不等式的基本性質(zhì)

(第二課時)1【知識回顧】1、不等式的概念:同向不等式；異向不等式;同解不等式．2、比較兩個實數(shù)大小的主要方法:(1)作差比較法：作差——變形——定號——下結(jié)論；(2)作商比較法：作商——變形——與1比較大小——下結(jié)論．大多用于比較冪指式的大?。?探究！

類比等式的基本性質(zhì)，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？3不等式的基本性質(zhì)單向性雙向性4問題

上述結(jié)論是用類比的方法得到的，它們一定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？5注意1、注意公式成立的條件，要特別注意“符號問題”;2、要會用自然語言描述上述基本性質(zhì)；3、上述基本性質(zhì)是我們處理不等式問題的理論基礎(chǔ)。67例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求證：【解題回顧】在證明不等式時要依據(jù)不等式的性質(zhì)進行，不能自己“制造”性質(zhì)來進行．8例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范圍.9例4、已知，求下列式子的取值范圍。（1）1-x（2）x(1-x)解題回顧：同向不等式可以做加法運算，異向不等式可以做減法運算。當(dāng)同向不等式兩邊都為正時，可以做乘法運算。本題常見的錯誤是將取值范圍擴大。變式:設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.10【解題回顧】本題采用了賦值法，使問題得以簡化、明朗．賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法．它將復(fù)雜的問題簡單化，是我們常用的數(shù)學(xué)方法．例5、已知

A、A<B<C<D;B、D<A<B<C;C、D<B<A<C;D、B<D<A<C11作業(yè)P101、3、412第一講不等式和

絕對值不等式

13不等式的基本性質(zhì)

(第一課時)觀察以下四個不等式：a+2>a+1----------------(1)a+3>3a-------------------(2)3x+1<2x+6--------------(3)x<a------------------------(4)一不等式14同向不等式：在兩個不等式中,如果每一個的左邊都大于右邊,或每一個的左邊都小于右邊（不等號的方向相同）.異向不等式：在兩個不等式中,如果一個不等式的左邊大于右邊,而另一個的左邊小于右邊（不等號的方向相反）.同解不等式形式不同但解相同的不等式。其它重要概念絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式152.基本理論

1.實數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì):研究不等式的出發(fā)點是實數(shù)的大小關(guān)系。數(shù)軸上的點與實數(shù)1-1對應(yīng)，因此可以利用數(shù)軸上點的左右位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大?。?Ｘ16ＡＢaba<bxＡＢaba>bx用數(shù)學(xué)式子表示為:

設(shè)a,b是兩個實數(shù),它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是A,B,那么,當(dāng)點A在點B的左邊時,a<b;當(dāng)點A在點B的右邊時,a>b.

關(guān)于a,b的大小關(guān)系,有以下基本事實:如果a>b,那么a-b是正數(shù);如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是負數(shù);反過來也對.17

上式中的左邊部分反映的是實數(shù)的大小順序，而右邊部分則是實數(shù)的運算性質(zhì)，合起來就成為實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系。這一性質(zhì)不僅可以用來比較兩個實數(shù)的大小，而且是推導(dǎo)不等式的性質(zhì)、不等式的證明、解不等式的主要依據(jù)。18

要比較兩個實數(shù)a與b的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差a-b與0的大小。在這里，0為實數(shù)比較大小提供了“標桿”。思考？

從上述事實出發(fā)，你認為可以用什么方法比較兩個實數(shù)的大??？19例1、試比較2x4+1與2x3+x2

的大小解：(2x4+1)-(2x3+x2)=2x4+1-2x3_x2

=(2x4-2x3)-(x2-1)

=2x3(x-1)

-(x-1)

(x+1)

=(x－1)[2x3-

(x+1)

]

=(x－1)[(2x3－2x2)+(2x2－2x)+(x－1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]技能：分組組合；添項、拆項；配方法。20=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]x∈R∴2(x+1/2)2+1/2>0若x≠1那么(x-1)2>0則2x4+1>2x3+x2

