第頁東芝杯·中國師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽參賽教案選用教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3（人教A版）第29-31頁授課對象：高中二年級學(xué)生參賽選手：***選手專業(yè)：數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）指導(dǎo)教師：***教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行?！局黝}】二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)【教材內(nèi)容】1.3.1二項(xiàng)式定理【教學(xué)對象】高中二年級學(xué)生【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)及技能：識(shí)記二項(xiàng)式定理，能夠正確寫出簡單情況下的二項(xiàng)式的展開式；掌握二項(xiàng)展開式的特征（項(xiàng)數(shù)，結(jié)構(gòu)，系數(shù)等）；了解二項(xiàng)展開式系數(shù)的幾何排列規(guī)律（楊輝三角）；理解二項(xiàng)式定理是乘法公式的推廣。過程及方法：經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握特殊化的分析方法，發(fā)展觀察、歸納、猜想的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)交流的能力，發(fā)展抽象概括的數(shù)學(xué)思維能力，掌握二項(xiàng)式展開的基本方法，領(lǐng)悟從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度價(jià)值觀：積極參及二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)過程，養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作探究、數(shù)學(xué)表達(dá)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，享受成功的喜悅。欣賞二項(xiàng)式定理內(nèi)在的結(jié)構(gòu)之美，體驗(yàn)楊輝三角獨(dú)特的文化魅力，增強(qiáng)民族自豪感。【教學(xué)重點(diǎn)】分析的展開式，歸納得出二項(xiàng)式定理。了解二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】根據(jù)展開式的特征，得出展開式猜想?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】一、設(shè)計(jì)理念觀察歸納形成猜想引導(dǎo)探究數(shù)學(xué)交流創(chuàng)設(shè)情境觀察歸納形成猜想引導(dǎo)探究數(shù)學(xué)交流創(chuàng)設(shè)情境問題驅(qū)動(dòng)理念之一：基于情境的數(shù)學(xué)認(rèn)知。情境是認(rèn)知的基礎(chǔ)，一個(gè)“理念之一：基于情境的數(shù)學(xué)認(rèn)知。情境是認(rèn)知的基礎(chǔ)，一個(gè)“好”的情境能夠引致有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在情境中認(rèn)知，對情境中的新信息進(jìn)行意義建構(gòu)，并超越具體的情境，理解情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)。在學(xué)生感興趣的情境中提出問題，不僅能夠滿足學(xué)生的探究欲望，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。思起于疑，通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，才能使得學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)，學(xué)得更扎實(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有更多的發(fā)現(xiàn)、更多的收獲。理念之三：突出數(shù)學(xué)的思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生掌握所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，形成一定的數(shù)學(xué)能力，也要讓學(xué)生掌握、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法。在直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號(hào)表示、反思建構(gòu)等思維過程中，學(xué)會(huì)分析數(shù)學(xué)問題的方式方法，形成并掌握解決數(shù)學(xué)的策略，不斷優(yōu)化問題解決的過程，讓學(xué)生具有一個(gè)善于思考的“數(shù)學(xué)頭腦”，一雙善于發(fā)現(xiàn)的“數(shù)學(xué)眼睛”，不斷提高數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，提升數(shù)學(xué)思維層次。理念之二：關(guān)注過程的教學(xué)策略。形式化是數(shù)學(xué)的重要特征。教學(xué)的重要任務(wù)應(yīng)該把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，在“火熱的思考”之中欣賞數(shù)學(xué)知識(shí)“冰涼的美麗”，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)產(chǎn)生、形成及發(fā)展的過程，探究問題解決的策略及方式。