精品文檔-下載后可編輯數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用函數(shù)思想進(jìn)行解題(全文)函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究.它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn).一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f（x）、f（x）的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性.在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題.

函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn).我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決.

1.三角中的函數(shù)思想

三角函數(shù)也是一種特殊的函數(shù)，它除了具有一般的函數(shù)性質(zhì)外，還有其特殊之處，因此運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)解題會(huì)使學(xué)生在加深理解的同時(shí)，培養(yǎng)與提高其創(chuàng)新思想.

例1若cos2θ+2msinθ-2m-2

解析本題為恒成立問(wèn)題，從函數(shù)思想出發(fā)，則轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）=x2-2mx+2m+1=（x-m）2+2m+1-m2在-1≤x≤1下求m的范圍問(wèn)題.

2.向量中的函數(shù)思想

向量作為數(shù)學(xué)中的一種工具，有其重要性.它的方向、模與數(shù)量積等很容易被遷移到函數(shù)問(wèn)題的情景之中，這樣在加深向量理解的同時(shí)，也對(duì)函數(shù)思想的應(yīng)用進(jìn)一步深化.

例2已知向量i=（1，0），j=（0，1），函數(shù)f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的圖像在y軸上的截距為1，在x=2處切線(xiàn)的方向向量為（a-c）i-12bj，并且函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)取得極值.（1）求f（x）解析式；（2）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f（x）極值.

解析本題為綜合題，它融合了向量、導(dǎo)數(shù)等多方面知識(shí)，而（1）的解決是問(wèn)題的關(guān)鍵.它要求出f（x）的解析式，需三個(gè)條件，在這三個(gè)條件中，第二個(gè)條件較為復(fù)雜，它使導(dǎo)數(shù)與向量達(dá)到完美的結(jié)合，因?yàn)椋╝-c）i-12bj=（a-c，-12b），所以切線(xiàn)的斜率為-12b1a-1，從而f′（2）=-12b1a-1，實(shí)現(xiàn)了向量與函數(shù)的轉(zhuǎn)化.

3.解析幾何中的函數(shù)思想

解析幾何的特點(diǎn)就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，因此代數(shù)中方法可以遷移至解析幾何中，而函數(shù)思想作為代數(shù)中一種常用的思想，在解析中自然有其展示的空間，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化.

例3已知P是直線(xiàn)3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB的面積最小值是.

解析對(duì)此題我們?yōu)槊鞔_圓在坐標(biāo)系中的位置，可把圓配方：（x-1）2+（y-1）2=1，如圖.

如設(shè)|PC|=d，由題意可列出SPACB關(guān)于PC=d函數(shù)式：SPACB=2，SAPC=2×112×1×|PA|=|PC|2-1=d2-1，求函數(shù)的最小值得之.

4.復(fù)數(shù)中的函數(shù)思想

復(fù)數(shù)作為數(shù)集的完備形式，其中心是：建立復(fù)平面上的點(diǎn)與向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得代數(shù)形式與三角形式結(jié)合在一起，其輻角最值的問(wèn)題很容易轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.

例4設(shè)z=3cosθ+2sinθ，求函數(shù)y=θ-argz（0

解析本題要求角的最大值，只需求角的某一個(gè)三角函數(shù)即可.

tan（argz）=2sinθ13cosθ=213tanθ，

tany=tan（θ-argz）=tanθ-213tanθ11+213tann2θ=1131tanθ+2tanθ.

由此可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題.

總之，函