自動(dòng)控制根軌跡極點(diǎn)零點(diǎn)第1頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)在S平面上分布的位置有關(guān)。

決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在S平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。為此目的，依萬(wàn)斯（W.R.EVans）在1984年提出了根軌跡法，令開(kāi)環(huán)函數(shù)的一個(gè)參數(shù)——開(kāi)環(huán)增益Ｋ（或另一個(gè)感興趣的參數(shù)）從0變化到∞，與此對(duì)應(yīng)，特征方程的根，便在S平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。第2頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)

分為：二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)

其阻尼比、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下圖所示：第3頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-1根軌跡的基本概念一．舉例說(shuō)明根軌跡的概念

特征方程的根為

第4頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令開(kāi)環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對(duì)應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在S平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)?！欤矗备壽E的基本概念當(dāng)K=0時(shí)，S1=0，S2=-1K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第5頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－１根軌跡的基本概念從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:1、穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半S平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。2、穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是Ⅰ型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第6頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、暫態(tài)性能

（1）當(dāng)0<K<0.25時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)是過(guò)阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。

（2）當(dāng)K＝0.25時(shí)，兩特征根重合，均為-0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。（3）當(dāng)K＞0.25時(shí)，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第7頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由以上分析得知：

根軌跡就是控制系統(tǒng)特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)變化在S平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，通過(guò)它可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。第8頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二．繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù)

圖示系統(tǒng)的特征方程

繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為

——開(kāi)環(huán)傳函

是復(fù)變量Ｓ的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅值和相角分別相等的條件，可以得到第9頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)?，F(xiàn)進(jìn)一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉(zhuǎn)換成實(shí)用的形式?！?0頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此時(shí)，幅值條件和相角條件可寫成

－開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；－開(kāi)環(huán)極點(diǎn)注意這個(gè)形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式。將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)的因子式…（＊）（＊＊）第11頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月×p2×p1Os0§４－１根軌跡的基本概念三．根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點(diǎn)設(shè)某一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)如圖，在Ｓ平面中的任意一點(diǎn)S0，用相角條件可以判斷S0是不是根軌跡的點(diǎn)。1、從S0到各零極點(diǎn)連直線

2、用量角器量，…等各個(gè)角3、將量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，則S0就是根軌跡上的點(diǎn)×p3Oz1第12頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－１根軌跡的基本概念不滿足，故S0不是根軌跡上的點(diǎn)。在繪制根軌跡時(shí)，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個(gè)根軌跡上的點(diǎn)。允許有一定的誤差，比如±５°。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來(lái)。繪制根軌跡圖時(shí)，Ｓ平面虛軸和實(shí)軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致?！羛2×p1Os0×p3Oz1第13頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-2繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。一．根軌跡的對(duì)稱性實(shí)際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此，根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。二．根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)特征根在S平面上的分布位置，而根軌跡的終點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于時(shí)，特征根在S平面上的分布位置。第14頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幅值條件改寫當(dāng)，必有S=，即起點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)，必有S=，即終點(diǎn)是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。但在控制系統(tǒng)中，總有n>m，所以根軌跡從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的n-m條根軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。舉例如題，，起點(diǎn)：0、-1，無(wú)零點(diǎn)，n=2，m=0，n-m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第15頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則三．根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。四．實(shí)軸上的根軌跡

在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在和之間任選一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。第16頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則1、共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到的幅角之和為0°，相互抵消，因此開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上根軌跡的位置沒(méi)有影響，僅取決于實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)。2、若實(shí)軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗(yàn)點(diǎn)左側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為0°,而右側(cè)的相角為180°。點(diǎn)滿足相角條件，所以～之間是根軌跡。第17頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月×××-2-4例4-1：（單位反饋）①∵有三個(gè)極點(diǎn)，

∴根軌跡有三條分支σjω②∵n=3,m=2∴有3-2=1條根軌跡→∞，2條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。③在實(shí)軸上不同段上取試驗(yàn)點(diǎn)oo-3-1第18頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則五．根軌跡的漸近線1、根軌跡中（n-m）條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當(dāng)時(shí)，求得的漸近線傾角最小；增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有(n-m)條第19頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則2、漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即必為實(shí)數(shù)。在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可。第20頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4-2求根軌跡解：①在Ｓ平面中確定開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置。

×××-1-2σjω②確定實(shí)軸上的根軌跡。③n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。④確定漸近線的位置-0.423K1=6K1=6-60°60°第21頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則六、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

兩條根軌跡分支在S平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。它對(duì)應(yīng)于特征方程中的二重根（如例4-2，實(shí)軸上的根軌跡要從某一點(diǎn)分開(kāi)，然后沿漸近線方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，把分離點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Ｋ1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。∵根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，∴分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)常見(jiàn)的分離點(diǎn)或或會(huì)合點(diǎn)位于實(shí)軸上。求方程式的根，可以確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。第22頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則例4-2，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為

或上式的根因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在0至-1之間，故為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：第23頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月七、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)當(dāng)增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過(guò)虛軸，進(jìn)入右半S平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開(kāi)環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)?？梢杂么胩卣鞣匠糖蠼猓蛘呃脛谒古袚?jù)確定。第24頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月續(xù)例4-2，將代入特征方程。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)部虛部第25頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢(shì)知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則第26頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則八、根軌跡的出射角和入射角