在數(shù)學(xué)交流中組織各種觀念，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，掌握并理解所學(xué)知識(shí)，并促進(jìn)數(shù)學(xué)參及的意識(shí)，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)。二、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)任務(wù)教師行為學(xué)生活動(dòng)媒體呈現(xiàn)（一）創(chuàng)設(shè)情境，問題驅(qū)動(dòng)1.從棋之魂到棋之旅（40秒）問題1從O點(diǎn)出發(fā)沿著棋盤網(wǎng)格，一格一格走，到達(dá)A點(diǎn)共有幾種走法？游戲規(guī)則：只能向上走或向右走！圖1激發(fā)興趣引入課題欣賞棋之魂思考棋之旅PPT展示幻燈片1設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生欣賞棋之魂，吸引學(xué)生的注意力，并借助棋盤自然引出問題1，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。2.把復(fù)雜問題簡單化（1分10秒）問題2如圖，從O點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)N點(diǎn)共有幾種走法？（只能向上走或向右走）、圖2引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)復(fù)雜問題簡單化的數(shù)學(xué)思維策略掌握解決數(shù)學(xué)問題的一種方法以退求進(jìn)PPT展示棋旅問題2設(shè)計(jì)意圖：從問題1過渡到問題2，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化，理解處理該類問題的基本策略：特殊一般。（二）引導(dǎo)探究，數(shù)學(xué)交流3.合作學(xué)習(xí)，填一填（2分40秒）如圖2，從O出發(fā)走到N，如果只能向上走或向右走，把具體的走法路線以及相應(yīng)的走法數(shù)填入下表：表1教師巡視學(xué)生填表情況輔導(dǎo)學(xué)生按照要求完成表格小組合作共同探究從O到N的行走路線以及相應(yīng)的方法數(shù)并完成表格PPT展示表格內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖：生生合作，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考以及溝通、協(xié)作的能力。4.師生交流，議一議（50秒）如圖2，從O出發(fā)走到N（只能向上走或向右走），則具體的走法路線以及相應(yīng)的走法數(shù)分別是：表2引導(dǎo)學(xué)生尋找具體的行走路線計(jì)算相應(yīng)的走法數(shù)匯報(bào)表格完成的情況PPT展示具體的行走路線及相應(yīng)的走法數(shù)設(shè)計(jì)意圖：師生互動(dòng)交流，加深對所得結(jié)果的直觀感受，讓學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅，為后面的數(shù)學(xué)探究奠定良好的心理基礎(chǔ)。5.尋找規(guī)律，想一想（55秒）問題3如圖3，其中行及行的數(shù)字之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？結(jié)論：中間交叉點(diǎn)的數(shù)字等于上面兩個(gè)交叉點(diǎn)數(shù)字之和。圖3把圖2旋轉(zhuǎn)90度提出問題3引導(dǎo)得出結(jié)論探索規(guī)律匯報(bào)結(jié)果PPT展示圖3設(shè)計(jì)意圖：尋找規(guī)律，引出數(shù)字在三角形中的幾何排列，為后面介紹楊輝三角的預(yù)埋伏筆。（三）觀察歸納，形成猜想6.聯(lián)系舊知，算一算（1分20秒）問題4圖中的數(shù)字能否用組合數(shù)表示出來？圖4（a）圖4（b）結(jié)論：左圖中的數(shù)字都可以用右圖中的組合數(shù)表示。啟發(fā)學(xué)生計(jì)算計(jì)算PPT展示聯(lián)系圖設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)組合數(shù)來表示圖4（a）中的數(shù)字，為順利過渡到用組合數(shù)表示乘法公式中的系數(shù)搭建一個(gè)溝通的橋梁。7.復(fù)習(xí)公式，說一說（50秒）初中學(xué)過的乘法公式，可以表示為：表示出二項(xiàng)式定理（n=1,2,3）初步感知特殊情況下的二項(xiàng)式定理PPT展示三個(gè)乘法公式設(shè)計(jì)意圖：將乘法公式的系數(shù)用對應(yīng)的組合數(shù)表示出來，為學(xué)生觀察、歸納、猜想二項(xiàng)式定理的一般結(jié)構(gòu)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。8.觀察思考，議一議（2分30秒）問題5觀察下列展開式，它們具有怎樣的共同規(guī)律？師生共同歸納出：結(jié)構(gòu)特征：共n+1項(xiàng)，各項(xiàng)都是的形式；2）系數(shù)特征：3）次數(shù)特征：a的次數(shù)由n依次遞減到0（降冪）；b的次數(shù)由0依次遞增到n（升冪），而且a及b的次數(shù)和為n。啟發(fā)學(xué)生思考展開式中項(xiàng)的結(jié)構(gòu)系數(shù)及次數(shù)的特征自主探究互動(dòng)交流PPT展示乘法公式的展開式設(shè)計(jì)意圖：觀察并歸納出展開式的共同規(guī)律，有助于學(xué)生形成合理的猜想。