第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一問(wèn)題的提出四空間直角坐標(biāo)系六小結(jié)與思考判斷題二向量的概念三向量的線性運(yùn)算五利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算7/25/20231一問(wèn)題的提出

在平面解析幾何中，我們?cè)?jīng)用代數(shù)的方法來(lái)解決集合問(wèn)題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來(lái)的。和解決平面問(wèn)題相仿，我們先是給出空間直角坐標(biāo)系的定義，接著給出空間中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示。和平面上任意兩點(diǎn)間的距離相仿我們給出空間中任意兩點(diǎn)間的距離公式。7/25/20232

向量是我們解決空間解析幾何問(wèn)題的一個(gè)重要工具，同時(shí)向量的方法也是力學(xué)，物理學(xué)以及其他應(yīng)用學(xué)科的一個(gè)好的方法。在這一節(jié)，我們?cè)谝胂蛄扛拍畹幕A(chǔ)上，給出向量的加減數(shù)乘的概念。同時(shí)要會(huì)應(yīng)用向量來(lái)解決空間幾何中的問(wèn)題。大家需要注意的是，向量的方法是我們解決以后問(wèn)題的一個(gè)重要的方法。7/25/20233向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大?。ㄩL(zhǎng)度）.單位向量：二向量(Vector)的概念或或或7/25/20234自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.

∥7/25/202351加法(Addition)：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向三向量的線性運(yùn)算（OperationsofVectors)7/25/20236向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：2減法(Subtraction)7/25/20237(MultiplicationbyNumbers)3向量與數(shù)的乘法7/25/20238數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算律（1）結(jié)合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.7/25/20239按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.7/25/202310我們用數(shù)乘向量來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系：證條件的充分性顯然；下證必要性‖7/25/202311兩式相減，得7/25/202312例1化簡(jiǎn)解7/25/202313平行四邊形的對(duì)角線互相平分解7/25/202314橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.四空間直角坐標(biāo)系7/25/202315Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ7/25/202316空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)7/25/202317軸X上點(diǎn)P軸Y上點(diǎn)P軸Z上點(diǎn)P7/25/202318空間的點(diǎn)M向量的坐標(biāo)式7/25/202319空間兩點(diǎn)間的距離7/25/202320空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為7/25/202321五利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算7/25/202322解設(shè)為直線上的點(diǎn)，7/25/202323由題意知：7/25/202324六向量的模、方向角、投影7/25/2023257/25/202326解原結(jié)論成立.7/25/202327解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為7/25/202328空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.2向量的方向角與方向余弦7/25/202329向量的方向余弦方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.7/25/202330當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式7/25/202331方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?/25/202332解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或7/25/202333解7/25/2023347/25/202335空間一點(diǎn)在軸上的投影7/25/2023363向量在軸上的投影7/25/202337空間一向量在軸上的投影7/25/202338關(guān)于向量的投影定理（1）證7/25/202339關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）7/25/202340證于是7/25/202341解7/25/202342向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘向量的方向）向量在