化為：v1APPm梁的應力斷面距中性軸y處的正應力為如下圖梁的剪應力產生的原因