2022年河南省商丘市牛城鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列說法中，正確的是（）A．命題“若ax2＜bx2，則a＜b”的逆命題是真命題B．命題“x=y，則sinx=siny”的逆否命題為假命題C．命題“?t∈R，t2﹣t≤0”的否定是?t∈R，t2﹣t＞0D．命題“p且q”為假命題，則命題“p”和命題“q”均為假命題參考答案：C【考點(diǎn)】四種命題．【專題】綜合題；閱讀型；對(duì)應(yīng)思想；分析法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】分別寫出原命題的逆命題、逆否命題判斷A，B；寫出原命題的否定判斷C；由復(fù)合命題的真假判斷判斷D．【解答】解：命題“若ax2＜bx2，則a＜b”的逆命題為：“若a＜b，則ax2＜bx2”，x2=0時(shí)不成立，是假命題．A錯(cuò)誤；命題“x=y，則sinx=siny”為真命題，則其逆否命題為真命題．B錯(cuò)誤；命題“?t∈R，t2﹣t≤0”的否定是?t∈R，t2﹣t＞0．C正確；命題“p且q”為假命題，則命題“p”和命題“q”至少一個(gè)為假命題．D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了原命題、逆命題、否命題及逆否命題，是基礎(chǔ)題．2.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a10=5a17，且a1＞0，Sn為其前n項(xiàng)和，則數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)是（）A．S24 B．S23 C．S26 D．S27參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意易得數(shù)列的公差，可得等差數(shù)列{an}前27項(xiàng)為正數(shù)，從第28項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，可得答案．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d），解得d=﹣a1＜0，∴an=a1+（n﹣1）d=a1，令an=a1≤0可得≤0，解得n≥，∴遞減的等差數(shù)列{an}前27項(xiàng)為正數(shù)，從第28項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，∴數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)為S27，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值，從數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)入手是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．3.已知為平面上的定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則DABC是（

）（A）以AB為底邊的等腰三角形

（B）以BC為底邊的等腰三角形（C）以AB為斜邊的直角三角形

（D）以BC為斜邊的直角三角形參考答案：B4.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值為90° D．AP+PD1的最小值為參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】應(yīng)用題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正確利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正確；當(dāng)A1P=時(shí)，∠APD1為直角，當(dāng)0＜A1P＜時(shí)，∠APD1為鈍角，C錯(cuò)；將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正確∵平面D1A1P即為平面D1A1BC，平面A1AP即為平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正確；當(dāng)0＜A1P＜時(shí)，∠APD1為鈍角，∴C錯(cuò)；將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間位置關(guān)系的判定，轉(zhuǎn)化的思想．5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a為常數(shù))，若平面內(nèi)的三個(gè)不共線的非零向量滿足，A，B，C三點(diǎn)共線且該直線不過O點(diǎn)，則S2010等于（

）A.1005 B.1006 C.2010 D.2012參考答案：A【分析】根據(jù)an+1=an+a，可判斷數(shù)列{an}為等差數(shù)列，而根據(jù)，及三點(diǎn)A，B，C共線即可得出a1+a2010=1，從而根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出S2010的值.【詳解】由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；∴{an}為等差數(shù)列；由，所以A，B，C三點(diǎn)共線；∴a1005+a1006=a1+a2010=1，∴S2010.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，其前n項(xiàng)和公式以及共線向量定理，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6.如果命題“”是假命題，則在下列各結(jié)論中，正確的為

（

）①命題“”是真命題；

②命題“”是假命題；③命題“”是真命題；

④命題“”是假命題。A．②③B．②④

C．①③D．①④參考答案：C略7.已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．3

B．2C．1

D.參考答案：A8.已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，則cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式對(duì)已知等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換，得到：sin（α+）+cos（α﹣）=sin（α+），然后再利用誘導(dǎo)公式將cos（α+）轉(zhuǎn)化為﹣sin（α+）的形式，即可解答．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故選：C．9.如果，那么（

）（A）

(B)

(C)

(D)參考答案：C10.如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCDC．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知（a+3b）n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n=．參考答案：6【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得到各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和2n，據(jù)已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和4n又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n據(jù)題意得，解得n=6．故答案：612.用表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則t=

。參考答案：113.（2016鄭州一測(cè)）的三個(gè)內(nèi)角為，若，則________．參考答案：∵，∴，∴，∴，∴，．14.方程x2+x+n=0（n∈[0，1]）有實(shí)根的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由方程有實(shí)根得到△=1﹣4n≥0，得到n的范圍，在n∈[0，1]）的前提下的區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型公式可得．【解答】解：方程有實(shí)根時(shí)，滿足△=1﹣4n≥0，得，由幾何概型知，得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型概率求法；關(guān)鍵是求出方程有實(shí)根的n的范圍，利用幾何概型公式解答．15.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為30，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：

