第四章留數(shù)及其應(yīng)用本章介紹孤立奇點、留數(shù)的概念；孤立奇點處留數(shù)的計算；并將其應(yīng)用于實函數(shù)積分的計算.§4.1孤立奇點1可去奇點2極點3本性奇點本章將利用函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式研究函數(shù)在孤立奇點處的性質(zhì).如果函數(shù)f(z)在z0點不解析,則稱z0是f(z)的

一個奇點.如果z0

是f(z)的一個奇點,且存在d>0,使得f(z)在內(nèi)解析，則稱z0

是f(z)的孤立奇點.例如z=0是函數(shù)和的孤立奇點.但z=0都是奇點.不是函數(shù)的孤立奇點,因為則f(z)可以展開為Laurent級數(shù)

其中C是z0為中心,半徑小于d的圓周的正向.根據(jù)Laurent級數(shù)展開式的系數(shù)cn的不同情況,可以把f(z)的孤立奇點進行分類.若z0

是f(z)的孤立奇點，此時f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,根據(jù)Laurent級數(shù)展開定理，4.1.1可去奇點定義4.1如果f(z)在內(nèi)的Laurent級數(shù)中不含有的負(fù)冪項,即當(dāng)時,則稱z0是f(z)的可去奇點.此時這個冪級數(shù)的收斂半徑至少為d,和函數(shù)j(z)在z0處解析.無論f(z)在z0是否有定義,可定義反之,若在內(nèi)解析,且極限存在，則是的可去奇點.則在內(nèi)解析.事實上:由于存在,函數(shù)f(z)在z0點某個去心鄰域內(nèi)有界，即存在兩個正數(shù)M和r<d,使得在內(nèi)，有又因為f(z)在內(nèi)解析,所以其中并且取正向.于是根據(jù)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時,令r

0,得定理4.1設(shè)f(z)在內(nèi)解析,則

z0是f(z)的可去奇點的充分必要條件是存在極限其中c0是有限復(fù)常數(shù).這樣我們有兩種方法來判別函數(shù)f(z)的奇點z0是否為可去奇點.1.由定義判斷:如果f(z)在z0的Laurent級數(shù)無負(fù)冪項,則z0是f(z)的可去奇點.2.由極限判斷：若極限存在且為有限值,則z0是f(z)的可去奇點.如果補充定義:所以z=0是的可去奇點.例4.1因為在內(nèi)的展開式為無負(fù)冪項或者則f(z)在全平面解析.4.1.2極點定義4.2如果f(z)在

的Laurent級數(shù)展開式中只含有有限個的負(fù)冪次項,即只有有限個(至少一個)整數(shù)使得則稱z0是f(z)的極點.如果存在正整數(shù)m,使得而對于整數(shù)有則稱z0是f(z)的m級極點.當(dāng)z0是f(z)的m級極點時,Laurent級數(shù)展開式其中于是令則g(z)在

內(nèi)解析，且即反之,對

內(nèi)的解析函數(shù)f(z),如果不妨設(shè)在內(nèi),令則F(z)在內(nèi)解析，并且

所以z0是F(z)的可去奇點,于是在內(nèi),F(z)的Laurent級數(shù)展開式為即定理4.2設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則并且存在使得而于是其中G(z)在內(nèi)解析，令所以其中g(shù)(z)在那么z0是f(z)的m級極點.內(nèi)解析，z0是f(z)的極點的充分必要條件是的Laurent展開式中含有的有限負(fù)冪項.在點的某去心鄰域內(nèi)有其中在的鄰域內(nèi)解析,且1.由定義判別：2.由等價形式判別：3.由極限判別：這樣我們有三種方法來判別函數(shù)f(z)的奇點z0是否為極點.例4.2考慮函數(shù)顯然,和是f(z)的孤立奇點.因為所以容易看出,是f(z)的1級極點,是f(z)的3級極點.定理4.3設(shè)z0是f(z)的m級零點,則z0是的m級極點;設(shè)z0是f(z)的m級極點,則z0是的可去奇點.(零點與極點的關(guān)系)證明設(shè)z0是f(z)的m級零點,記其中在點z0解析,且則在點z0解析,因此，于是，z0是

的m級極點.反之，設(shè)z0是f(z)的m級極點,記

其中在點z0解析,且則在點z0解析,因此在z0處可展開成Taylor級數(shù)且于是根據(jù)的定義知,z0是函數(shù)的可去奇點.例4.3求的孤立奇點,并指出奇點的類型.解顯然,是的零點，但是故是的1級零點.