（三）觀察歸納，形成猜想9.從特殊到一般，形成猜想（2分30秒）問題6猜想結(jié)論：這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫的二項(xiàng)展開式。它有項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)。叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)。說明：展開式中的是由個(gè)中選，個(gè)中選得到的。由于選定后，的選法也隨之確定，因此出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從個(gè)中取個(gè)的組合數(shù)。其實(shí)，在棋盤問題1中，要考察走到棋盤某點(diǎn)的走法數(shù)，就要知道按規(guī)則需向右走幾步，向上走幾步。假設(shè)向右走用表示，向上走用表示，則前面的系數(shù)也就是走到棋盤第列、第行的走法數(shù)。鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想然后解釋說明交流猜想結(jié)果理解二項(xiàng)式定理PPT展示二項(xiàng)式定理等內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖：采取說理的方式說明猜想的合理性，并結(jié)合情境問題進(jìn)行解釋，通俗易懂。同時(shí)，幫助學(xué)生超越具體的情境，形成對猜想結(jié)論的新的理解。10.滲透數(shù)學(xué)史，寓教于學(xué)（35秒）南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年就給出了二項(xiàng)式系數(shù)的幾何排列規(guī)律（即楊輝三角），它的發(fā)現(xiàn)比歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)的發(fā)現(xiàn)要早五百年左右。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角就是十分精彩的一頁。介紹楊輝三角體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化PPT展示楊輝三角設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合二項(xiàng)式定理介紹“楊輝三角”，對學(xué)生進(jìn)行進(jìn)行愛國主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感。三、設(shè)計(jì)說明在多項(xiàng)式的運(yùn)算中，把二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和的公式，即二項(xiàng)式定理有著非常重要的地位，它是帶領(lǐng)我們進(jìn)入微積分學(xué)領(lǐng)域大門的一把金鑰匙。將本小節(jié)內(nèi)容安排在計(jì)數(shù)原理之后來學(xué)習(xí)，一方面表明的展開式及分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理以及排列、組合的知識(shí)具有密切的聯(lián)系，同時(shí)它的證明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用；另一方面也為下一章進(jìn)一步學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布作準(zhǔn)備。另外，由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，在推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理的過程中，也可以深化學(xué)生對組合數(shù)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)其本質(zhì)。總之，二項(xiàng)式定理是綜合性較強(qiáng)的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識(shí)。二項(xiàng)式定理研究的是的展開式。教科書設(shè)計(jì)了如下過程：（1）將二項(xiàng)式的展開式及“計(jì)數(shù)問題”聯(lián)系在一起是不容易的，因此教科書首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得出的展開式問題；（2）詳細(xì)寫出用多項(xiàng)式乘法法則得到展開式的過程，并從兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的角度對展開式進(jìn)行分析，概括出系數(shù)以及項(xiàng)的形式。用組合知識(shí)分析展開式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得到用組合數(shù)表示的的展開式；（3）讓學(xué)生模仿上述過程推導(dǎo)的展開式；并在此基礎(chǔ)上，得出關(guān)于的展開式的猜想，最后給出說理性的證明。在上述過程中，第（2）步是關(guān)鍵，并且也是難點(diǎn)。其中，既要利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，也要發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律。課程標(biāo)準(zhǔn)要求，二項(xiàng)式定理的教學(xué)應(yīng)通過揭示二項(xiàng)式定理是代數(shù)中乘法公式的推廣，了解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程