若x=1那么(x-1)2=0則2x4+1=2x3+x2綜上所述:若x=1時2x4+1=2x3+x2

若x≠1時2x4+1>2x3+x2

求差比較大小分四步進行：①作差；②變形；③定號；③下結(jié)論。21練習(xí)比較x2+y2與xy+x+y-1的大小．【解題回顧】用作差比較法比較兩個實數(shù)的大小，步驟是：作差——變形——判斷符號．常見的變形手段是通分、因式分解或配方等；變形的結(jié)果是常數(shù)、若干個因式的積或完全平方式等.22例2、比較23練習(xí)題1.已知x≠0,比較(x2+2)2與x4+x2+4的大小.2.比較(x2+2)2與x4+5x2+2的大小3.比較x3

與x2-x+1的大小.24【解題回顧】本題的解答關(guān)鍵在于選擇合適的方法.【典型例題】例3、比較以下兩個實數(shù)的大?。?5作商比較法：作商——變形——與1比較大小．大多用于比較冪指式的大?。?6練習(xí)

2、選擇題：已知，在以下4個不等式中正確的是：（1）（2）

（3）（4）

27小結(jié)主要內(nèi)容基本理論:a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b基本理論四大應(yīng)用之一：比較實數(shù)的大小.一般步驟：作差－變形－判斷符號—下結(jié)論。變形是關(guān)鍵：1°變形常用方法:配方法，因式分解法。2°變形常見形式是：變形為常數(shù)；一個常數(shù)與幾個平方和；幾個因式的積。281．比較的大?。?．如果,比較的大小．3．已知，比較與的大小．作業(yè)一、課本P102二、補充29第三講

柯西不等式與排序不等式30

一二維形式的柯西不等式31若a,b,c,d都是實數(shù),則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時,等號成立.定理1（二維形式的柯西不等式）:你能證明嗎？32推論33

向量形式：34設(shè)α,β是兩個向量,則當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）35xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據(jù)兩點間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系:觀察36定理３（二維形式的三角不等式）設(shè)，那么37

例題例1.已知a,b為實數(shù),證明：

(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)23839例3.設(shè)a,b∈R+,a+b=1,求證40練習(xí)：41作業(yè)第37頁,第1,5,6題42

二一般形式的柯西不等式43(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二維形式的柯西不等式）:三維形式的柯西不等式）:n維形式的柯西不等式）:44定理設(shè)是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k使得(i=1,2,…,n)時等號成立。以上不等式稱為一般形式的柯西不等式。45一般形式的三角不等式46例1已知都是實數(shù)，求證：47例2已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明：>ab+bc+cd+da.48例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。49例4：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：

又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。50例5若a>b>c求證：∴51例6：若求證：分析：左端變形∴只需證此式即可

52

三排序不等式53反序和≤亂序和≤順序和54例1：有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1,2,…,10)個人的水桶需要ti分，假定這些ti各不相同。問：只有一個水龍頭時，應(yīng)該如何安排10人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？55解：總時間(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根據(jù)排序不等式，當(dāng)t1<t2<…<t9<t10時，總時間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，則10人等候的總時間最少。最少的總時間是:10t1+9t2+…+2t9+t1056例2設(shè)a1,a2,…,an是n個互不相等的正整數(shù)，求證：57證明：設(shè)b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一個排列，且有b1<b2<…<bn因為b1,b2,…,bn是互不相等的正整數(shù)，所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.

又因由排序不等式，得：58練習(xí)59練習(xí)60練習(xí)61練習(xí)62一、二維形式的柯西不等式（第二課時）63一.課前復(fù)習(xí)若a,b,c,d都是實數(shù),則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時,等號成立.