3

16.已知，則f(x)=_______參考答案：【分析】換元法:令,解出,再將代入,得,從而可得.【詳解】令,則,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法求函數(shù)解析式,換元時(shí),一定要注意新元的取值范圍,屬中檔題.17.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，設(shè)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為

▲

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．E5

【答案解析】2

解析：滿足的可行域如圖所示，又∵，∵，，∴由圖可知，平面區(qū)域內(nèi)x值最大的點(diǎn)為（2，3）故答案為：2【思路點(diǎn)撥】先畫出滿足的可行域，再根據(jù)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合可行域，即可得到最終的結(jié)果．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

（12分）

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+，都有，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若（為非零常數(shù)，n∈N+），問是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意n∈N+，都有bn+1>bn.參考答案：解析:（1）在已知式中，當(dāng)n=1時(shí)，

∵a1>0

∴a1=1………………1分

當(dāng)n≥2時(shí)，

①

②

①－②得，

∵an>0

∴==2Sn－an

∵a1=1適合上式…………3分.

當(dāng)n≥2時(shí)，=2Sn－1－an－1

④

③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+an－1=an+an－1

∵an+an－1>0

∴an－an－1=1∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得a-n=n………………5分

（2）∵

∴

⑤………….7分當(dāng)n=2k－1，k=1，2，3，……時(shí)，⑤式即為

⑥依題意，⑥式對(duì)k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………..9分當(dāng)n=2k，k=1，2，3，…時(shí)，⑤式即為

⑦依題意，⑦式對(duì)k=1，2，3，……都成立，∴……………..11分∴∴存在整數(shù)λ=－1，使得對(duì)任意n∈N，都有bn+1>bn……………12分

19.如圖，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的鐵皮，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)等腰三角形，其底邊.（1）設(shè)求三角形鐵皮的面積；（2）求剪下的鐵皮三角形面積的最大值.參考答案：(1)設(shè)MN交AD交于Q點(diǎn)

∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一個(gè)得2分）S△PMN=MN·AQ=××（1+）=……………….………6分（2）設(shè)∠MOQ=θ，∴θ∈［0，］，MQ=sinθ，OQ=cosθ

∴S△PMN=MN·AQ=(1+sinθ)(1+cosθ)=(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)……………….11分令sinθ+cosθ=t∈［1，］，∴S△PMN=(t+1+)θ=，當(dāng)t=,∴S△PMN的最大值為.………..……………14分20.（本小題滿分12分）如圖，摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度滿足，已知某摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處．（1）根據(jù)條件寫出（米）關(guān)于（分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面超過米?參考答案：12分）（1）由題設(shè)可知，，

1分又，所以，

3分從而，再由題設(shè)知時(shí)，代入，得，從而，

5分因此，.

6分（2）要使點(diǎn)距離地面超過米，則有，

8分即，又解得，即

10分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離地面超過米的時(shí)間有分鐘.

12分21.在四棱錐中，平面，,.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值；(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使平面？說明理由.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）(Ⅲ)存在，E為線段PB的中點(diǎn)，AE⊥平面PBC．解：(Ⅰ)在四棱錐中，因?yàn)槠矫?，平?所以.因?yàn)椋?因?yàn)?所以平面.因?yàn)槠矫?所以.

………4分(Ⅱ)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則.則.所以，.設(shè)平面的法向量.所以.即.令，則.所以所以所以與平面所成角的正弦值為.

………8分（Ⅲ）（法一）當(dāng)E為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBC．如圖：分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．∴EF∥BC，且．∵AD∥BC，且，∴AD∥EF，且AD=EF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∴AE∥DF．∵PD=CD，∴三角形PCD是等腰三角形．所以.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?所以平面.所以平面.即在線段上存在點(diǎn),使平面.

（法二）設(shè)在線段上存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，平面.設(shè)，則.所以.即.所以.所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.若平面，則.即.解得.所以當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，平面.

………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）通過證明BC⊥平面PCD，然后證明BC⊥PC；（Ⅱ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)平面PBC的法向量，然后求解PA與平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）法一：當(dāng)E為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBC．分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．證明四邊形AEFD是平行四邊形．然后證明AE⊥平面PBC．即可推出線段PB上是否存在點(diǎn)E，使AE⊥平面PBC．法二，利用空間直角坐標(biāo)系，通過向量共線，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【典型總結(jié)】本題考查空間點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，直線與平面所成的角的求法，直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．22.已知函數(shù)f（x）=+ax+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x﹣2．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）設(shè)g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函數(shù)．①求實(shí)數(shù)m的最大值；②當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線