因此,是f(z)的1級極點.推論設(shè)z0是P(z)的m級零點,也是Q(z)的n級零點,則當(dāng)n>m時,z0是f(z)的n-m級極點;而當(dāng)nm時,z0是f(z)的可去奇點.

例4.4考慮函數(shù)

設(shè)

顯然,z=0是Q(z)的5級零點.

因為所以,z=0是P(z)的2級零點.

故z=0是f(z)的3級極點.不是5級極點4.1.3本性奇點定義4.3如果f(z)在內(nèi)的Laurent展開式中含有無窮多個系數(shù)非零的負(fù)冪項,即存在無限個整數(shù)n<0,使得則稱z0是函數(shù)f(z)的本性奇點.例4.5z=0是和的本性奇點.這是因為無窮多負(fù)冪項定理4.4設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則不存在有限或無窮的極限.z0是f(z)的本性奇點的充分必要條件是Weierstrass得到了如下重要結(jié)論：設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則z0

是f(z)的本性奇點的充分必要條件是對任何有限或無窮的復(fù)數(shù)w0,都存在點列使得

并且綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點Laurent級數(shù)的特點存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項含無窮多個負(fù)冪項含有有限個負(fù)冪項關(guān)于的最高冪為§4.2

留數(shù)的一般理論1留數(shù)定義及留數(shù)基本定理

2留數(shù)的計算R4.2.1留數(shù)定義及留數(shù)基本定理設(shè)為的一個孤立奇點,則存在R>0,內(nèi)Laurent在.使得f(z)在內(nèi)解析.級數(shù)為在內(nèi)取分段光滑正向Jordan曲線C,

00.曲線C包含z0在其內(nèi)部.考慮積分根據(jù)

,積分與曲線C的選取無關(guān)

即定義4.4設(shè)z0是f(z)的孤立奇點,C是在z0的充分小鄰域內(nèi)包含z0在其內(nèi)部的分段光滑正向Jordan曲線,積分

稱為f(z)在z0點的留數(shù)(Residue),記做

函數(shù)f(z)在孤立奇點z0點的留數(shù)即是其在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)Laurent級數(shù)-1次冪項的系數(shù).定理4.5(留數(shù)基本定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析,C是D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向Jordan曲線,則根據(jù)留數(shù)基本定理,函數(shù)f(z)在閉曲線C上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點處留數(shù)的計算問題.證明分別以為中心,作半徑充分小的正向圓周...…C1C2Cn使得它們中的每個都在其余的外部,而都在C的內(nèi)部.根據(jù)

,再由留數(shù)的定義,即得4.2.2留數(shù)的計算(1)如果為的可去奇點,則如果為的1級極點,那么法則4.1成Laurent級數(shù),求(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則(2)如果為的本性奇點,展開則需將)(zf證明由于z0是

f(z)的1級極點，所以在z0的某個去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)展開式為故所以例4.6求和在孤立奇點處的留數(shù).由定理4.3的,z=0是g(z)的1級極點，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1級極點，故法則4.2設(shè)及在都解析.如果那么為f(z)的1級極點,并且證明由條件易知z0是f(z)的1級極點.于是例4.7求在孤立奇點處的留數(shù).處解析，且所以是f(z)的1級極點，并且顯然和都在如果為的級極點,取正整數(shù)法則4.3證明由于z0是

f(z)的m級極點，所以在z0的

某個去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)展開式為那么因此對上式求階導(dǎo)數(shù),得+(含有正冪的項),所以于是例4.8求在z=-1處的留數(shù).解顯然z=-1是f(z)的n級極點，所以

如果z0是f(z)的m級極點，有時在中取n>m來計算更為方便.例4.9求在z=0處的留數(shù).根據(jù)可知,z=0是f(z)的3級極點,在法則4.3中取n=5,則如果在法則4.3中取n=3,那么計算就要麻煩得多.例4.10計算積分其中C是的正向.的1級極點，并且都在C的內(nèi)部.所以根據(jù)和,顯然是函數(shù)極點z=3在的外部.分別是f(z)的3級和1級極點,都在的內(nèi)部.而例4.11計算積分其中C是的正向.記顯然z=0和z=1于是，根據(jù)留數(shù)基本定理例4.12求在z=0處的留數(shù)，并求其中C是的正向.解易見z=0是函數(shù)f(z)的本性奇點，并且