（一）定理1（二維形式的柯西不等式）:64二維形式的柯西不等式經(jīng)過變形后可得到兩個比較重要的不等式：這在以后證明不等式時會用到65定理2:（柯西不等式的向量形式）設(shè)是兩個向量,則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實數(shù),使時,等號成立.66一.學(xué)習(xí)新課

（一）定理3（二）例題（三）練習(xí)

67觀察xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據(jù)兩點間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系:68

定理３（二維形式的三角不等式）設(shè)，那么問題：你能否利用柯西不等式，從代數(shù)的角度證明這個不等式？69例3.設(shè)a,b∈R+,a+b=1,求證70練習(xí)鞏固：練習(xí)一：設(shè)a，b為正數(shù)，求的最小值71練習(xí)二：P37第6題72小結(jié)：本節(jié)課實際上是柯西不等式的一些簡單應(yīng)用，柯西不等式是一個經(jīng)典不等式，是一個重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，在以后的證明某些不等式和求最值時有重要作用，要學(xué)會靈活運用。73作業(yè)：P37第8題74不等式的證明75復(fù)習(xí)不等式證明的常用方法:

比較法、綜合法、分析法76反證法

先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到矛盾，說明假設(shè)不正確，從而間接說明原命題成立的方法。7778例題例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，

abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,則b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

與題設(shè)矛盾若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0,c>079例3、設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1

a)b,(1

b)c,(1

c)a,

不可能同時大于1/4則三式相乘：(1

a)b?(1

b)c?(1

c)a>

又∵0<a,b,c<1∴同理：以上三式相乘：(1

a)a?(1

b)b?(1

c)c≤與①矛盾∴結(jié)論成立證明：設(shè)(1

a)b>1/4,(1

b)c>1/4,(1

c)a>1/4,80

在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關(guān)式子適當(dāng)進行放大或縮小，實現(xiàn)證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據(jù)就是傳遞性。放縮法81例1、若a,b,c,dR+，求證：證：記m=∵a,b,c,dR+

∴1<m<2即原式成立8283

法１：

證明：在時，顯然成立.當(dāng)時，左邊

84法２：法３：函數(shù)的方法8586例4、巳知：a、b、c∈，求證：略解87小結(jié)

在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關(guān)式子適當(dāng)進行放大或縮小，實現(xiàn)證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據(jù)就是定理2（傳遞性性質(zhì)）88課堂練習(xí)1、當(dāng)n>2時，求證：

證：∵n>2∴

∴n>2時,89課堂練習(xí)2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,

求證：p+q≤290課堂小結(jié)

證明不等式的特殊方法:

（1）放縮法：對不等式中的有關(guān)式子進行適當(dāng)?shù)姆趴s實現(xiàn)證明的方法。（2）反證法：先假設(shè)結(jié)論的否命題成立，再尋求矛盾，推翻假設(shè)，從而證明結(jié)論成立的方法。91書山有路勤為徑，學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！27七月20233.三個正數(shù)的算術(shù)--幾何平均數(shù)92定理1.如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）1．指出定理適用范圍：

2．強調(diào)取“=”的條件：

復(fù)習(xí)：定理2.如果

那么

是正數(shù)，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）注意：1．這個定理適用的范圍：

2．語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。93

注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時一定要注意定理的條件:

一正;二定;三相等.有一個條件達不到就不能取得最值.9495思考

基本不等式給出了兩個整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？969798等號當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ＝ｃ時成立．99定理3語言表述：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。100推論:101關(guān)于“平均數(shù)”的概念：1．如果

則：

叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)。2.基本不等式：

≥

語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ａ1＝a2＝…=an時，等號成立．推廣102103例２:解:構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.104練習(xí):解:構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.105例３將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？解:設(shè)剪去的小正方形的邊長為則其容積為:106練習(xí):解:(錯解:原因是取不到等號)正解:107課堂小結(jié)108課堂小結(jié)109２．基本不等式110

重要不等式定理１：如果，那么

（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）．我們可以用比較法證明．111探究你能從幾何的角度解釋定理１嗎？幾何解釋１－課本第五頁．112動畫幾何解釋２113aa幾何解釋３114

思考

1115(當(dāng)且僅當(dāng)

時取“

=”號）．

如果是正數(shù)，那么

基本不等式定理２（均值定理）116概念如果ａ、ｂ都是正數(shù)，我們就稱為ａ、ｂ的算術(shù)平均數(shù)，稱為ａ、ｂ的幾何平均數(shù)。均值定理可以描述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)117.均值定理的幾何意義DBCEoA118