當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）。

根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角稱為出射角。出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的走向。開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處，根軌跡的入射角為式中即為其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處，根軌跡的出射角為第27頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。的出射角和對(duì)稱。第28頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根軌跡繪制舉例例1.具有一個(gè)零點(diǎn)和3個(gè)實(shí)極點(diǎn)的三階系統(tǒng)的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：解：把開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點(diǎn)形式第29頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.根軌跡有3條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0、0、-1/T，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1/τ及無(wú)窮遠(yuǎn)處。02.根軌跡在實(shí)軸上的分布為[-1/T，-1/τ]。3.根軌跡有n-m=2條漸近線，第30頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.具有一對(duì)開(kāi)環(huán)復(fù)根和一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)的四階系統(tǒng)的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：解：1.根軌跡有4條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0、-3、-1+j、-1-j，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2及無(wú)窮遠(yuǎn)處。2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-∞,-3]和[-2，0]。第31頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.根軌跡有n-m=3條漸近線，4.極點(diǎn)-1+j的出射角為-26.6o極點(diǎn)-1-j的出射角為+26.6o第32頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為把s=jω代入上式可解得即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，相應(yīng)的根軌跡增益為Kgc=7。第33頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-3廣義根軌跡其它種類的根軌跡:3.正反饋回路和零度根軌跡2.多回路系統(tǒng)的根軌跡1.參數(shù)根軌跡第35頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。除Kg以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。

繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg的位置相當(dāng)。一、參數(shù)根軌跡第36頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù)

Kf對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為-特征方程為第37頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等效開(kāi)環(huán)傳函1.根軌跡有兩條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-1+j3、-1-j3，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)0及無(wú)窮遠(yuǎn)處。2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-∞,0]。03.求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。s1=-3.16為會(huì)合點(diǎn)，相應(yīng)的Kf=0.432s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。Kf=0.432第38頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.求極點(diǎn)p1=–1+j3處的出射角由對(duì)稱性可知p2=-1-j3處的出射角為以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。0Kf=0.432等效開(kāi)環(huán)傳函第39頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分析：Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。0Kf=0.432當(dāng)Kf<0.432時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，階躍響應(yīng)為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越??；當(dāng)Kf=0.432時(shí)，系統(tǒng)有二重根，階躍響應(yīng)為臨界阻尼情況；當(dāng)Kf

>0.432時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，階躍響應(yīng)為過(guò)阻尼情況。第40頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分析：0Kf=0.432用幅值條件可求得相應(yīng)的Kf值。求時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)及Kf值。作的射線與根軌跡的交點(diǎn)即為所求閉環(huán)極點(diǎn)。AB第41頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、多回路系統(tǒng)的根軌跡根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程以α為參數(shù)第42頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第43頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月研究以Kc

為變量的根軌跡系統(tǒng)有兩個(gè)環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)就是外環(huán)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)！！1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖第44頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第45頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù)3.2<Kf<3.5內(nèi)環(huán)的特征方程在實(shí)軸上選取試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試探，P1=-1.6時(shí)，Kf=3.363)繪制外環(huán)的根軌跡圖外環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可求得內(nèi)環(huán)的另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為第46頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程三、正反饋回路和零度根軌跡第48頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幅值條件相角條件特征方程對(duì)于正反饋回路：相角條件為，因此通常也稱為零度根軌跡。第49頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：（1）根軌跡的分支數(shù)(相同)（2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)（3）根軌跡的對(duì)稱性(相同)（4）實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。（5）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為第50頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（6）根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)（7）根軌跡的出射角和入射角（8）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)（9）閉環(huán)極點(diǎn)的和(相同)第51頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。解：（1）內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（3）實(shí)軸上的根軌跡（2）根軌跡的起點(diǎn)0，-1，-3終點(diǎn)均為∞第52頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點(diǎn)特征方程第53頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第54頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在自動(dòng)控制系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)純時(shí)間滯后現(xiàn)象滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)帶來(lái)不利的影響。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程這是一個(gè)超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個(gè)，而是無(wú)限多個(gè)，這是滯后系統(tǒng)的重要特征?！?-4滯后系統(tǒng)的根軌跡第55頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程滯后系統(tǒng)特征方程第56頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幅值條件相角條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程第57頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：（3）實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開(kāi)環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對(duì)稱于實(shí)軸（2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)第58頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線有無(wú)數(shù)條，且平行于實(shí)軸根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點(diǎn)為（5）根軌跡的分離點(diǎn)：第59頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（6）根軌跡的出射角和入射角：（7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：第60頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)滯后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。解：系統(tǒng)特征方程為繪制根軌跡的相角條件為（1）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)

-p1=-1,σ=-∞

終點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)第61頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-1]（3）根軌跡的漸近線平行于實(shí)軸并與虛軸交于（4）令k=0畫出主根軌跡k=0的根軌跡，稱為主根軌跡k=1、2、…的根軌跡，稱為輔助根軌跡作圖方法第62頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第63頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響,如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益較大,即使原來(lái)為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。說(shuō)明：1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。2、當(dāng)開(kāi)環(huán)增益較大時(shí)，近似方法誤差很大。近似方法：第64頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的定性關(guān)系對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過(guò)程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系為：1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面左半平面。2、如果閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，且無(wú)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)，若其它極點(diǎn)距離虛軸的距離比最近極點(diǎn)的距離大5倍以上，可以忽略不計(jì)。第65頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.如果系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率并與其它極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān)，調(diào)整時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部第66頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)