因此于是，根據(jù)留數(shù)基本定理例4.13求在z=0處的留數(shù).解因為所以1函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)

2函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)§4.3

函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)4.3.1函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)如果函數(shù)f(z)在點的去心鄰域

內(nèi)解析，則稱z=是f(z)的孤立奇點.如果令則在去心鄰域(或當(dāng)R=0時，)內(nèi)解析,即是的孤立奇點.類似地可以定義z=為

f(z)的可去奇點、極點或本性奇點.Laurent級數(shù)展開式為定義4.5設(shè)f(z)在內(nèi)解析，且其如果展開式中不含有z的正冪項，則稱z=是f(z)

的可去奇點;如果展開式中含有z的有限個正冪項(至少含有一項),且最高次冪為m,則稱z=是f(z)的m級極點;如果展開式中含有z的無窮多個正冪項，則稱z=是f(z)的本性奇點.類似地可以得到以下結(jié)論.定理4.6設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則(1)z=是f(z)的可去奇點充分必要條件是存在極限其中c0是有限復(fù)常數(shù).(2)z=是f(z)的極點充分必要條件是即(3)z=是f(z)的本性奇點充分必要條件是不存在有限與無窮的極限.4.3.2函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)定義4.6設(shè)z=是f(z)的孤立奇點,即f(z)在z=的去心鄰域內(nèi)解析,稱積分為f(z)在z=的留數(shù)，并記做其中表示圓周的負(fù)向(即順時針方向).易見f(z)在內(nèi)Laurent展開式項的系數(shù)定理4.7設(shè)函數(shù)f(z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點則f(z)在所有各孤立奇點留數(shù)的總和等于零，即證明取充分大的正數(shù)r,使得在圓周的內(nèi)部區(qū)域.根據(jù),于是根據(jù)無窮遠點的留數(shù)定義,所以下面介紹求無窮遠點留數(shù)的方法.法則4.4設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則

證明設(shè)f(z)在R<|z|<內(nèi)的Laurent展開式為于是所以例4.14計算積分解記則由因此，法則4.5設(shè)是有理分式,且多項式Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)至少高2次，則

證明由條件可知

存在有限的極限,故存在R>0,M>0,使得當(dāng)時，因此，當(dāng)r>R時,利用于是例4.15計算積分其中C是的正向.f(z)有7個孤立奇點,5個1級極點在C內(nèi)部,1個1級解設(shè)在擴充復(fù)平面內(nèi)極點z=3和可去奇點z=在C外部.由可知,只需要計算f(z)在z=3和z=的留數(shù).

根據(jù),而

所以根據(jù)和,注本題采用這種方法要比直接應(yīng)用留數(shù)基本定理簡便一些.

1三角有理式的積分

§4.4留數(shù)的應(yīng)用

2有理函數(shù)的無窮積分

3有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分

4零點的分布兩個重要工作:(1)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化;(2)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化.利用留數(shù)理論，可以計算某些類型的定積分或廣義積分,其基本思想是把實函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)的積分,然后根據(jù)留數(shù)基本定理,把它歸結(jié)為留數(shù)的計算問題，這樣就可以把問題簡化.當(dāng)在變化時,z沿單位圓周的正向繞行一周.于是4.4.1三角有理式的積分考慮積分則令f(z)是有理函數(shù).如果在單位圓周內(nèi)部f(z)的所有孤立奇點.滿足的條件.單位圓周上分母不為零,1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化例4.16

計算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個零點:由于因此從而被積函數(shù)1級極點z1.所以在單位圓周內(nèi)只有一個證明由于例4.17證明

在內(nèi)不為零,故積分有意義.積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有兩個極點只有1級極點在單位圓周內(nèi),于是例5.18設(shè)m為正整數(shù),計算積分解因為都是以為周期的偶函數(shù)，則積分可以轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有兩個極點只有1級極點在單位圓周內(nèi),于是4.4.2有理函數(shù)的無窮積分考慮積分定理4.8設(shè)函數(shù)f(z)在實軸上處處解析,在上半平面內(nèi),除有限個孤立奇點，處處解析,且存在常數(shù)使得當(dāng)且時，則證明顯然,f(x)在上連續(xù)，且當(dāng)時，所以由比較判別法知,收斂，并且取充分大為半徑,以原點為中心作上半圓周xy.z1.

z2.