當(dāng)且僅當(dāng)

中的“

=”號成立．

時這句話的含義是:

思考

2當(dāng)當(dāng)119

和成立的條件相同嗎？如：成立，而不成立。

思考

3成立的條件_______成立的條件______120

典例探討例1求證：121（２）已知都是正數(shù)，求證證明：由都是正數(shù)，得122

練習(xí)1123例2

求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。124變形.1

如果積

已知都是正數(shù)，求證：是定值

那么當(dāng)

時,和

有最小值2

如果和是定值那么當(dāng)

時,積

有最大值

證：

∵

∴

1當(dāng)

（定值）時，∵上式當(dāng)

時取“=”∴當(dāng)

時，

有最小值2當(dāng)

(定值)時，

∴

∵上式當(dāng)

時取“=”

∴當(dāng)

時，

∴125注意：1、最值的含義（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

2、用極值定理求最值的三個必要條件：一“正”、二“定”、三“相等”126127練習(xí)21.巳知x>0,y>0且xy=100,則x+y的最小值是_______,此時x=___,y=_____1284.證明（1）證：∵

∴

于是

（2）解：∵

于是

從而

？≤129解:130解：∵

∴∴=

當(dāng)且僅當(dāng)即

時有最小值1例3.若Ｘ＞－１，則ｘ為何值時

有最小值，最小值為幾？131

練習(xí)3132已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．133例4134

注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時一定要注意定理的條件:

一正;二定;三相等.有一個條件達不到就不能取得最值.135

練習(xí)4求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.136例5.且1、已知，求

的最小值解：

當(dāng)且僅當(dāng)

即

時

137證明：138注意:本題條件a,b,c為實數(shù)139

練習(xí)5140同學(xué)們再見！作業(yè)

課本作業(yè)；P1０５、６

141書山有路勤為徑，學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話

142不等式復(fù)習(xí)習(xí)題課習(xí)題課143不等式定理及其重要變形：一、知識掃描:（定理）重要不等式（推論）基本不等式（又叫均值不等式）144代數(shù)意義：

如果把看做是兩正數(shù)a、b的等差中項,看做是兩正數(shù)a、b的等比中項,那么均值不等式可敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.145幾何意義：

均值不等式的幾何解釋是:

半徑不小于半弦.

結(jié)構(gòu)特點：

均值不等式的左式為和結(jié)構(gòu),右式為積的形式,該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系,運用該不等式可作和與積之間的不等變換.ab146二、公式的拓展當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=”成立147（1）三、公式的應(yīng)用（一）—證明不等式（2）已知求證（以下各式中的字母都表示正數(shù)）148149證明：150注意:本題條件a,b,c為實數(shù)151△法解不等式求證:a+ac+c+3b(a+b+c)≥0

證明:

原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)≥0

設(shè)f(a)=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)∵

△=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(c+b)∴f(a)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)-b=c=a取等號)152四、公式的應(yīng)用（二）—求函數(shù)的最值（2）已知是正數(shù)，（定值），求的最小值；已知是正數(shù)，（定值），求的最大值；（1）一正二定三相等和定積最大積定和最小153已知，求函數(shù)的最大值；（3）已知是正數(shù)，滿足，求的最小值；（4）創(chuàng)造條件注意取等號的條件154（3）已知：0＜x＜，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件即x=時ymax=∵3x+1-3x=1為定值，且0＜x＜則1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x

可用均值不等式法精題解析配湊成和成定值155精題解析：（4）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值即的最小值為過程中兩次運用了均值不等式中取“=”號過渡，而這兩次取“=”號的條件是不同的，故結(jié)果錯。錯因：解：156（4）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值正解：當(dāng)且僅當(dāng)即:時取“=”號即此時“1”代換法157特別警示：用均值不等式求最值時，要注意檢驗最值存在的條件，特別地，如果多次運用均值不等式求最值，則要考慮多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的諸條件是否相容。158閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方。（5）錯題辨析159正確解法一“1”代換法

160（5）已知正數(shù)a、b滿足a+2b=1，求的最小值正解：當(dāng)且僅當(dāng)即:時取“=”號即此時161162“1”的代換163五：公式應(yīng)用（三）—解決實際問題例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？164APBHba例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？165問題與思考4。某種商品準備兩次提價,有三種方案:第一次提價m％,第二次提價n％;第一次提價n％,第二次提價m％;兩次均提價％.試問哪種方案提價后的價格高?166

設(shè)原價為M元,令a=m％,b=n％,則按三種方案提價后的價格分別為:A.(1+a)·(1+b)·M=(1+a+b+ab)·MC.(1+

)2·M=[1+a+b+]·M只需比較ab與的大小.易知B.(1+b)·(1+a)·M=(1+a+b+ab)·M1675.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為,深為3m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池才能使造價最低，最低造價是多少元？問題與思考168169170實際問題抽象概括引入變量數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解實際問題的解還原說明推理演算建立目標函數(shù)均值不等式2、解應(yīng)用題思路反思研究1711、設(shè)且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

六：課堂檢測：（看誰最快）2、設(shè)則的最大值為_____。３、設(shè)滿足，且則的最大值是（）A、40B、10C、4D、2Ｄ172七：學(xué)習(xí)小結(jié)

（１）各項或各因式為正（２）和或積為定值

（３）各項或各因式能取得相等的值，必要時作適當(dāng)變形，以滿足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能；創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立；１、應(yīng)用均值不等式須注意以下三點：3、均值不等式在實際生活中應(yīng)用時，也應(yīng)注意取值范圍和能取到等號的前提條件。173探索討論乘積倒數(shù)其他平方設(shè)你能給出幾個含有字母a和b的不等式174再見謝謝指導(dǎo)再見175絕對值不等式的解法176復(fù)習(xí)：X=0|x|=X>0x0X<0-x1.絕對值的定義:2.幾何意義:Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|

一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離.177類比：|x|<3的解|x|>3的解觀察、思考：不等式│x│<2的解集?方程│x│＝2的解集？為{x│x=2或x=-2}02-2為{x│-2<x<2}不等式│x│>2解集?為{x│x>2或x<-2}02-202-2|x|<-2的解|x|>-2的解歸納：|x|<a（a>0)|x|>a(a>0)

-a<x<a

X>a或x<-a-aa-aa178如果a

＞0，則

179如果把|x|<2中的x換成“x-1”,也就是|x-1|<2如何解？引伸：

解題反思：如果把|x|>2中的x換成“3x-1”,也就是|3x-1|>2如何解？整體換元。180歸納：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a>0)不等式的解法:181例1解不等式

解：這個不等式等價于因此，不等式的解集是（–1，4）182例2解不等式＞5解：這個不等式等價于或（1）（2）（1）的解集是（4，+∞），（2）的解集是（－∞，－1），∴原不等式的解集是（4，+∞）∪（－∞，－1）。183鞏固練習(xí)：求下列不等式的解集

|2x+1|<53|1-4x|>9|4x|<-1|x2-5x|>-6

3<|2x+1|<5（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+∞）R（-3，-2）∪（1，2）184

例:解不等式|5x-6|<6–x引伸：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a的不等式中“a”用代數(shù)式替換，如何解？185解：對絕對值里面的代數(shù)式符號討論：5x-6≥05x-6<6-x(Ⅰ)或(Ⅱ)

5x-6<0-（5x-6）<6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ)

得：0<x<6/5取它們的并集得：（0，2）

解不等式|5x-6|<6–x(Ⅰ)當(dāng)5x-6≥0,即x≥6/5時，不等式化為5x-6<6-x，解得x<2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)當(dāng)5x-6<0,即x<6/5時，不等式化為-(5x-6)<6-x，解得x>0