zn…-RR取逆時針方向,使上半平面的

孤立奇點在由實軸和所圍的區(qū)域內(nèi).xy.z1.

z2.

zn…-RR利用根據(jù)定理的假設(shè)和因此2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條分段光滑的曲線,使其與實軸的一部分構(gòu)成一條簡單閉曲線,并使f(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析.這種方法稱為圍道積分法.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)z在實軸上時,f(z)=f(x).f(x)f(z)推論設(shè)是有理函數(shù),多項式Q(z)的次數(shù)比P(z)至少高2次,Q(z)在實軸上沒有零點,且是f(z)在上半平面的全體孤立奇點，則

證明由條件可知存在有限的極限.于是，存在使得當(dāng)時,成立即滿足的條件.例4.19計算廣義積分解記顯然f(z)滿足的條件，且和是f(z)在上半

平面的孤立奇點，都是f(z)的1級極點.因此，

于是，根據(jù)例4.20計算積分解因為被積函數(shù)是偶函數(shù)，所以是的4個1級極點,其中z0和z1在上半平面，z2和z3在下半平面.于是，根據(jù)

4.4.3有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分考慮積分Jordan引理設(shè)f(z)在區(qū)域上解析，且當(dāng)時,其中

是常數(shù),M(r)是r的實值函數(shù),且則對

任何實數(shù)m>0,在以原點為中心,R>R0為半徑的逆時針方向上半圓周CR,都有

證明根據(jù)利用不等式可得xy-RRR于是即Jordan引理的另一種形式設(shè)f(z)在區(qū)域上解析,且當(dāng)是實常數(shù),M(r)是r的實值函數(shù),且則ROxyCRb0時,其中是常數(shù),是對任何實數(shù)m>0,其中逆時針方向,定理4.9設(shè)是有理函數(shù),Q(z)在實軸上沒有零點，多項式Q(z)的次數(shù)至少比P(z)的

次數(shù)高1次，是f(z)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點，則對任何實數(shù)m>0,證明由條件可知存在有限的極限.于是，存在使得當(dāng)時,成立即滿足的條件.顯然,f(x)在上連續(xù)，且當(dāng)時,所以由比較判別法知,取充分大為半徑,以原點為中心作上半圓周xy.z1.

z2.

zn…-RR取逆時針方向,使上半平面的

孤立奇點在由實軸和所圍的區(qū)域內(nèi).收斂,于是收斂.根據(jù)再由于是令得例4.21計算積分解記則是f(z)在上半平面的全體孤立奇點,都是1級極點.顯然f(z)滿足的條件,所以其實部(虛部為零)就是所要求的積分，即例4.22計算積分解記則是f(z)在上半平面內(nèi)惟一的孤立奇點,且是1級極點.顯然f(z)滿

足的條件,所以Q(z)的次數(shù)至少比P(z)的次數(shù)高1次.如果

是f(z)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點，是f(z)在實軸上的所有孤立奇點，且都是1級極點,則定理4.10設(shè)是有理函數(shù),多項式當(dāng)廣義積分收斂時，z1z2znyOxCR-RR證明不妨設(shè)實軸上只有一個1級極點取R>0充分大，r>0充分小,分別為半徑作圓周CR和Cr(如圖),與實軸一起圍成區(qū)域D,使得f(z)CrD在上半平面的奇點位于區(qū)域D的內(nèi)部,位于D外部.根據(jù)顯然而且f(z)滿足

的條件，因此下面考慮由于是的1級極點，則在的某個去心鄰域內(nèi),可以展開成Laurent級數(shù)

其中在的鄰域內(nèi)有界且解析,即存在M>0,使得故

因此，和方法仍是例4.23設(shè)m>0,證明

證明記則f(z)在復(fù)平面上只有一個1級極點z=0,且在實軸上，故由4.4.4零點的分布例4.24設(shè)z=z0是解析函數(shù)f(z)的m級零點，則

z=z0是的1級極點，并且證明因為z=z0是f(z)的m級零點，則在z=z0

的某鄰域內(nèi)，有由于則在z=z0點解析，從而z=z0

是的1級極點，并且其中j(z)在該鄰域內(nèi)解析.因此例4.25設(shè)函數(shù)f(z)在分段光滑Jordan曲線C

及其內(nèi)部解析，且在C上無零點，則

其中N表示f(z)在C的內(nèi)部零點的總數(shù)(約定k級零點按k個零點計算)