所以0<x<6/5綜合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得（0，2）解：186

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：對6-x符號討論，當(dāng)6-x≦0時,顯然無解；當(dāng)6-x>0時,轉(zhuǎn)化為-(6-x)<5x-6<(6-x)由絕對值的意義，原不等式轉(zhuǎn)化為：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)綜合得0<x<2(Ⅰ)或(Ⅱ)6-x≤0無解解(Ⅰ)得：0<x<2;(Ⅱ)無解187

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：對6-x符號討論，當(dāng)6-x≦0時,顯然無解；當(dāng)6-x>0時,轉(zhuǎn)化為-(6-x)<5x-6<(6-x)由絕對值的意義，原不等式轉(zhuǎn)化為：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)X<6-(6-x)<5x-65x-6<(6-x)0<x<2進一步反思:不等式組中6-x>0是否可以去掉有更一般的結(jié)論：|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)類型1188練習(xí)：把下列絕對值不等式轉(zhuǎn)化為同解的非絕對值不等式。3、|x-1|>2(x-3)4、5、|2x+1|>|x+2|1、|2x-3|<5x

2、|x2-3x-4|>4189類型2例：方法1：幾何意義方法2：去絕對值方法3：函數(shù)的觀點190解不等式

191課堂小結(jié)：(1)數(shù)學(xué)知識:常見的絕對值不等式的解法(2)數(shù)學(xué)思想分類討論的思想整體的思想轉(zhuǎn)化的思想192同學(xué)們再見！193

引例：某電機廠承擔(dān)一項任務(wù)，為自來水廠加工一種圓形管道，管道直徑設(shè)計為50毫米，由于實際加工過程中存在誤差，規(guī)定成品管道實際直徑與設(shè)計值相差不能超過1毫米，否則為次品，設(shè)成品管道的實際半徑x毫米，那么x應(yīng)該滿足什么條件？解：由題意成品管道的直徑為2x毫米由絕對值的意義可知，結(jié)果也可表示為:|2x-50|≦1050194解不等式：|x-1|>|x-3|方法一方法二方法三反思評價我們的解題方法：195解：因為|x-1|>|x-3|

所以兩邊平方可以等價轉(zhuǎn)化為

（x-1)2>(x-3)2

化簡整理：x>2平方法：注意兩邊都為非負數(shù)|a|>|b|依據(jù)：a2>b2196解：如圖，設(shè)“1”對A，“3”對應(yīng)B，“X”對應(yīng)M（不確定的），即為動點。|x-1|>|3-x|由絕對值的幾何意義可知：|x-1|=MA|x-3|=MB0132AB幾何的意義為MA>MB,197分類討論：分析：兩個|x-1|、|x-3|要討論，按照絕對值里面的代數(shù)式符號進行討論。可以借助數(shù)軸分類。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知數(shù)x的值為1和30131、當(dāng)x≧3時，原不等式可以去絕對值符號化為：x-1>x-3解集為R，與前提取交集，所以x≧3；2、當(dāng)1≦x<3時,同樣的方法可以解得2<x<33.當(dāng)x<1時,x無解找零點分段討論綜合

綜合有：x>2198書山有路勤為徑，學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！27七月2023絕對值三角不等式199（一）絕對值的定義：

對任意實數(shù)a，

復(fù)習(xí)200問題我們已學(xué)過積商絕對值的性質(zhì)，哪位同學(xué)能回答？或.當(dāng)時，有：201

（二）絕對值的幾何意義：

實數(shù)a的絕對值|a|，表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離（圖1）。

如：|-3|或|3|在數(shù)軸上分別等于點A或點B到坐標原點的距離。|a|OAx202

由絕對值的幾何意義可知，A、B之間的點與坐標原點的距離小于3，可表示為：

即實數(shù)x對應(yīng)的點到坐標原點的距離小于3203

同理，與原點距離大于3的點對應(yīng)的實數(shù)可表示為：

如圖204

設(shè)a,b是任意兩個實數(shù)，那么|a-b|

的幾何意義是什么？x|a-b|abAB205探究

用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系？

定理1

如果a,b是實數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立。絕對值三角不等式206

如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量，能得出什么結(jié)論？你能解釋其幾何意義嗎？探究？(1)當(dāng)不共線時有(2)當(dāng)共線且同向時有絕對值三角不等式207如何證明定理1?探究

你能根據(jù)定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之間的其它關(guān)系嗎?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|結(jié)論:208注意：1

左邊可以“加強”同樣成立，即

2

這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3

同號時右邊取“=”，

異號時左邊取“=”推論1：

推論2：

證明：在定理中以

即：

209定理探索當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時，要證只要證，即證而顯然成立．

從而證得.

210定理探索還有別的證法嗎？

由與，得.用可得什么結(jié)論？當(dāng)我們把看作一個整體時，上式逆211定理探索證明嗎？能用已學(xué)過得的可以表示為

即即.就是含有絕對值不等式的重要定理，

212例題求證.例2

已知，證明：213例題例3

求證.證明：在時，顯然成立.當(dāng)時，左邊

214練習(xí)②已知求證.1．①已知，求證.②

.①；2．已知，求證：215216217①②由①，②，③得，③218課堂練習(xí)：219作業(yè)P20:1,2,3,4,220定理2

如果a,b,c是實數(shù),那么當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時,等號成立你能給出定理2的幾何解釋嗎?如何證明定理2?推論:221絕對值三角不等式222絕對值的幾何意義|a|=|a|AaOx|a-b|AaBxb幾何意義:表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離.|a-b|=幾何意義：表示數(shù)軸上實數(shù)a,b對應(yīng)的點A，B之間的距離，即線段AB的長度223思考？類比不等式基本性質(zhì)的得出過程，同學(xué)們認為可以怎樣提出關(guān)于絕對值不等式性質(zhì)的猜想？從“運算”的角度考察絕對值不等式。如：對于實數(shù)a,b，可以考察|a|,|b|,|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b|等之間的關(guān)系。224探究？用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|,|b|,|a+b|表示出來，同學(xué)們觀察能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系？xOaba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0225(1)當(dāng)ab>0時,xOaba+bxOaba+ba>0,b>0a<0,b<0由圖可得:|a+b|=|a|+|b|(2)當(dāng)ab<0時xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,則a=0或b=0易得:|a+b|=|a|+|b|綜上所述,可得:226建立模型定理1:

如果a,b是實數(shù),則|a+b||a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時,等號成立.引申與思考？如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量,能得出什么結(jié)果?227當(dāng)向量共線呢?定理1的幾何意義xyO在不等式|a+b||a|+|b|中,當(dāng)向量不共線時,則由向量加法的三角形法則,用向量分別替換實數(shù)a,b,向量

構(gòu)成三角形,故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故該定理的幾何意義為:三角形的兩邊之和大于第三邊.絕對值三角不等式228證明絕對值三角不等式:|a+b||a|+|b|證明:當(dāng)ab0時,ab=|ab||a+b|229證明當(dāng)ab<0時,ab=-|ab||a+b|故|a+b||a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時,等號成立.230應(yīng)用與拓展同學(xué)們能再探究一下|a|-|b|與|a+b|,|a|+|b|與|a-b|,|a|-|b|與|a-b|等之間的關(guān)系?如:如果a,b是實數(shù),則|a|-|b||a-b||a|+|b|再如:如果a,b,c是實數(shù),則|a-c||a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時,等號成立.231建立模型定理2:如果a,b,c是實數(shù),則|a-c||a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時,等號成立.分析:由于a-c,a-b與b-c都是實數(shù),且a-c=(a-b)+(b-c)證明:根據(jù)定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)||a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時,等號成立.則可使用定理1的結(jié)論進行證明.232定理2的幾何意義xabcABCxbcaABCxacbABC在數(shù)軸上,a,b,c所對應(yīng)的點分別為A,B,C,(1)當(dāng)點B在點A,C之間時,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)當(dāng)點B在點A,C之外時,|a-c|<|a-b|+|b-c|233典例分析例:已知>0|x-a|<|y-b|<,求證:|2x+3y-2a-3b|<5證明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)||2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2+3=5故|2x+3y-2a-3b|<5234典例分析例:兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?235典例分析分析:如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:當(dāng)x取何值時,函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,則:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)236S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我們先來考察它的圖像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0<x102010<x204x-60x>20237S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10當(dāng)且僅當(dāng)(x-10)(20-x)0時取等號.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故當(dāng)10x20時,函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)238

[系列4

]

絕對值三角不等式

Oxy239創(chuàng)設(shè)情境在數(shù)軸上，你能指出實數(shù)a的絕對值的幾何意義嗎？0axA它表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離那么，的幾何意義呢？abxBA數(shù)軸上A,B兩點之間的距離O-bB240探究設(shè)a,b為實數(shù)，你能比較之間的大小關(guān)系嗎？當(dāng)ab>0時，當(dāng)ab<0時，當(dāng)ab=0時，你能將上述情況綜合起來嗎？241定理1如果a,b是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量，能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？242遷移類比當(dāng)向量不共線時，Oxy當(dāng)向量共線時，同向：反向：243向量形式的不等式當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。由于定理1與三角形之間的這種聯(lián)系，我們稱其中的不等式為絕對值三角不等式。與同向244知識推廣

如果將定理1中的實數(shù)a,b改為復(fù)數(shù)，不等式仍成立嗎？245練習(xí)1、如果a,b,c是實數(shù)，證明當(dāng)且僅當(dāng)________________時，等號成立。2、如果a,b是實數(shù)，你能比較的

大小嗎？并說明理由。當(dāng)且僅當(dāng)__________________時，等號成立。246定理1的完善如果a,b是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，左邊等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)_________時，右邊等號成立。小結(jié)247請你診斷學(xué)完定理1后，小明和小紅分別提出了新見解。小明認為，如果a,b,c是實數(shù)，則小紅認為，如果a,b是實數(shù)，則如果你是老師，你能幫他們評判一下嗎？248小結(jié)1、的幾何意義；2、定理1：如果a,b是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。（向量形式、復(fù)數(shù)形式）3、定理1的完善：4、推論：（定理1的變形）（定理1的推廣）249作業(yè)：1、求證：（1）（2）2、求證：（1）（2）250知識應(yīng)用：例1已知求證練習(xí)：設(shè)求證：251例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處。現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？分析：如果生活區(qū)建于公路路牌的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,那么于是，上面的問題就化歸為數(shù)學(xué)問題：當(dāng)x取何值時，函數(shù)取得最小

值。這個問題可以應(yīng)用絕對值不等式的性質(zhì)來解。252解：設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,則因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。解得所以，生活區(qū)建于兩個施工地點之間的任何一個位置時，都能使兩個施工隊每天往返的路程之和最小。253254書山有路勤為徑，學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！6.3不等式的證明（1）2556.3不等式的證明（1）

___比較法

根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù)與的大小？ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b256

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—判斷符號—下結(jié)論。作商—變形—與1比較大小---下結(jié)論。要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。2576.3不等式的證明（1)--比較法例1.求證：

證：∵

≥1.變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。至于怎樣變形，要靈活處理。2.本題的變形方法——配方法258例2.已知都是正數(shù)，并且求證證明：∵都是正數(shù)，

并且

即：

1.本題變形的方法—通分法2.本題的結(jié)論反映了分式的一個性質(zhì)：若都是正數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，259例3.已知都是正數(shù)，并且

，

求證：

證明：∵

都是正數(shù)，∴

又∵即：本題變形的方法—因式分解法260例4261例5.甲、乙兩人同時同地沿同一線路走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有其中S，m，n都是正數(shù)，且m≠n,于是t1-t2<0從而可知甲比乙首先到達指定地點。即262小結(jié)：作差比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—判斷符號—下結(jié)論。要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。263書山有路勤為徑，學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！6.3不等式的證明（3）264復(fù)習(xí)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—定符號---下結(jié)論要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。265復(fù)習(xí)：綜合法

利用已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫做綜合法.

綜合法的思路是“由因?qū)Ч?、已知未知，即從已知出發(fā)，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直到推導(dǎo)出要證明的不等式。

綜合法的思路是